2018 - 2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法学案

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2.绝对值不等式的解法

 1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c;|x-a|+|x-b|≤c.

2.了解绝对值不等式的几何解法.

,        [学生用书P16])

1.含绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解法

(1)|x|<a?

(2)|x|>a?

2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c.

(2)|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.

3.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的三种解法

(1)利用绝对值不等式的几何意义.

(2)利用x-a=0,x-b=0的解,将数轴分成三个区间,然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之.

(3)通过构造函数,利用函数图象.

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)若|f(x)|>|g(x)|,则f(x)<g(x),或f(x)>-g(x).(  )

(2)绝对值三角不等式的解法一般有分区间(分类)讨论法、图象法和几何法.(  )

(3)几何法解绝对值不等式的关键是利用|x-a|+|x-b|>c(c>0)的几何意义:即数轴上到点x1=a和x2=b的距离之和大于c的全体,|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|a-b|.(  )

答案:(1)× (2)√ (3)√

2.不等式|x-1|<1的解集为(  )

A.(0,2)   B.(-∞,2)

C.(1,2) D.[0,2)

解析:选A.由|x-1|<1?-1所以不等式的解集为(0,2).

3.不等式3≤|5-2x|<9的解集为(  )

A.[-2,1)∪[4,7)

B.(-2,1]∪(4,7]

C.[-2,1]∪[4,7)

D.(-2,1]∪[4,7)

解析:选D.因为|5-2x|=|2x-5|,则原不等式等价于3≤2x-5<9或-9<2x-5≤-3,

解得4≤x<7或-2故解集为(-2,1]∪[4,7).

4.不等式|x-2|≤|x|的解集是________.

解析:|x-2|≤|x|?(x-2)2≤x2?4-4x≤0?x≥1.

答案:{x|x≥1}

 含有一个绝对值号不等式的解法[学生用书P16]

 解下列不等式.

(1)|2x+5|<7;

(2)|2x+5|>7+x;

(3)2≤|x-2|≤4.

【解】 (1)原不等式等价于-7<2x+5<7.

所以-12<2x<2,

所以-6所以原不等式的解集为{x|-6(2)由不等式|2x+5|>7+x,

可得2x+5>7+x或2x+5<-(7+x),

所以x>2或x<-4.

所以原不等式的解集为{x|x>2或x<-4}.

(3)原不等式等价于

由①得x-2≤-2,或x-2≥2,

所以x≤0,或x≥4.

由②得-4≤x-2≤4,

所以-2≤x≤6.

所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤0,或4≤x≤6}.

含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法

(1)形如|f(x)|0)和|f(x)|>a(a>0)型不等式可运用等价转化法化成等价的不等式(组)求解.

(2)形如|f(x)|g(x)型不等式的解法有

①等价转化法:|f(x)||f(x)|>g(x)?f(x)<-g(x)或f(x)>g(x).

(这里g(x)可正也可负)

②分类讨论法:

|f(x)|

|f(x)|>g(x)?. 

 解不等式:1<|x-2|≤3.

解:原不等式等价于不等式组

解得-1≤x<1或3<x≤5,

所以原不等式的解集为{x|-1≤x<1或3<x≤5}.

 含有两个绝对值号不等式的解法[学生用书P17]

 解下列不等式:

(1)|x-1|>|2x-3|;

(2)|x-1|+|x-2|>2;

(3)|x+1|+|x+2|>3+x.

【解】 (1)因为|x-1|>|2x-3|,

所以(x-1)2>(2x-3)2,即(2x-3)2-(x-1)2<0,

所以(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0,

即(3x-4)(x-2)<0,

所以即原不等式的解集为.

(2)原不等式???x<或x>

所以原不等式的解集为.

(3)原不等式?

?

?x<-2或x>0.

所以原不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).

(1)本例第(1)小题的解法是平方法,此解法适用于解|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|型不等式,此外该题还可以用零点分段法和图象法求解.

(2)本例第(2)(3)小题的解法都是零点分段讨论法,此解法适用于解含两个及两个以上绝对值号的不等式,此外该题也可以用函数图象法求解. 

 1.不等式|x+3|-|x-3|>3的解集是(  )

A.      

B.

C.{x|x≥3}

D.{x|-3<x≤0}

解析:选A.当x<-3时,-(x+3)+(x-3)>3,-6>3,无解.当-3≤x≤3时,x+3+x-3>3,

所以x>,故<x≤3.当x>3时,x+3-(x-3)>3,6>3,所以x>3.

综上可知原不等式的解集为.

2.解不等式|2x-1|<|x|+1.

解:当x<0时,原不等式可化为-2x+1<-x+1,解得x>0,又因为x<0,所以这样的x不存在.

当0≤x<时,原不等式可化为-2x+1<x+1,解得x>0,又因为0≤x<,所以0<x<.

当x≥时,原不等式可化为2x-1<x+1,解得x<2,又因为x≥,所以≤x<2.

综上所述,原不等式的解集为{x|0<x<2}.

 含参数的绝对值不等式[学生用书P17]

 (2017·高考全国卷丙)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.

(1)求不等式f(x)≥1的解集;

(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.

【解】 (1)f(x)=

当x<-1时,f(x)≥1无解;

当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1解得1≤x≤2;

当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.

所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.

(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-(|x|-)2+

且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.

故m的取值范围为.

含参数的绝对值不等式问题主要有两类.一是含参数绝对值不等式的求解,常运用“零点”讨论解决.二是由绝对值不等式求参数取值范围问题,常运用绝对值的几何意义或构造函数求其值域(或其最大、最小值),由恒成立或存在性问题求参数的取值范围. 

 1.如果关于x的不等式|x-a|+|x+4|≥1的解集是全体实数,则实数a的取值范围是(  )

A.(-∞,3]∪[5,+∞)   B.[-5,-3]

C.[3,5] D.(-∞,-5]∪[-3,+∞)

解析:选D.因为|x-a|+|x+4|≥|(x-a)-(x+4)|=|a+4|,所以只需|a+4|≥1,所以a+4≥1或a+4≤-1,所以a≥-3或a≤-5.

2.已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log2a(其中a>0).

(1)当a=4时,求不等式的解集;

(2)若不等式有解,求实数a的取值范围.

解:(1)令f(x)=|2x+1|-|x-1|,

当a=4时,f(x)≤2.

当x<-时,-x-2≤2,得-4≤x<-

当-≤x≤1时,3x≤2,得-≤x≤

当x>1时,x≤0,此时x不存在.

所以不等式的解集为.

(2)设f(x)=|2x+1|-|x-1|=故f(x)∈,即f(x)的最小值为-

所以f(x)≤log2a有解,则log2a≥-,解得a≥

即a的取值范围是.

1.解不等式|ax+b|≤c,|ax+b|≥c

(1)当c≥0时,|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c,解之即可;|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c,解之即可.

(2)当c<0时,由绝对值的定义知|ax+b|≤c的解集为?,|ax+b|≥c的解集为R.

2.解|x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型的不等式的一般步骤

(1)令每个绝对值符号里的一次式为零,求出相应的根;

(2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间;

(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集;

(4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.

1.不等式|4x-1|>4的解集是(  )

A.

B.

C.

D.

解析:选A.|4x-1|>4?4x-1>4或4x-1<-4,即x>或x<-.

2.不等式>0的解集为(  )

A.

B.

C.

D.

解析:选C.原不等式??

?

3.对于任意实数x,不等式|x+7|≥m+2恒成立,则实数m的取值范围是________.

解析:令y=|x+7|,要使任意x∈R,|x+7|≥m+2恒成立,只需m+2≤ymin,

因为ymin=0,所以m+2≤0,

所以m≤-2,所以m的取值范围是(-∞,-2].

答案:(-∞,-2]

4.解下列不等式.

(1)x+|2x+3|≥2.

(2)|x+1|+|x-1|≥3.

解:(1)原不等式可化为

解得x≤-5或x≥-.

综上,原不等式的解集是.

(2)法一:当x≤-1时,原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3,解得x≤-.

当-1<x<1时,原不等式可以化为x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.

当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3.

所以x≥.

综上,原不等式的解集为.

法二:将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0.

构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即

y=

作出函数的图象,如图所示.

函数的零点是-.

由图象可知,当x≤-或x≥时y≥0,

即|x+1|+|x-1|-3≥0.

所以原不等式的解集为.

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