2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．设
（
为虚数单位），则 
▲ ．
2．已知命题
：“
，使得
”，则命题
的真假为 ▲ ．
3．设
，则“
”是“
”的 ▲ 条件．（选填： 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）
4．如图为某天通过204国道某测速点的汽车时速频率分布直方图，则通过该测速点的300辆汽车中时速在
的汽车大约有 ▲ 辆．
5．某程序框图如图所示，则输出的结果为 ▲ ．
6．在区间
上随机取一个实数
，则满足
的概率为 ▲ ．
7．已知双曲线
的渐近线方程是
，则其准线方程为 ▲ ．
8．若函数
在区间
上有极值，则
的取值范围是 ▲ ．
9．（理科学生做）从5男3女共8名学生中选出4人组成志愿者服务队，则服务队中至少有1名女生的不同选法共有 ▲ 种．（用数字作答）
（文科学生做）已知函数
，则不等式
的解集是 ▲ ．
10．（理科学生做）
的展开式中的常数项是 ▲ ．
（文科学生做）将函数
的图象向右平移
个单位（
），若所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是 ▲ ．
11．已知圆
的内接四边形的面积的最大值为
，类比可得椭圆
的内接四边形的面积的最大值为 ▲ ．
12．已知集合
和集合
，若
，则实数
的最大值为 ▲ ．
13．已知点
是椭圆
的左焦点，若椭圆
上存在两点
、
满足
，则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ．
14．已知
，
，
，
，则
的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
（理科学生做）现有一只不透明的袋子里面装有6个小球，其中3个为红球，3个为黑球，这些小球除颜色外无任何差异，现从袋中一次性地随机摸出2个小球．
（1）求这两个小球都是红球的概率；
（2）记摸出的小球中红球的个数为，求随机变量的概率分布及其均值E( )．
（文科学生做）已知关于的不等式
，其中
．
（1）若不等式的解集为
，求实数的值；
（2）若不等式
对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
16．（本小题满分14分）
（理科学生做）观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并用数学归纳法证明．
，
，
．
（文科学生做）已知函数
，
，函数
的定义域为实数集R，
函数
．
（1）若函数是奇函数，判断并证明函数
的奇偶性；
（2）若函数是单调增函数，用反证法证明函数的图象与轴至多有一个交点．
17．（本小题满分14分）
（理科学生做）如图，在三棱锥
中，
底面
，
，
，
．
（1）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（2）求二面角
的余弦值．
（文科学生做）已知函数
．
（1）求
在区间
上的值域；
（2）若
，
，求
的值．
18．（本小题满分16分）
如图所示，矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB=1 m，BC=2 m，现准备开发一个面积为0.6 m2的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域．问：能否在AB边上取点E、在BC边上取点F，使得△BEF区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E、F的选址方案；若不能，请说明理由．
19．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系
内，椭圆E：
，离心率为
，右焦点F到右准线的距离为2，直线l过右焦点F且与椭圆E交于A、B两点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l与轴垂直，C为椭圆E上的动点，求CA2+CB2的取值范围；
（3）若动直线l与轴不重合，在轴上是否存在定点P，使得PF始终平分∠APB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知函数
和函数
（
、为实数，
为自然对数的底数，
）．
（1）求函数
的单调区间；
（2）当
，
时，判断方程
的实数根的个数并证明；
（3）已知
，不等式
对任意实数恒成立，求
的最大值．
2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试
数学试题参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1. 1 2. 假 3. 充分不必要 4. 150
5. 1 6.
7.
8.
9. （理）65 （文）
10. （理）12 （文）
11.
12.
13.
14. 
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．（理科）解：⑴记“取得两个小球都为红球”为事件A，
则
……………………………………………………………………4分
⑵随机变量的可能取值为：0、1、2 ， ……………………………………………………………6分
表示取得两个球都为黑球，
，
表示取得一个红球一个黑球，
，
表示取得两个球都为红球，
，
随机变量的概率分布如下：
0
1
2
P
…………………………12分
=1 ………………………………………………………………14分
（注：三个概率每个2分）
（文科）解：⑴由题意知方程
的解为
，且
， ………………2分
所以
，解得 
. ……………………………4分
⑵问题可化为
对任意实数恒成立，
①当
时，
恒成立； ……………………………………6分
②当
时，
，解得
； ………………………………12分
综上①②得
． …………………………………………………14分
16．（理科）解：归纳猜想得：
，
． ……………4分
（注：如答成
一样给分）
证明如下：①当
时，左边
，右边，猜想成立； ……………………………6分
②假设
（
）时猜想成立，即
成立，
当
时，右边
=左边
所以时猜想也成立. …………………………………………………………………………12分
由①②可得，，成立. ………………………14分
（文科）解：⑴由题意知的定义域为
， ……………………………………………2分
又
是奇函数 ，所以
， ……………………………………………4分
∴
∴为奇函数. ……………………………………7分
⑵假设函数的图象与轴有两个交点，不妨设其横坐标为
，且
，
则
， ………………………………………8分
又
，所以为单调增函数， ………………………………10分
所以
，
又因为为单调增函数，所以
，
所以
，即
，
这与矛盾， ………………………………………………………12分
所以假设不成立，所以函数的图象与轴至多有一个交点. ………………………14分
17．（理科）解：⑴如图，以
为原点,在平面ABC内作垂直于AC的射线为轴，以射线AC为y轴，
射线AP为轴建立如图所示空间直角坐标系， ……………………………………………………………2分
则P(0,0,4)，B(
,1,0)，
，故
，
由轴⊥平面PAC得平面PAC的一个法向量为
， ……………………………………………5分
设直线与平面所成角为
，
则
，
即直线与平面所成角的正弦值为
.……………8分
⑵
，
，
设
为平面
的一个法向量，
则
，
，
取
得
，
，即
为平面的一个法向量，………………………………11分
平面PAC的一个法向量为，
设二面角的平面角为
，则为锐角，则
，
即二面角的余弦值为
．……………………………………………………………………14分
（文科）解：⑴
…………………………………………………………4分
，
，
，
在区间
上的值域为
.…………………………………………………………………7分
⑵
，
， …………………………………………9分
，
又
，
，
，
……………………11分
. ………………………………………………………………14分
18．解：（法一）△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6 m2，……2分
以为原点，
所在直线为轴，
所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
设曲线AC所在的抛物线的方程为
，代入点得
，
得曲线AC的方程为
，……………………………………………………………………4分
欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，设切点为
，
，
由
得
，故点处切线的斜率为
，切线的方程为
，
即
， ………………………………………………………6分
当
时显然不合题意，故
，
令
得
，令
得
，
则
，
设
，，…………………………………9分
（注：学生写成不扣分）
则
，
令
得
，令
得
，
故
在
上递增，在
上递减，故
，…………………………………14分
而
，故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求． …………………………………16分
(法二）转化为当
时，直线EF的方程与抛物线弧AC的方程联列所得方程组至多有一个解.
(法三) 转化为当时，抛物线弧AC上所有的点都在直线EF上方的区域，进一步转化为不等式恒成立问题.
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