2018 - 2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二1.绝对值三角不等式教案(含解析)新人教A版

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1.绝对值三角不等式

绝对值三角不等式

(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.

几何解释:用向量a,b分别替换a,b.

①当a与b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|,其几何意义为:三角形的两边之和大于第三边.

②若a,b共线,当a与b同向时,|a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时,|a+b|<|a|+|b|.

由于定理1与三角形之间的这种联系,故称此不等式为绝对值三角不等式.

③定理1的推广:如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.

当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.

几何解释:在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,

当点B在点A,C之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|.

当点B不在点A,C之间时:

①点B在A或C上时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;

②点B不在A,C上时,|a-c|<|a-b|+|b-c|.

应用:利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.

含绝对值不等式的判断与证明

[例1] 已知|A-a|<,|B-b|<,|C-c|<.

求证:|(A+B+C)-(a+b+c)|[思路点拨]  ―→

[证明] |(A+B+C)-(a+b+c)|

=|(A-a)+(B-b)+(C-c)|

≤|(A-a)+(B-b)|+|C-c|

≤|A-a|+|B-b|+|C-c|.

因为|A-a|<,|B-b|<,|C-c|<

所以|A-a|+|B-b|+|C-c|<=s.

含绝对值不等式的证明题两种类型及解法

(1)比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;

(2)综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.

1.以下四个命题:

①若a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|;

②若|a-b|<1,则|a|<|b|+1;

③若|x|<2,|y|>3,则<

④若AB≠0,则lg(lg|A|+lg|B|).

其中正确的命题有(  )

A.4个        B.3个

C.2个 D.1个

解析:选A ∵|a+b|=|(b-a)+2a|≤|b-a|+2|a|

=|a-b|+2|a|,∴|a+b|-2|a|≤|a-b|,①正确;

∵1>|a-b|≥|a|-|b|,∴|a|<|b|+1,②正确;

∵|y|>3,∴<.

又∵|x|<2,∴<,③正确;

2=(|A|2+|B|2+2|A||B|)

(2|A||B|+2|A||B|)=|A||B|,

∴2lg≥lg|A||B|.

∴lg(lg|A|+lg|B|),④正确.

2.已知a,b∈R且a≠0,

求证:.

证明:①若|a|>|b|,

左边=

.

.

∴左边≥=右边.

②若|a|<|b|,

左边>0,右边<0,∴原不等式显然成立.

③若|a|=|b|,原不等式显然成立.

综上可知原不等式成立.

绝对值三角不等式的应用

[例2] (1)求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.

(2)如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集为空集,求实数a的取值范围.

[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解.

[解] (1)法一:||x-3|-|x+1||

≤|(x-3)-(x+1)|=4,

∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4.

∴ymax=4,ymin=-4.

法二:把函数看作分段函数.

y=|x-3|-|x+1|=

∴-4≤y≤4.

∴ymax=4,ymin=-4.

(2)只要a不大于|x-3|+|x-4|的最小值,则|x-3|+|x-4|<a的解集为空集,而|x-3|+|x-4|=|x-3|+|4-x|≥|x-3+4-x|=1,

当且仅当(x-3)(4-x)≥0,即3≤x≤4时等号成立.

∴当3≤x≤4时,|x-3|+|x-4|取得最小值1.

∴a的取值范围为(-∞,1].

(1)利用绝对值不等式求函数最值,要注意利用绝对值的性质进行转化,构造绝对值不等式的形式.

(2)求最值时要注意等号成立的条件,它也是解题的关键.

3.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是________,最小值是________.

解析:∵|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,

∴1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.

答案:5 1

4.已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-5|的最小值为a,求a的值.

解:因为|x+1|+|x-5|≥|(x+1)-(x-5)|=6,

当且仅当-1≤x≤5时,等号成立,

所以f(x)的最小值等于6,即a=6.

5.若对任意实数,不等式|x+1|-|x-2|>a恒成立,求a的取值范围.

解:∵a<|x+1|-|x-2|对任意实数恒成立,

∴a<(|x+1|-|x-2|)min.

∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,

∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3.

∴(|x+1|-|x-2|)min=-3.

∴a<-3.即a的取值范围为(-∞,-3).

1.对于|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,下列结论正确的是(  )

A.当a,b异号时,左边等号成立

B.当a,b同号时,右边等号成立

C.当a+b=0时,两边等号均成立

D.当a+b>0时,右边等号成立;当a+b<0时,左边等号成立

解析:选B 当a,b异号且|a|>|b|时左边等号才成立,故A不正确;显然B正确;当a+b=0时,右边等号不成立,C不正确;D显然不正确.

2.若|a-c|A.|a|<|b|+|c| B.|c|<|a|+|b|

C.b>|c|-|a| D.b<||a|-|c||

解析:选D ∵|a-c|则|a|=1,|b|+|c|=5,∴|a|<|b|+|c|成立.

|c|=2,|a|+|b|=4,∴|c|<|a|+|b|成立.

||c|-|a||=||2|-|1||=1,∴b>||c|-|a||成立.

故b<||a|-|c||不成立.

3.不等式<1成立的充要条件是(  )

A.a,b都不为零 B.ab<0

C.ab为非负数 D.a,b中至少有一个不为零

解析:选B <1?|a+b|<|a|+|b|?a2+b2+2ab4.“|x-a|A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选A ∵|x-a|∴|x-a|+|y-a|<2m.

又∵|(x-a)-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|,

∴|x-y|<2m,但反过来不一定成立,

如取x=3,y=1,a=-2,m=2.5,|3-1|<2×2.5,

但|3-(-2)|>2.5,|1-(-2)|>2.5,

∴|x-y|<2m不一定有|x-a|故“|x-a|5.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.

解析:|x-a|+|x-1|≥|a-1|,则只需要|a-1|≤3,解得-2≤a≤4.

答案:[-2,4]

6.若ab>0,则下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|中,正确的有________.

解析:∵ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|.

∴①④正确.

答案:①④

7.下列四个不等式:

①logx10+lg x≥2(x>1);

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