内蒙古赤峰二中高二数学精品教案:2.4 2《正态分布》1(人教B版选修2-3)

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正态分布(一)·教案

目的要求

1.掌握正态分布在实际生活中的意义和作用.

2.结合正态曲线,加深对正态密度函数的理解.

3.通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质.

内容分析

1.在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布.在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时,频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地反映了总体分布.但总体密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口.正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布.

2.正态分布是可以用函数形式来表述的.其密度函数可写成:

由此可见,正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的.常把它记为N(μ,σ2).

3.从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为x=μ,并在x=μ时取最大值.从x=μ点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近x轴,但永不与x轴相交,因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的.

4.通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征.

5.由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的,因此从某种意义上说,正态分布就有好多好多,这给我们深入研究带来一定的困难.但我们也发现,许多正态分布中,重点研究N(0,1),其他的正态

从而使正态分布的研究得以简化.

6.结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质.正态曲线的作图较难,教科书没做要求,授课时可以借助几何画板作图,学生只要了解大致的情形就行了,关键是能通过正态曲线,引导学生归纳其性质

教学过程

(一)引入新课

1.复习提问

(1)运用多媒体画出(图1-3)频率分布直方图.

(2)当n由100增至200时,观察频率分布直方图的变化.

(3)请问当样本容量n无限增大时,频率分布直方图变化的情况?(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)

(4)样本容量越大,总体估计就越精确.

2.通过实例,说明正态分布(密度)是最基本、最重要的一种分布.如学生的学习成绩、气象中的平均气温、平均湿度等等,都服从或近似地服从正态分布.

(二)讲授新课

1.正态分布密度函数的理解.

其中:π是圆周率;e是自然对数的底;

x是随机变量的取值;μ为正态分布的均值;

σ是正态分布的标准差

正态分布一般记为N(μ,σ2).

例1 下面给出三个正态总体的函数表示式,请找出其均值μ和标准差σ.

(答案:μ=0,σ=1;μ=1,σ=2;μ=-1,σ=0.5)

2.正态分布N(μ,σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布.通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响.

3.通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称.正态曲线的作图,书中没有做要求,教师也不必补上.讲课时教师可以应用几何画板,形象、美观地画出三条正态曲线的图形,结合前面均值与标准差对图形的影响,引导学生观察总结正态曲线的性质.

4.结合正态曲线,归纳其以下性质:

(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交.

(2)曲线关于直线x=μ对称.

(3)当x=μ时,曲线位于最高点.

(4)当x<μ时,曲线上升(增函数);当x>μ时,曲线下降(减函数).并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.

(5)μ一定时,曲线的形状由σ确定.

σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散;

σ越小,曲线越“高”,总体分布越集中;

五条性质中前三条学生较易掌握,后两条较难理解,因此在讲授时应运用数形结合的原则,采用对比教学.

例2 正态总体的函数表示式是

(1)求f(x)的最大值.

(2)利用指数函数性质说明其单调区间,以及曲线的对称轴.

5.当μ=0、σ=1时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是

其相应的曲线称为标准正态曲线.

标准正态总体N(0, 1)在正态总体的研究中占有重要的地位.任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题.

(三)小结

总体密度曲线——正态曲线——标准正态曲线

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