推荐学习K122018-2019学年度九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方

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21.1 一元二次方程

学校:___________姓名:___________班级:___________

一.选择题(共12小题)

1.关于x的方程(a﹣1)x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程,则(  )

A.a≠±1 B.a=1 C.a=﹣1 D.a=±1

2.下列方程中,一元二次方程是(  )

A.x2+x+1=0 B.ax2+bx=0

C.x2+=0 D.3x2﹣2xy﹣5y2=0

3.方程2x2﹣6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(  )

A.6,2,9 B.2,﹣6,9 C.2,﹣6,﹣9 D.﹣2,6,9

4.一元二次方程(x+3)(x﹣3)=5x的一次项系数是(  )

A.﹣5 B.﹣9 C.0 D.5

5.若关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0,则m等于(  )

A.0 B.1 C.2 D.1或2

6.将方程x2﹣1=5x化为一元二次方程的一般形式,其中二次项系数为1,一次项系数、常数项分别是(  )

A.﹣5、﹣1 B.一5、1 C.5、﹣1 D.5、1

7.若2﹣是方程x2﹣4x+c=0的一个根,则c的值是(  )

A.1 B. C. D.

8.若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根,则m+n的值是(  )

A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2

9.下列说法不正确的是(  )

A.方程x2=x有一根为0

B.方程x2﹣1=0的两根互为相反数

C.方程(x﹣1)2﹣1=0的两根互为相反数

D.方程x2﹣x+2=0无实数根

10.已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根,则α3+8β+6的值为(  )

A.﹣1 B.2 C.22 D.30

11.在数1、2、3和4中,是方程x2+x﹣12=0的根的为(  )

A.1 B.2 C.3 D.4

12.m是方程x2+x﹣1=0的根,则式子2m2+2m+2016的值为(  )

A.2013 B.2016 C.2017 D.2018

 

二.填空题(共8小题)

13.已知2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程,则m=   .

14.关于x的方程是(m2﹣1)x2+(m﹣1)x﹣2=0,那么当m   时,方程为一元二次方程;当m   时,方程为一元一次方程.

15.一元二次方程3x(x﹣3)=2x2+1化为一般形式为   .

16.一元二次方程(2+x)(3x﹣4)=5的二次项系数是   ,一次项系数是   ,常数项是   .

17.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2,则m+n=   .

18.若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根,则6m2﹣9m+2015的值为   .

19.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0的一个根,则k的值为   .

20.已知2是关于x的方程:x2﹣2mx+3m=0的一个根,而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,则△ABC的周长是   .

 

三.解答题(共3小题)

21.阅读下列材料:

(1)关于x的方程x2﹣3x+1=0(x≠0)方程两边同时乘以得:

(2)a3+b3=(a+b)(a2﹣ab+b2);a3﹣b3=(a﹣b)(a2+ab+b2).

根据以上材料,解答下列问题:

(1)x2﹣4x+1=0(x≠0),则=   , =   , =   ;

(2)2x2﹣7x+2=0(x≠0),求的值.

22.已知x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根,求代数式

2m(m﹣2)﹣(m+)(m﹣)的值.

23.已知:关于x的一元二次方程x2﹣(2m+3)x+m2+3m+2=0.

(1)已知x=2是方程的一个根,求m的值;

(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC(AB<AC)的边长,当BC=时,△ABC是等腰三角形,求此时m的值.

 

参考答案与试题解析

 

一.选择题(共12小题)

1.

解:由题意可知:

∴a=﹣1

故选:C.

 

2.

解:A、x2+x+1=0,只含有一个未知数x,未知数的最高次数是2,二次项系数不为0,是一元二次方程,符合题意;

B、ax2+bx=0(a≠0),是方程,不符合题意;

C、x2+=0为分式方程,不符合题意;

D、3x2﹣2xy﹣5y2=0含有2个未知数,不符合题意;

故选:A.

 

3.

解:∵方程2x2﹣6x=9化成一般形式是2x2﹣6x﹣9=0,

∴二次项系数为2,一次项系数为﹣6,常数项为﹣9.

故选:C.

 

4.

解:化为一般式,得

x2﹣5x﹣9=0,

一次项系数为﹣5,

故选:A.

 

5.

解:∵关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0,

∴m2﹣3m+2=0,m﹣2≠0,

解得:m=1.

故选:B.

 

6.

解:x2﹣1=5x化为一元二次方程的一般形式x2﹣5x﹣1=0,

一次项系数、常数项分别是﹣5,﹣1,

故选:A.

 

7.

解:把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0,得(2﹣)2﹣4(2﹣)+c=0,

解得c=1;

故选:A.

 

8.

解:把x=n代入方程x2+mx+2n=0得n2+mn+2n=0,

因为n≠0,

所以n+m+2=0,

则m+n=﹣2.

故选:D.

 

9.

解:A、x2=x,移项得:x2﹣x=0,因式分解得:x(x﹣1)=0,

解得x=0或x=1,所以有一根为0,此选项正确;

B、x2﹣1=0,移项得:x2=1,直接开方得:x=1或x=﹣1,所以此方程的两根互为相反数,此选项正确;

C、(x﹣1)2﹣1=0,移项得:(x﹣1)2=1,直接开方得:x﹣1=1或x﹣1=﹣1,解得x=2或x=0,两根不互为相反数,此选项错误;

D、x2﹣x+2=0,找出a=1,b=﹣1,c=2,则△=1﹣8=﹣7<0,所以此方程无实数根,此选项正确.

所以说法错误的选项是C.

故选:C.

 

10.

解:方法一:

方程x2﹣2x﹣4=0解是x=,即x=1±

∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根,

∴①当α=1+,β=1﹣时,

α3+8β+6,

=(1+)3+8(1﹣)+6,

=16+8+8﹣8+6,

=30;

②当α=1﹣,β=1+时,

α3+8β+6,

=(1﹣)3+8(1+)+6,

=16﹣8+8+8+6,

=30.

方法二:

∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根,

∴α+β=2,α2﹣2α﹣4=0,

∴α2=2α+4

∴α3+8β+6=α?α2+8β+6

=α?(2α+4)+8β+6

=2α2+4α+8β+6

=2(2α+4)+4α+8β+6

=8α+8β+14

=8(α+β)+14=30,

故选:D.

 

11.

解:方程左边因式分解得:(x+4)(x﹣3)=0,

得到:x+4=0或x﹣3=0,

解得:x=﹣4或x=3,

故选:C.

 

12.

解:∵m是方程x2+x﹣1=0的根,

∴m2+m﹣1=0,

∴m2+m=1,

∴2m2+2m+2016=2(m2+m)+2016=2×1+2016=2018.

故选:D.

 

二.填空题(共8小题)

13.

解:由题意可得|m|﹣2=2,

解得,m=±4.

故答案为:±4.

 

14.

解:若方程是一元二次方程,则:

m2﹣1≠0

∴m≠±1

若方程是一元一次方程,则:

m2﹣1=0且m﹣1≠0

∴m=﹣1.

故答案分别是:m≠±1,m=﹣1.

 

15.

解:一元二次方程3x(x﹣3)=2x2+1化为一般形式为x2﹣9x﹣1=0,

故答案为:x2﹣9x﹣1=0.

 

16.

解:方程(2+x)(3x﹣4)=5整理为一般式可得3x2+2x﹣13=0,

∴二次项系数是3,一次项系数是2,常数项是﹣13,

故答案为:3、2、﹣13.

 

17.

解:∵2(n≠0)是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根,

∴4+2m+2n=0,

∴n+m=﹣2,

故答案为:﹣2.

 

18.

解:由题意可知:2m2﹣3m﹣1=0,

∴2m2﹣3m=1

∴原式=3(2m2﹣3m)+2015=2018

故答案为:2018

 

19.

解:把x=2代入kx2+(k2﹣2)x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0,

整理得k2+3k=0,解得k1=0,k2=﹣3,

因为k≠0,

所以k的值为﹣3.

故答案为﹣3.

 

20.

解:把x=2代入方程得4﹣4m+3m=0,解得m=4,

则原方程为x2﹣8x+12=0,解得x1=2,x2=6,

因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长,

所以△ABC的腰为6,底边为2,则△ABC的周长为6+6+2=14.

故答案为14.

 

三.解答题(共3小题)

21.

解;(1)∵x2﹣4x+1=0,

∴x+=4,

∴(x+)2=16,

∴x2+2+=16,

∴x2+=14,

∴(x2+)2=196,

∴x4++2=196,

∴x4+=194.

故答案为4,14,194.

(2)∵2x2﹣7x+2=0,

∴x+=,x2+=

=(x+)(x2﹣1+)=×(﹣1)=

 

22.

解:原式=2m2﹣4m﹣(m2﹣3)

=2m2﹣4m﹣m2+3

=m2﹣4m+3,

∵x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0的根,

∴1﹣4m+m2=0,即m2﹣4m=﹣1,

∴原式=﹣1+3=2.

 

23.

解:(1)∵x=2是方程的一个根,

∴4﹣2(2m+3)+m2+3m+2=0,

∴m=0或m=1;

(2)∵△=(2m+3)2﹣4(m2+3m+2)=1,

=1;

∴x=

∴x1=m+2,x2=m+1,

∵AB、AC(AB<AC)的长是这个方程的两个实数根,

∴AC=m+2,AB=m+1.

∵BC=,△ABC是等腰三角形,

∴当AB=BC时,有m+1=

∴m=﹣1;

当AC=BC时,有m+2=

∴m=﹣2,

综上所述,当m=﹣1或m=﹣2时,△ABC是等腰三角形.

 

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