河南省新乡市2018 - 2019学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

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河南省新乡市2018-2019学年高二上学期期末考试

数学(理)试题

一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)

1.命题“若,则”的逆命题为( )

A. 若,则 B. 若,则

C. 若,则 D. 若,则

【答案】C

【解析】

【分析】

根据命题与逆命题的关系,可得逆命题。

【详解】根据原命题与逆命题的关系,可得逆命题为

,则

所以选C

【点睛】本题考查了命题与逆命题的关系,属于基础题。

2.在等差数列中,,则  

A. 8 B. 9 C. 11 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知结合等差数列的性质即可求解的值.

【详解】在等差数列中,由,得

故选:B.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的性质,是基础题.

3.在中,角A,B,C的对边分别是边a,b,c,若,则  

A. B. 6 C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知利用三角形内角和定理可求B的值,根据余弦定理可得b的值.

【详解】

由余弦定理可得:

故选:C.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.

4.已知双曲线 的实轴的长度比虚轴的长度大2,焦距为10,则双曲线的方程为( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据双曲线定义及a、b、c关系,求出值即可得到双曲线方程。

【详解】因为双曲线 的实轴的长度比虚轴的长度大2,焦距为10

所以 ,解方程组得

且焦点在x轴上,所以双曲线标准方程为

所以选B

【点睛】本题考查了利用a、b、c的关系求双曲线标准方程,属于基础题。

5.在三棱柱中,若,则  

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

可画出三棱柱,结合图形即可求出,这样根据向量加法的平行四边形法则即可求出

【详解】如图,

故选:D.

【点睛】本题考查相等向量、相反向量的概念,向量减法的几何意义,向量加法的平行四边形法则,数形结合的解题方法.

6.设,若“ ”是“ ”的充分不必要条件,则的取值范围为( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

解不等式求得x的取值范围,根据充分不必要条件可求出a、b的范围即可。

【详解】解不等式

因为“ ”是“ ”的充分不必要条件,且

所以

所以选C

【点睛】本题考查了充分必要条件的判断,注意边界问题,属于基础题。

7.设直线的方向向量为,平面的法向量为,则使成立的是( )

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意,验证,得到,进而得到答案。

【详解】由题意,只有B中,所以,故

【点睛】本题主要考查了利用空间向量判定点、线、面的位置关系的应用,其中熟记空间向量与线面位置关系的判定方法,熟练使用平面的法向量是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。

8.设x,y满足约束条件,则的最小值为  

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.

【详解】

画出表示的可行域,如图,

可得,可得

变形为

平移直线

由图可知当直经过点时,

直线在轴上的截距最小,

最小值为,故选C.

【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.

9.已知点是抛物线的焦点,点分别是抛物线上位于第一、四象限的点,若,则的面积为  

A. 42 B. 30 C. 18 D. 14

【答案】A

【解析】

【分析】

利用焦半径公式可得,得到抛物线方程,求得的坐标,得到方程,求出轴交点,再由面积公式求解.

【详解】

因为到焦点的距离,等于到准线的距离,

所以

则抛物线的方程为

代入方程,得舍去,即

同理可得,则,即

设直线轴交于点,已知

,故选A.

【点睛】本题考查抛物线的方程、定义与简单性质,是中档题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题得到解决.

10.已知在长方体中,是侧棱的中点,则直线与平面所成角的正弦值为  

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

为原点,轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,求得利用向量垂直数量积为零列方程求出的法向量,由空间向量夹角余弦公式可得结果

【详解】

在长方体中,是侧棱的中点,

为原点,轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,

0,

0,

0,1,

设平面的法向量为

,取,得

设直线与平面所成角为

直线与平面所成角的正弦值为,故选B.

【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法,以及空间向量夹角余弦公式的应用,是中档题.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:

第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;

第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;

第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;

第四,破“应用公式关”.

11.在直角坐标系中,是椭圆的左焦点,分别为左、右顶点,过点轴的垂线交椭圆两点,连接轴于点,连接于点,若是线段的中点,则椭圆的离心率为( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率。

【详解】如图,连接BQ,则由椭圆的对称性易得∠PBF=∠QBF,∠EAB=∠EBA,所以∠EAB=∠QBF,所以ME//BQ.

因为△PME∽△PQB,所以

因为△PBF∽△EBO,所以,从而有

又因为M是线段PF的中点,所以.

本题选择C选项.

【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:

①求出a,c,代入公式

②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).

12.设是数列的前项和,若,则( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

可由题设中的递推关系得到,将其变形为后用累加法求可得

【详解】因为,所以,所以

整理得到

所以

所以,选A.

【点睛】数列的通项与前项和 的关系式,我们常利用这个关系式实现之间的相互转化.

二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

13.设命题,则为______ .

【答案】

【解析】

【分析】

由全称命题的否定即可得到答案。

【详解】根据全称命题的否定,可得

【点睛】本题考查了含有量词的命题否定,属于基础题。

14.已知,则的最小值为______.

【答案】1

【解析】

【分析】

根据基本不等式即可求出最小值.

【详解】

,当且仅当,即时取等号,

故答案为:1

【点睛】本题考查了基本不等式的应用,属于基础题.

15.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则______.

【答案】

【解析】

【分析】

由已知利用余弦定理可求,又,可求b,c的值,根据余弦定理可求,利用同角三角函数基本关系式可求的值,根据三角形的面积公式即可计算得解.

【详解】

由余弦定理可得:,整理可得:

解得:

,可得:

故答案为:

【点睛】本题主要考查了余弦定理,同角三角函数基本关系式,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.

16.已知双曲线的左、右焦点分别为,过的直线交C的右支于A、B两点,,则C的离心率为______.

【答案】

【解析】

【分析】

可设,由可得,运用双曲线的定义和勾股定理求得,再由勾股定理和离心率公式,计算可得所求值.

【详解】可设

可得

由双曲线的定义可得

由双曲线的定义可得

在直角三角形中,可得

在直角三角形中,可得

即为,即

可得

故答案为:

【点睛】本题考查双曲线的定义和性质,主要是离心率的求法,注意运用直角三角形的勾股定理,考查方程思想和运算能力,属于中档题.

三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)

17.已知表示焦点在x轴上的双曲线,q:方程表示一个圆.

若p是真命题,求m的取值范围;

是真命题,求m的取值范围.

【答案】(1);(2).

【解析】

【分析】

结合双曲线的定义进行求解即可

根据复合命题真假关系,得到p,q都是真命题进行求解即可.

【详解】解:表示焦点在x轴上的双曲线为真命题,

,得,得

若方程表示圆,则,即q:

是真命题,则p,q都是真命题,

,得

即实数m的取值范围是

【点睛】本题主要考查命题真假的应用,以及复合命题真假关系,求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键.

18.已知数列满足

证明:数列是等比数列;

,求数列的前n项和

【答案】(1)详见解析;(2).

【解析】

【分析】

对数列的递推式两边加1,结合等比数列的定义,即可得证;

由对数的运算性质可得,再由裂项相消求和,化简可得所求和.

【详解】解:证明:数列满足

可得

即有数列是首项为2,公比为3的等比数列;

可得

即有

数列的前n项和

【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

19.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

求A;

,求的面积.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)2.

【解析】

【分析】

【方法一】利用正弦定理与三角形内角和定理,结合题意求得的值,从而求出角A的值;【方法二】利用余弦定理结合题意求得,从而求得A的值;由同角的三角函数关系求得,再利用三角恒等变换求得,利用正弦定理求得b,计算的面积.

【详解】解:【方法一】由已知得

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