江苏省盐城市2016-2017学年高二下学期期末考试数学-含答案

来源:互联网 编辑: 张倩 手机版

2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试

数 学 试 题

注意事项:

  1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷.

  2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.

  3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.设为虚数单位),则 ▲ .

2.已知命题:“,使得”,则命题的真假为 ▲ .

3.设,则“”是“”的 ▲ 条件.(选填: 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)

4.如图为某天通过204国道某测速点的汽车时速频率分布直方图,则通过该测速点的300辆汽车中时速在的汽车大约有 ▲ 辆.

5.某程序框图如图所示,则输出的结果为 ▲ .

6.在区间上随机取一个实数,则满足的概率为 ▲ .

7.已知双曲线的渐近线方程是,则其准线方程为 ▲ .

8.若函数在区间上有极值,则的取值范围是 ▲ .

9.(理科学生做)从5男3女共8名学生中选出4人组成志愿者服务队,则服务队中至少有1名女生的不同选法共有 ▲ 种.(用数字作答)

(文科学生做)已知函数,则不等式的解集是 ▲ .

10.(理科学生做)的展开式中的常数项是 ▲ .

(文科学生做)将函数的图象向右平移个单位(),若所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值是 ▲ .

11.已知圆的内接四边形的面积的最大值为,类比可得椭圆的内接四边形的面积的最大值为 ▲ .

12.已知集合和集合,若,则实数的最大值为 ▲ .

13.已知点是椭圆的左焦点,若椭圆上存在两点满足,则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ .

14.已知,则的取值范围是 ▲ .

二、解答题:本大题共6小题,共计90分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分14分)

(理科学生做)现有一只不透明的袋子里面装有6个小球,其中3个为红球,3个为黑球,这些小球除颜色外无任何差异,现从袋中一次性地随机摸出2个小球.

(1)求这两个小球都是红球的概率;

(2)记摸出的小球中红球的个数为,求随机变量的概率分布及其均值E( ).

(文科学生做)已知关于的不等式,其中

(1)若不等式的解集为,求实数的值;

(2)若不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.

16.(本小题满分14分)

(理科学生做)观察下列等式,猜想一个一般性的结论,并用数学归纳法证明.

(文科学生做)已知函数,函数的定义域为实数集R,

函数

(1)若函数是奇函数,判断并证明函数的奇偶性;

(2)若函数是单调增函数,用反证法证明函数的图象与轴至多有一个交点.

17.(本小题满分14分)

(理科学生做)如图,在三棱锥中,底面

(1)求直线与平面所成角的正弦值;

(2)求二面角的余弦值.

(文科学生做)已知函数

(1)求在区间上的值域;

(2)若,求的值.

18.(本小题满分16分)

如图所示,矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地,其中阴影区域有丹顶鹤活动,曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分,其中AB=1 m,BC=2 m,现准备开发一个面积为0.6 m2的湿地公园,要求不能破坏丹顶鹤活动区域.问:能否在AB边上取点E、在BC边上取点F,使得△BEF区域满足该项目的用地要求?若能,请给出点E、F的选址方案;若不能,请说明理由.

19.(本小题满分16分)

在平面直角坐标系内,椭圆E:,离心率为,右焦点F到右准线的距离为2,直线l过右焦点F且与椭圆E交于A、B两点.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)若直线l与轴垂直,C为椭圆E上的动点,求CA2+CB2的取值范围;

(3)若动直线l与轴不重合,在轴上是否存在定点P,使得PF始终平分∠APB?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分16分)

已知函数和函数为实数,为自然对数的底数,).

(1)求函数的单调区间;

(2)当时,判断方程的实数根的个数并证明;

(3)已知,不等式对任意实数恒成立,求的最大值.

2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试

数学试题参考答案

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.

1. 1 2. 假 3. 充分不必要 4. 150

5. 1 6. 7. 8.

9. (理)65 (文) 10. (理)12 (文)

11. 12. 13. 14.

二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.

15.(理科)解:⑴记“取得两个小球都为红球”为事件A,

……………………………………………………………………4分

⑵随机变量的可能取值为:0、1、2 , ……………………………………………………………6分

表示取得两个球都为黑球,

表示取得一个红球一个黑球,

表示取得两个球都为红球,

随机变量的概率分布如下:

0

1

2

P

…………………………12分

=1 ………………………………………………………………14分

(注:三个概率每个2分)

(文科)解:⑴由题意知方程的解为,且, ………………2分

所以,解得 . ……………………………4分

⑵问题可化为对任意实数恒成立,

①当时,恒成立; ……………………………………6分

②当时,,解得; ………………………………12分

综上①②得. …………………………………………………14分

16.(理科)解:归纳猜想得:. ……………4分

(注:如答成一样给分)

证明如下:①当时,左边,右边,猜想成立; ……………………………6分

②假设)时猜想成立,即成立,

时,右边

=左边

所以时猜想也成立. …………………………………………………………………………12分

由①②可得,成立. ………………………14分

(文科)解:⑴由题意知的定义域为, ……………………………………………2分

是奇函数 ,所以, ……………………………………………4分

为奇函数. ……………………………………7分

⑵假设函数的图象与轴有两个交点,不妨设其横坐标为,且

, ………………………………………8分

,所以为单调增函数, ………………………………10分

所以

又因为为单调增函数,所以

所以,即

这与矛盾, ………………………………………………………12分

所以假设不成立,所以函数的图象与轴至多有一个交点. ………………………14分

17.(理科)解:⑴如图,以为原点,在平面ABC内作垂直于AC的射线为轴,以射线AC为y轴,

射线AP为轴建立如图所示空间直角坐标系, ……………………………………………………………2分

则P(0,0,4),B(,1,0),,故

由轴⊥平面PAC得平面PAC的一个法向量为, ……………………………………………5分

设直线与平面所成角为

即直线与平面所成角的正弦值为.……………8分

为平面的一个法向量,

,即为平面的一个法向量,………………………………11分

平面PAC的一个法向量为

设二面角的平面角为,则为锐角,则

即二面角的余弦值为.……………………………………………………………………14分

(文科)解:⑴

…………………………………………………………4分

在区间上的值域为.…………………………………………………………………7分

, …………………………………………9分

……………………11分

. ………………………………………………………………14分

18.解:(法一)△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6 m2,……2分

为原点,所在直线为轴,所在直线为y轴,建立如图所示平面直角坐标系,

设曲线AC所在的抛物线的方程为,代入点

得曲线AC的方程为,……………………………………………………………………4分

欲使得△BEF的面积最大,必有EF与抛物线弧AC相切,设切点为

,故点处切线的斜率为,切线的方程为

, ………………………………………………………6分

时显然不合题意,故

,令

,…………………………………9分

(注:学生写成不扣分)

,令

上递增,在上递减,故,…………………………………14分

,故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求. …………………………………16分

(法二)转化为当时,直线EF的方程与抛物线弧AC的方程联列所得方程组至多有一个解.

(法三) 转化为当时,抛物线弧AC上所有的点都在直线EF上方的区域,进一步转化为不等式恒成立问题.

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