(解析版)河南省新乡市高一上学期期末考试数学试题

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2017~2018学年新乡市高一上学期期末考试

数学试卷

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合,则集合中元素的个数为( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】集合中的元素为点集,表示直线表示以为圆心的圆,过点,则直线与圆有两个交点,集合中元素的个数为,故选C.

2. 若一个圆柱的轴截面是面积为8的正方形,则这个圆柱的侧面积为( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】设底面圆的半径为,则,圆柱的侧面积为,故选B.

3. 下列命题中,正确的命题是( )

A. 存在两条异面直线同时平行于同一个平面

B. 若一个平面内两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行

C. 底面是矩形的四棱柱是长方体

D. 棱台的侧面都是等腰梯形

【答案】A

【解析】由空间几何体的概念可知,存在两条异面直线同时平行于同一个平面,正确;由面面平行的判定定理可知,若一个平面内两条相交直线直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,所以不正确;底面是矩形的直四棱柱是长方体,所以不正确;正棱台的侧面都是等腰梯形,所以不正确,故选A.

4. 已知函数 ,则的定义域为( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】要使函数 有意义,则 ,解得 的定义域为,由,解得的定义域为,故选D.

【方法点晴】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法,属于中档题. 定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2) 对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3) 若已知函数的定义域为,则函数的定义域由不等式求出.

5. 函数的零点所在的区间为( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由于函数的是单调递增函数,且根据零点存在定理可知,函数的零点所在的区间为,故选B.

6. 若直线平行于直线且原点到直线的距离为,则直线的方程是( )

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】因为直线平行于直线,所以可设所求直线方程为,根据点到直线距离公式可得,解得所求直线的方程为,故选A.

7. 若函数满足,且,则( )

A. 1 B. C. D. 3

【答案】D

【解析】因为函数满足,所以,故选D.

8. 已知圆经过,且圆心在第一象限,为直角三角形,则圆的方程为( )

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】因为圆心在弦的中垂线上,所有可设,由于为等腰直角三角形,所以圆心坐标为 ,圆的半径为,所以圆的方程为,故选C.

9. 已知点关于对称,则点的坐标为( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】设,因为点关于对称,则,解得,点的坐标为,故选D.

10. 如图,将边长为2的正方体沿对角线折起,得到三棱锥,则下列命题中,错误的为( )

A. 直线平面

B. 三棱锥的外接球的半径为

C.

D. 若的中点,则平面

【答案】C

【解析】

...............

11. 若函数是偶函数,则不等式的解集为( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】若是偶函数,则有恒成立,即,于是 ,即是恒成立,得,令,又上单调递增,不等式等价于,可得 ,即的解集为,故选A.

【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性,属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个,一是利用:(1)奇函数由 恒成立求解,(2)偶函数由 恒成立求解;二是利用特殊值:奇函数一般由 求解,偶函数一般由求解,用特殊法求解参数后,一定要注意验证奇偶性.

12. 将正方形沿对角线折起,得到三棱锥,使得,若三棱锥的外接球的半径为,则三棱锥的体积为( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】正方形沿对角线折起,得到三棱锥,所以的中点到的距离都等于正方形对角线的一半,三棱锥的外接球的球心位于的中点,,又由勾股定理可得,根据正方形的性质可得 ,根据线面垂直的判定定理可得平面所以 ,故选B.

【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球的性质、线面垂直的判定以及棱锥的体积公式,属于难题.有关外接球的题型,关键是求出球的半径,求外接球半径的常见方法有:①若三条棱两垂直则用为三棱的长);②若),则外接圆半径);③可以转化为长方体的外接球;④特殊几何体可以直接找出球心和半径.

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中的横线上.

13. 若,则__________.

【答案】1

【解析】 ,故答案为.

14. 若正方体的表面积为24,则这个正方体的内切球的体积为__________.

【答案】

【解析】设正方体边长为,则正方体的表面积为,内切球的直径为 ,故答案为.

15. 已知函数上存在最小值,则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】当时,,要使函数上存在最小值,则,解得的取值范围是,故答案为.

16. 已知圆与曲线有四个不同的交点,则的取值范围是__________.

【答案】

【方法点睛】本题主要考查曲线与方程以及直线与圆的位置关系,属于难题 . 求范围问题常见思路为:一是先将所求问题转化为函数问题,然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解;二是利用有关定理、推论以及特殊图形的性质列出关于参数的不等式,求解不等式即可..

三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合,全集为.

(1)求

(2)若,求的取值范围.

【答案】(1).(2).

【解析】试题分析:(1)根据补集的定义可得,从而根据交集的定义可求得;(2)先根据并集的定义可得,根据交集的定义列不等式求解即可.

试题解析:(1)

.

(2)

因为,所以.

18. 已知直线,直线轴上的截距为-1,且.

(1)求直线的交点坐标;

(2)已知直线经过的交点,且在轴的截距是在轴的截距的3倍,求的方程.

【答案】(1).(2).

【解析】试题分析:(1)设的方程:,由轴上的截距为,可得,从而求得的方程,两直线方程联立可求得直线的交点坐标;(2)当过原点时,则的方程为.当不过原点时,设的方程为,将直线的交点坐标代入上式即可求出的方程.

试题解析:(1)设的方程:

因为轴上的截距为-1,所以.

联立,得,所以直线的交点坐标为.

(2)当过原点时,则的方程为.

不过原点时,设的方程为

又直线经过的交点,所以,得,

的方程为.

综上:的方程为.

【方法点睛】本题主要考查直线的方程,两条直线垂直斜率之间的关系,属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一,这类问题以简单题为主,主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系:在斜率存在的前提下,(1) ;(2),这类问题尽管简单却容易出错,特别是容易遗忘斜率不存在的情况,这一点一定不能掉以轻心.

19. 已知函数).

(1)当时,,求的取值范围;

(2)若上的最小值大于1,求的取值范围.

【答案】(1).(2).

【解析】试题分析:(1)当时,,得;(2)当时,函数上单调递减,,得,当时,函数上单调递增,,不成立,综合两种情况可得结果..

试题解析:(1)当时,

,得.

(2)在定义域内单调递减,

时,函数上单调递减,,得.

时,函数上单调递增,,不成立.

综上:.

【方法点睛】本题主要考查指数函数的单调性、复合函数的性质、分类讨论思想,属于中档题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.

20. 如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,平面是棱上的一个点,的中点.

(1)证明:平面

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)见解析.(2)2.

【解析】试题分析:(1)取的中点,连接,所以平面平面,所以平面;(2)

试题解析:

(1)证明:连接,设,取的中点,连接

中,因为分别为的中点,所以

平面,所以平面

同理,在中,平面

因为平面,所以平面.

(2)由(1)知平面,所以

,所以

因为

所以.

21. 已知圆.

(1)过点且斜率为的直线与圆相切,求值;

(2)过点的直线与圆交于两点,直线的斜率分别为,其中为坐标原点,,求的方程.

【答案】(1).(2).

【解析】试题分析:(1)设直线的方程为,由相切,圆心到直线的距离等于半径列方程可求得值;(2)设的方程为,代入方程,整理得,根据斜率公式以及韦达定理可列出关于的方程,解方程即可得结果.

试题解析:(1)由题可知直线的方程为,圆

因为交于相切,所以

解得.

(2)设

直线斜率不存在,明显不符合题意,故设的方程为

代入方程,整理得.

所以,即.

解得

所以的方程为.

22. 已知函数,若,且.

(1)求的值;

(2)当时,函数的图像与的图像仅有一个交点,求正实数的取值范围.

【答案】(1).(2).

【解析】试题分析:(1)由,可得,结合,得,则;(2) ,分三种情况讨论,时,时,结合二次函数的对称轴与单调性,以及对数函数的单调性,可筛选出符合题意的正实数的取值范围.

试题解析:(1)设,则,因为

因为,得,则.

(2)由题可知 .

时,上单调递减,且

单调递增,且,此时两个图象仅有一个交点.

时,上单调递减,

上单调递增,因为两个图象仅有一个交点,结合图象可知,得.

综上,正实数的取值范围是.

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