最新[人教B版]选修2-3数学:2.4《正态分布》课时作业(含解析)

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高中数学 2.4正态分布课时作业 新人教B版选修2-3

一、选择题

1.已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),若P(ξ>8)=0.4,则P(ξ<0)=(  )

A.0.3   B.0.4  

C.0.6    D.0.7

[答案] B

[解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),μ=4,P(ξ>8)=0.4,∴P(ξ<0)=P(ξ>8)=0.4,故选B.

2.总体密度曲线是函数f(x)=7c243cc9eef663be2870f3555a7867eb.pnge-56df4753427ed233df641df4337a8bf4.png,x∈R的图象的正态总体有以下命题:

(1)正态曲线关于直线x=μ对称;

(2)正态曲线关于直线x=σ对称;

(3)正态曲线与x轴一定不相交;

(4)正态曲线与x轴一定相交.

其中正确的命题是(  )

A.(2)(4) B.(1)(4)

C.(1)(3) D.(2)(3)

[答案] C

[解析] 由正态函数图象的基本特征知(1)(3)正确.故选C.

3.(2015·湖北理,4)设X~N(μ1,σa1ae8aa7bce2719d78ae154ab95a8043.png),Y~N(μ2,σ9b3b1dbb1ae8ee00684856ab5a8cf1b3.png),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(  )

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)

D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)

[答案] C

[解析] 由正态分布的对称性及意义可知选C.

4.(2015·大兴高二检测)设随机变量X~N(μ,σ2)且P(X<1)=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png,P(X>2)=p,则P(0A.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngp B.1-p

C.1-2p D.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png-p

[答案] D

[解析] 由正态曲线的对称性和P(X<1)=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png,知μ=1,即正态曲线关于直线x=1对称,于是,P(X<0)=P(X>2),

所以P(02)=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png-p.

5.某次市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩的分布可视为正态分布,如图所示,则下列说法中正确的一个是(  )

A.乙科总体的标准差及平均数不相同

B.甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同

C.丙科总体的平均数最小

D.甲科总体的标准差最小

[答案] D

[解析] 由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样,但标准差不同,σ甲<σ乙<σ丙.

6.(2015·黑龙江龙东南四校高二期末)随机变量χ服从正态分布N(40,σ2),若P(ξ<30)=0.2,则P(30<ξ<50)=(  )

A.0.2 B.0.4

C.0.6 D.0.8

[答案] C

[解析] 根据题意,由于随机变量ξ服从正态分布N(40,σ2),若P(ξ<30)=0.2,则可知P(30<ξ<50)=1-0.4=0.6,故可知答案为C.

7.设随机变量X的概率密度为f(x)=bd0b16c43ca9e2eea228003a9a117d08.pnge-968daf883d15dca4dd04582571346108.png(x∈R),则X的概率密度最大值为(  )

A.1 B.df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png

C.ec0a30a916a98f4a995a124320887ecd.png D.bd0b16c43ca9e2eea228003a9a117d08.png

[答案] D

[解析] x=-3时有最大值bd0b16c43ca9e2eea228003a9a117d08.png.

二、填空题

8.已知X~N(1.4,0.052),则X落在区间(1.35,1.45)中的概率为____________.

[答案] 0.682 6

[解析] 因为μ=1.4,σ=0.05,所以X落在区间(1.35,1.45)中的概率为P(1.4-0.059.设随机变量ξ~N(2,4),则Dc81d249685dda74acd737b6dc575ab6a.png的值等于__________.

[答案] 1

[解析] ∵σ2=4,∴D(ξ)=4,

∴D(df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngξ)=70e7efdd0b858341812e625a071abd09.pngD(ξ)=1.

三、解答题

10.已知随机变量X~N(μ,σ2),且其正态曲线在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上为减函数,且P(72≤X≤88)=0.683.

(1)求参数μ,σ的值;

(2)求P(64[解析] (1)由于正态曲线在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,所以正态曲线关于直线x=80对称,即参数μ=80.

又P(72≤x≤88)=0.683.

结合P(μ-σ(2)∵P(μ-2σ又∵P(X<64)=P(X>96),

∴P(X<64)=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(1-0.954)=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×0.046=0.023.

∴P(X>64)=0.977.

又P(X≤72)=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(1-P(72≤X≤88))

=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(1-0.683)=0.158 5,

P(6464)-P(X>72)

=0.977-(1-0.158 5)=0.135 5.

一、选择题

1.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξA.1 B.2

C.3 D.4

[答案] B

[解析] 由正态分布的性质及条件P(ξ>c+1)=P(ξ2.已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内?(  )

A.(90,110] B.(95,125]

C.(100,120] D.(105,115]

[答案] C

[解析] 由于X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.

因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.

由于一共有60人参加考试,

∴成绩位于上述三个区间的人数分别是:

60×0.682 6≈41人,60×0.954 4≈57人,

60×0.997 4≈60人.故选C.

3.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,4),则P(-3<ξ<5)=(  )

(参考数据:P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974)

A.0.6826 B.0.9544

C.0.0026 D.0.9974

[答案] B

[解析] 由ξ~N(1,4)知,μ=1,σ=2,∴μ-2σ=-3,μ+2σ=5,∴P(-3<ξ<5)=P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,故选B.

二、填空题

4.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为________.

[答案] 0.8

[解析] 如图所示,易得P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2),故P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8.

三、解答题

5.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N(4,29a2472c9a0a4d196b4bcf2e7e2fc48d.png),问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个?

[解析] ∵X~N(4,29a2472c9a0a4d196b4bcf2e7e2fc48d.png),∴μ=4,σ=7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png.

∴不属于区间(3,5)的概率为

P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(3<X<5)

=1-P(4-1<X<4+1)

=1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)

=1-0.997=0.003

∴1 000×0.003=3(个),

即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个.

6.一投资者在两个投资方案中选择一个,这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(6,22),投资者需要“利润超过5万元”的概率尽量地大,那么他应该选择哪一个方案?

[解析] 由题意,只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大,大的即为最佳选择方案.

对第一方案有ξ~N(8,32),

于是P(ξ>5)=1-P(ξ≤5)=1-F(5)

=1-Φ39d0e10d8f8e73d118bda05c1b79471a.png=1-Φ(-1)=Φ(1)=0.841 3.

对第二方案有ξ~N(6,22),

于是P(ξ>5)=1-P(ξ≤5)=1-F(5)

=1-Φ13ec6439e77562b75418e1c03fb74be8.png=1-Φa86ed2bace66c06b110f82cd93f998c4.png=Φfed7bbbd0ae7939498c1c5d92b5deac7.png=0.6915.

所以应选第一个方案为好.

7.某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布(70,102),如果规定低于60分为不及格,求:

(1)成绩不及格的人数占多少?

(2)成绩在80~90内的学生占多少?

[解析] (1)设学生的得分情况为随机变量X,X~N(70,102),则μ=70,σ=10.

分数在60~80之间的学生的比为:

P(70-10所以不及格的学生的比为

df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(1-0.682 6)=0.158 7,

即成绩不及格的学生占15.87%.

(2)成绩在80~90内的学生的比为

df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png[P(70-2×10=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(0.954 4-0.682 6)=0.135 9.

即成绩在80~90间的学生占13.59%.

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