小初高学习2016-2017学年高中数学 2.4 正态分布学案 新人教A版选修2-3

来源:互联网 编辑:李元芳 手机版

2.4 正态分布

1.了解正态分布的意义.

2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质.(重点)

3.了解正态曲线的意义和性质.

4.会利用φ(x),F(x)的意义求正态总体小于X的概率.(难点)

[基础·初探]

教材整理1 正态曲线及正态分布

阅读教材P70~P72,完成下列问题.

1.正态曲线

若φμ,σ(x)=e-,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.

图2-4-1

随机变量X落在区间(a,b]的概率为P(aφμ,σ(x),即由正态曲线,过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线,及x轴所围成的平面图形的面积,就是X落在区间(a,b]的概率的近似值,如图2-4-1.

2.正态分布

如果对于任何实数a,b(aφμ,σ(x),则称随机变量X服从正态分布.

正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).

 判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)正态变量函数表达式中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.(  )

(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.(  )

(3)正态曲线是一条钟形曲线.(  )

(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述,连续型随机变量的概率分布用分布列描述.(  )

【解析】 (1)× 因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计,而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,用样本的标准差去估计.

(2)√ 因为离散型随机变量最多取可列个不同值.而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值.

(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确.

(4)× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述.

【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×

教材整理2 正态曲线的特点及3σ原则

阅读教材P72~P74,完成下列问题.

1.正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;

(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;

(3)曲线在x=μ处达到峰值

(4)曲线与x轴之间的面积为1;

(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;

(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.

2.3σ原则

(1)若X~N(μ,σ2),则对于任何实数a>0,P(μ-aφμ,σ(x)dx.

(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率:

P(μ-σP(μ-2σP(μ-3σ(3)通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则.

1.把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位,

得到一条新的曲线b,下列说法中不正确的是________.(填序号)

①曲线b仍然是正态曲线;

②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;

③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2;

④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.

【解析】 正态曲线向右平移2个单位,σ不发生变化,故③错误.

【答案】 ③

2.关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是________.(填序号)

①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件;

②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件;

③随机变量落在(-3σ,3σ)之外是一个小概率事件;

④随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件.

【解析】 ∵P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 4,

∴P(X>μ+3σ或X<μ-3σ)=1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)=1-0.997 4=0.002 6,

∴随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件.

【答案】 ④

3.(2016·山东滨州月考)在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为________.

【解析】 ∵X服从正态分布(1,σ2),

∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同,均为0.4.

∴X在(0,2)内取值的概率为0.4+0.4=0.8.

【答案】 0.8

[质疑·手记]

预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:

疑问1: 

解惑: 

疑问2: 

解惑: 

疑问3: 

解惑:

[小组合作型]

正态分布的概念及正态曲线的性质

 

图2-4-2

如图2-4-2所示是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的期望和方差.

【精彩点拨】 给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式.

【自主解答】 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是,所以μ=20.

,得σ=.

于是概率密度函数的解析式是

f(x)=·e-,x∈(-∞,+∞),

总体随机变量的期望是μ=20,方差是σ2=()2=2.

[再练一题]

1.

图2-4-3

(1)设两个正态分布N(μ1,σ)(σ1>0)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函数图象如图2-4-3所示,则有(  )

A.μ1<μ2,σ1<σ2

B.μ1<μ2,σ1>σ2

C.μ1>μ2,σ1<σ2

D.μ1>μ2,σ1>σ2

【解析】 根据正态分布的性质:对称轴方程x=μ,σ表示正态曲线的形状.由题图可得,选A.

【答案】 A

(2)

图2-4-4

如图2-4-4是正态分布N(μ,σ),N(μ,σ),N(μ,σ)(σ1,σ2,σ3>0)相应的曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是(  )

A.σ1>σ2>σ3    B.σ3>σ2>σ1

C.σ1>σ3>σ2 D.σ2>σ1>σ3

【解析】 由σ的意义可知,图象越瘦高,数据越集中,σ2越小,故有σ1>σ2>σ3.

【答案】 A

服从正态分布变量的概率问题

 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=(  )

A.0.6  B.0.4 C.0.3  D.0.2

(2)在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,4),求正态总体X在(-1,1)内取值的概率.

【精彩点拨】 (1)根据正态曲线的性质对称性进行求解;(2)题可先求出X在(-1,3)内取值的概率,然后由正态曲线关于x=1对称知,X在(-1,1)内取值的概率就等于在(-1,3)内取值的概率的一半.

【自主解答】 (1)∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),

∴μ=2,对称轴是x=2.∵P(ξ<4)=0.8,

∴P(ξ≥4)=P(ξ<0)=0.2,

∴P(0<ξ<4)=0.6,∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C.

【答案】 C

(2)由题意得μ=1,σ=2,

所以P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=0.682 6.

又因为正态曲线关于x=1对称,

所以P(-1<X<1)=P(1<X<3)=P(-1<X<3)=0.341 3.

利用正态分布求概率的两个方法

1.对称法:由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间上概率相等.如:

(1)P(X(2)P(X<μ-a)=P(X>μ+a).

2.“3σ”法:利用X落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解.

[再练一题]

2.设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X(1)求c的值;(2)求P(-4

【解】 (1)由X~N(2,9)可知,密度函数关于直线x=2对称(如图所示),

又P(X>c+1)=P(X所以c=2.

(2)P(-40.954 4.

[探究共研型]

正态分布的实际应用

探究1 若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25),那么该圆柱形零件外直径的均值,标准差分别是什么?

【提示】 零件外直径的均值为μ=4,标准差σ=0.5.

探究2 某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25),若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品.试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品?

【提示】 P(3.5<ε≤4.5)=P(μ-σ<ε<μ+σ)=0.682 6,所以1 000件产品中大约有1 000×0.682 6≈683(件)一等品.

探究3 某厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件,测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格?

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