2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试
数 学 试 题
注意事项:
1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.
3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.设(
为虚数单位),则
▲ .
2.已知命题:“
,使得
”,则命题
的真假为 ▲ .
3.设,则“
”是“
”的 ▲ 条件.(选填: 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)
4.如图为某天通过204国道某测速点的汽车时速频率分布直方图,则通过该测速点的300辆汽车中时速在的汽车大约有 ▲ 辆.
5.某程序框图如图所示,则输出的结果为 ▲ .
6.在区间上随机取一个实数
,则
满足
的概率为 ▲ .
7.已知双曲线的渐近线方程是
,则其准线方程为 ▲ .
8.若函数在区间
上有极值,则
的取值范围是 ▲ .
9.(理科学生做)从5男3女共8名学生中选出4人组成志愿者服务队,则服务队中至少有1名女生的不同选法共有 ▲ 种.(用数字作答)
(文科学生做)已知函数,则不等式
的解集是 ▲ .
10.(理科学生做)的展开式中的常数项是 ▲ .
(文科学生做)将函数的图象向右平移
个单位(
),若所得图象对应的函数为偶函数,则
的最小值是 ▲ .
11.已知圆的内接四边形的面积的最大值为
,类比可得椭圆
的内接四边形的面积的最大值为 ▲ .
12.已知集合和集合
,若
,则实数
的最大值为 ▲ .
13.已知点是椭圆
的左焦点,若椭圆
上存在两点
、
满足
,则椭圆
的离心率的取值范围是 ▲ .
14.已知,
,
,
,则
的取值范围是 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
(理科学生做)现有一只不透明的袋子里面装有6个小球,其中3个为红球,3个为黑球,这些小球除颜色外无任何差异,现从袋中一次性地随机摸出2个小球.
(1)求这两个小球都是红球的概率;
(2)记摸出的小球中红球的个数为,求随机变量的概率分布及其均值E( ).
(文科学生做)已知关于的不等式
,其中
.
(1)若不等式的解集为,求实数
的值;
(2)若不等式对任意实数恒成立,求实数
的取值范围.
16.(本小题满分14分)
(理科学生做)观察下列等式,猜想一个一般性的结论,并用数学归纳法证明.
,
,
.
(文科学生做)已知函数,
,函数
的定义域为实数集R,
函数.
(1)若函数是奇函数,判断并证明函数
的奇偶性;
(2)若函数是单调增函数,用反证法证明函数
的图象与
轴至多有一个交点.
17.(本小题满分14分)
(理科学生做)如图,在三棱锥中,
底面
,
,
,
.
(1)求直线与平面
所成角的正弦值;
(2)求二面角的余弦值.
(文科学生做)已知函数.
(1)求在区间
上的值域;
(2)若,
,求
的值.
18.(本小题满分16分)
如图所示,矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地,其中阴影区域有丹顶鹤活动,曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分,其中AB=1 m,BC=2 m,现准备开发一个面积为0.6 m2的湿地公园,要求不能破坏丹顶鹤活动区域.问:能否在AB边上取点E、在BC边上取点F,使得△BEF区域满足该项目的用地要求?若能,请给出点E、F的选址方案;若不能,请说明理由.
19.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系内,椭圆E:
,离心率为
,右焦点F到右准线的距离为2,直线l过右焦点F且与椭圆E交于A、B两点.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)若直线l与轴垂直,C为椭圆E上的动点,求CA2+CB2的取值范围;
(3)若动直线l与轴不重合,在轴上是否存在定点P,使得PF始终平分∠APB?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分16分)
已知函数和函数
(
、
为实数,
为自然对数的底数,
).
(1)求函数的单调区间;
(2)当,
时,判断方程
的实数根的个数并证明;
(3)已知,不等式
对任意实数
恒成立,求
的最大值.
2016/2017学年度第二学期高二年级期终考试
数学试题参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1. 1 2. 假 3. 充分不必要 4. 150
5. 1 6. 7.
8.
9. (理)65 (文) 10. (理)12 (文)
11. 12.
13.
14.
二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.(理科)解:⑴记“取得两个小球都为红球”为事件A,
则 ……………………………………………………………………4分
⑵随机变量的可能取值为:0、1、2 , ……………………………………………………………6分
表示取得两个球都为黑球,
,
表示取得一个红球一个黑球,
,
表示取得两个球都为红球,
,
随机变量的概率分布如下:
0
1
2
P
…………………………12分
=1 ………………………………………………………………14分
(注:三个概率每个2分)
(文科)解:⑴由题意知方程的解为
,且
, ………………2分
所以,解得
. ……………………………4分
⑵问题可化为对任意实数
恒成立,
①当时,
恒成立; ……………………………………6分
②当时,
,解得
; ………………………………12分
综上①②得. …………………………………………………14分
16.(理科)解:归纳猜想得:,
. ……………4分
(注:如答成一样给分)
证明如下:①当时,左边
,右边
,猜想成立; ……………………………6分
②假设(
)时猜想成立,即
成立,
当时,右边
=左边
所以时猜想也成立. …………………………………………………………………………12分
由①②可得,,
成立. ………………………14分
(文科)解:⑴由题意知的定义域为
, ……………………………………………2分
又是奇函数 ,所以
, ……………………………………………4分
∴
∴为奇函数. ……………………………………7分
⑵假设函数的图象与
轴有两个交点,不妨设其横坐标为
,且
,
则, ………………………………………8分
又,所以
为单调增函数, ………………………………10分
所以,
又因为为单调增函数,所以
,
所以,即
,
这与矛盾, ………………………………………………………12分
所以假设不成立,所以函数的图象与
轴至多有一个交点. ………………………14分
17.(理科)解:⑴如图,以为原点,在平面ABC内作垂直于AC的射线为轴,以射线AC为y轴,
射线AP为轴建立如图所示空间直角坐标系, ……………………………………………………………2分
则P(0,0,4),B(,1,0),
,故
,
由轴⊥平面PAC得平面PAC的一个法向量为
, ……………………………………………5分
设直线与平面
所成角为
,
则,
即直线与平面
所成角的正弦值为
.……………8分
⑵,
,
设为平面
的一个法向量,
则,
,
取得
,
,即
为平面
的一个法向量,………………………………11分
平面PAC的一个法向量为,
设二面角的平面角为
,则
为锐角,则
,
即二面角的余弦值为
.……………………………………………………………………14分
(文科)解:⑴
…………………………………………………………4分
,
,
,
在区间
上的值域为
.…………………………………………………………………7分
⑵,
, …………………………………………9分
,
又,
,
,
……………………11分
. ………………………………………………………………14分
18.解:(法一)△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6 m2,……2分
以为原点,
所在直线为轴,
所在直线为y轴,建立如图所示平面直角坐标系,
则,
,
,
,
设曲线AC所在的抛物线的方程为,代入点
得
,
得曲线AC的方程为,……………………………………………………………………4分
欲使得△BEF的面积最大,必有EF与抛物线弧AC相切,设切点为,
,
由得
,故点
处切线的斜率为
,切线的方程为
,
即
, ………………………………………………………6分
当时显然不合题意,故
,
令得
,令
得
,
则,
设,
,…………………………………9分
(注:学生写成不扣分)
则,
令得
,令
得
,
故在
上递增,在
上递减,故
,…………………………………14分
而,故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求. …………………………………16分
(法二)转化为当时,直线EF的方程与抛物线弧AC的方程联列所得方程组至多有一个解.
(法三) 转化为当时,抛物线弧AC上所有的点都在直线EF上方的区域,进一步转化为不等式恒成立问题.
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