2015-2016学年高中数学 2.4正态分布课后训练 新人教A版选修2-3

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【优化设计】2015-2016学年高中数学 2.4正态分布课后训练 新人教A版选修2-3

A组

1.设随机变量X服从正态分布N(2,9),若P(X>c+1)=P(X                

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:区间(-∞,c-1)和(c+1,+∞)关于x=c对称,故x=c为正态曲线的对称轴,即c=2.

答案:B

2.设随机变量X服从正态分布N(3,σ2),若P(X>m)=a,则P(X>6-m)等于(  )

A.a B.1-2a

C.2a D.1-a

解析:因为直线x=m与直线x=6-m关于直线x=3对称,所以P(X>6-m)=1-a.

答案:D

3.设随机变量X服从正态分布,且相应的概率密度函数为φμ,σ(x)=,则(  )

A.μ=2,σ=3 B.μ=3,σ=2

C.μ=2,σ= D.μ=3,σ=

解析:φμ,σ(x)=,∴σ=,μ=2.

答案:C

4.一批电阻的电阻值X(Ω)服从正态分布N(1 000,52),现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻,测得电阻值分别为1 011 Ω和982 Ω,可以认为(  )

A.甲、乙两箱电阻均可出厂

B.甲、乙两箱电阻均不可出厂

C.甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂

D.甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂

解析:∵X~N(1 000,52),

∴μ=1 000,σ=5,∴μ-3σ=1 000-3×5=985,

μ+3σ=1 000+3×5=1 015.

∵1 011∈(985,1 015),982?(985,1 015),

∴甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂.

答案:C

5.设随机变量X~N(1,22),则D等于(  )

                

A.4 B.2 C. D.1

解析:因为X~N(1,22),所以D(X)=4,所以DD(X)=1.

答案:D

6.为了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数是(  )

A.997 B.954

C.819 D.683

解析:由题意,可知μ=60.5,σ=2,

故P(58.5从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.

答案:D

7.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等,则这个正态总体的均值为   .?

解析:正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等.另外,因为区间(-3,-1)和区间(3,5)的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的.因为区间(-3,-1)和区间(3,5)关于x=1对称,所以正态总体的均值为1.

答案:1

8.设随机变量X~N(1,22),则Y=3X-1服从的总体分布可记为      .?

解析:因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.

又Y=3X-1,所以E(Y)=3E(X)-1=3μ-1=2,

D(Y)=9D(X)=62.

∴Y~N(2,62).

答案:Y~N(2,62)

9.某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102),如果规定低于60分为不及格,求:

(1)成绩不及格的学生占多少?

(2)成绩在80~90分内的学生占多少?

解:(1)设学生的得分情况为随机变量X,X~N(70,102),则μ=70,σ=10.

在60~80分之间的学生所占的比例为P(70-10所以不及格的学生所占的比例为×(1-0.682 6)=0.158 7=15.87%,

即成绩不及格的学生占15.87%.

(2)成绩在80~90分内的学生所占的比例为

[P(70-2×10=×(0.954 4-0.682 6)=0.135 9=13.59%,

即成绩在80~90分内的学生占13.59%.

10.已知某地农民工年均收入X服从正态分布,其密度函数图象如图所示.

(1)写出此地农民工年均收入的密度函数的表达式;

(2)求此地农民工年均收入在8 000~8 500元之间的人数所占的百分比.

解:设农民工年均收入X~N(μ,σ2),

结合题图可知,μ=8 000,σ=500.

(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为

φμ,σ(x)=

=,x∈(-∞,+∞).

(2)∵P(7 500=P(8 000-500∴P(8 000即农民工年均收入在8 000~8 500元之间的人数所占的百分比为34.13%.

B组

1.已知一次考试共有60名学生参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数所在的区间应是(  )

A.(90,110] B.(95,125]

C.(100,120] D.(105,115]

解析:∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.

∴考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]内的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.

由于共有60人参加考试,

故成绩位于上述三个区间内的人数分别是60×0.682 6≈41,60×0.954 4≈57,60×0.997 4≈60.

答案:C

2.已知随机变量X服从正态分布N(0,1),若P(X≤-1.96)=0.025,则P(|X|<1.96)等于(  )

A.0.025 B.0.050

C.0.950 D.0.975

解析:由随机变量X服从正态分布N(0,1),

得P(X<1.96)=1-P(X≤-1.96).

所以P(|X|<1.96)=P(-1.96=P(X<1.96)-P(X≤-1.96)

=1-2P(X≤-1.96)

=1-2×0.025=0.950.

答案:C

3.已知X~N(4,σ2),且P(2.?

解析:∵X~N(4,σ2),且P(2∴μ=4.结合3σ原则可知

∴σ=2.

∴P(|X-2|<4)=P(-2=P(-2=[P(-2=P(-2答案:2 0.84

4.据抽样统计,在某市的公务员考试中,考生的综合评分X服从正态分布N(60,102),考生共10 000人,若一考生的综合评分为80分,则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第   名.?

解析:依题意,P(60-20P(X>80)=(1-0.954 4)=0.022 8,

故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8=228.

所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名.

答案:229

5.某建筑工地所需要的钢筋的长度X~N(8,22),质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度小于2米,这时,他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢,还是停下来检修切割机?

解:∵X~N(8,22),∴μ=8,σ=2.

而2?(μ-3σ,μ+3σ),

所以应让钢筋工停下来检修切割机.

6.一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件,现在从中抽测10个,它们的尺寸分别如下(单位:mm):10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果机床生产零件的尺寸Y服从正态分布,求Y的正态分布密度函数.

解:依题意得

μ=(10.2+10.1+10+9.8+9.9+10.3+9.7+10+9.9+10.1)=10.

σ2=[(10.2-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.3-10)2+(9.7-10)2+(10-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2]=0.03.

即μ=10,σ2=0.03.

所以Y的正态分布密度函数为φμ,σ(x)=.

7.某投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12).投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案?

解:对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ=8,σ=3,

P(X>5)=+P(5=.

对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ=7,σ=1,

P(X>5)=.

显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.

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