2018 - 2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式知识归纳与达标验收(含解析)新人教A版

来源:互联网 编辑:李元芳 手机版

第一讲 不等式和绝对值不等式

考情分析

从近两年的高考试题来看,绝对值不等式主要考查解法及简单的应用,题目难度中档偏下,着重考查学生的分类讨论思想及应用能力.

解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,化成不含绝对值的不等式,其一是依据绝对值的意义;其二是先令每一个绝对值等于零,找到分界点,通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值.

真题体验

1.(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.

(1)求不等式f(x)≥1的解集;

(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.

解:(1)f(x)=

当x<-1时,f(x)≥1无解;

当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,解得1≤x≤2;

当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2.

所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.

(2)由f(x)≥x2-x+m,得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.

而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-2+

且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.

故m的取值范围为.

2.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.

解:(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于

x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ①

当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;

当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;

当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,

从而1<x≤.

所以f(x)≥g(x)的解集为.

(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.

所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],

等价于当x∈[-1,1]时,f(x)≥2.

又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.

所以a的取值范围为[-1,1].

3.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)求不等式|f(x)|>1的解集.

解:(1)由题意得f(x)=

故y=f(x)的图象如图所示.

(2)由f(x)的函数表达式及图象可知,

当f(x)=1时,可得x=1或x=3;

当f(x)=-1时,可得x=或x=5.

故f(x)>1的解集为{x|1f(x)<-1的解集为.

所以|f(x)|>1的解集为.

4.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.

(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.

解:(1)当a=1时,

f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.

当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;

当-10,

解得当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.

所以f(x)>1的解集为.

(2)由题设可得f(x)=

所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),

△ABC的面积为(a+1)2.

由题设得(a+1)2>6,故a>2.

所以a的取值范围为(2,+∞).

不等式的基本性质

利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立,或利用不等式性质,进行数值或代数式大小的比较,常用到分类讨论的思想.

[例1] “a+c>b+d”是“a>b且c>d”的(  )

A.必要不充分条件  B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

[解析] 易得a>b且c>d时必有a+c>b+d.若a+c>b+d时,不一定有a>b且c>d,如a=4,c=1,b=d=2时,a+c>b+d,但c<d,故选A.

[答案] A

基本不等式的应用

利用基本不等式求最值问题一般有两种类型:①和为定值时, 积有最大值;②积为定值时,和有最小值,在具体应用基本不等式解题时, 一定要注意适用的范围和条件:“一正、二定、三相等”.

[例2] 若正数a,b满足a+b=2,则的最小值是(  )

A.1 B.

C.9 D.16

[解析] (5+2)=,当且仅当,即a=,b=时取等号,故选B.

[答案] B

[例3] 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:

(1)ab+bc+ca≤

(2)≥1.

[证明] (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

由题设得(a+b+c)2=1,

即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.

所以3(ab+bc+ca)≤1,

即ab+bc+ca≤.

(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,

+(a+b+c)≥2(a+b+c),

≥a+b+c.

所以≥1.

含绝对值的不等式的解法

1.公式法

|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x);

|f(x)|2.平方法

|f(x)|>|g(x)|?[f(x)]2>[g(x)]2.

3.零点分段法

解含有两个以上绝对值符号的不等式时,可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值,将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号,转化为不含绝对值的不等式去解.

[例4] 解下列关于x的不等式:

(1)|x-x2-2|>x2-3x-4;

(2)|x+1|>|x-3|;

(3)|x2-2|x|-2|≤1;

(4)|x-2|-|2x+5|>2x.

[解] (1)法一:原不等式等价于

x-x2-2>x2-3x-4或x-x2-2<-(x2-3x-4),

解得1-或x>-3,

∴原不等式的解集为{x|x>-3}.

法二:∵|x-x2-2|=|x2-x+2|

=x2-x+2(x2-x+2>0),

∴原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4?x>-3.

∴原不等式的解集为{x|x>-3}.

(2)|x+1|>|x-3|,

两边平方得(x+1)2>(x-3)2,∴8x>8,∴x>1,

∴原不等式的解集为{x|x>1}.

(3)∵x2=|x|2,∴原不等式化为

-1≤|x|2-2|x|-2≤1,即?

?

∴1+≤|x|≤3.

∴原不等式解集为[-3,-1-]∪[1+,3].

(4)①当x<-时,原不等式变形为

2-x+2x+5>2x,解得x<7,

∴x<-.

②当-≤x≤2时,

原不等式变形为2-x-2x-5>2x,解得x<-.

∴-≤x<-.

③当x>2时,原不等式变形为x-2-2x-5>2x,

解得x<-,∴原不等式无解.

综上可得,原不等式的解集为.

不等式的恒成立问题

对于不等式恒成立求参数范围问题,常见类型及其解法如下:

(1)分离参数法

运用“f(x)≤a?f(x)max≤a,f(x)≥a?f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.

(2)更换主元法

不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.

(3)数形结合法

在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观地解决问题.

[例5] 已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2a|.

(1)当a=1时,求f(x)≤3的解集;

(2)当 x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,求实数a的取值范围.

[解] (1)当a=1时,由f(x)≤3,可得|2x-1|+|x-2|≤3,

①或

解①求得0≤x<

解②求得≤x<2;

解③求得x=2.

综上可得,0≤x≤2,即不等式的解集为[0,2].

(2)∵当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,

即|x-2a|≤3-|2x-1|=4-2x,

故2x-4≤2a-x≤4-2x,即3x-4≤2a≤4-x.

再根据3x-4的最大值为6-4=2,

4-x的最小值为4-2=2,

∴2a=2,∴a=1,即a的取值范围为{1}.

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