2018 - 2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式综合检测新人教A版

来源:互联网 编辑:王志 手机版

第一讲 不等式和绝对值不等式

讲末综合检测

(时间:120分钟,满分:150分)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知a>b,c>d,则下列命题中正确的是(  )

A.a-c>b-d   B. >

C.ac>bd D.c-b>d-a

解析:选D.因为a>b,c>d,所以a+c>b+d,

所以c-b>d-a.

2.不等式|x|>的解集为(  )

A.{x|x>2或x<-1} B.{x|-1<x<2}

C.{x|x<1或x>2} D.{x|1<x<2}

解析:选C.|x|>?解得x<1或x>2.

3.不等式1<|x+1|<3的解集为(  )

A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4)

C.(-4,0) D.(-4,-2)∪(0,2)

解析:选D.1<|x+1|<3?-34.在下列函数中,最小值是2的是(  )

A.y=(x∈R且x≠0)

B.y=lg x+(1<x<10)

C.y=3x+3-x(x∈R)

D.y=sin x+

解析:选C.A中,当x<0时,y<0;B中,因为1<x<10,所以y>2;故A,B中最小值都不是2.

D中,0<sin x<1,所以sin x+>2.无最小值.只有C正确.

5.若<0,则下列结论不正确的是(  )

A.a2<b2 B.ab<b2

C.>2 D.|a|-|b|=|a-b|

解析:选D.法一(特殊值法):令a=-1,b=-2,代入A,B,C,D,知D不正确.

法二:由<0,得b<a<0,所以b2>ab,ab>a2,故A,B正确.

又由>1,>0,且,即>2正确.

从而A,B,C均正确,对于D,由b<a<0?|a|<|b|.

即|a|-|b|<0,而|a-b|≥0,故D错.

6.已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为,则t= (  )

A.0 B.-1

C.-2 D.-3

解析:选A.因为|2x-t|+t-1<0,即|2x-t|<1-t,

所以t-1<2x-t<1-t,

所以2t-1<2x<1,

所以t-,依题意t-=-,所以t=0.

7.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值是(  )

A. B.

C. D.

解析:选B.因为正数x,y满足x2+3xy-1=0,

所以3xy=1-x2,则y=

所以x+y=x+≥2.当且仅当,即x=时取等号.故x+y的最小值是.

8.关于x的不等式|x+logax|<|x|+|logax|(a>1)的解集是(  )

A.(0,a) B.(0,1)

C.(-∞,a) D.(1,+∞)

解析:选B.由|a+b|<|a|+|b|的条件是ab<0,

可知|x+logax|<|x|+|logax|成立的条件是x>0,

且logax<0.又a>1,所以0所以该不等式的解集为{x|09.若不等式|x-1|+|x-5|+|x+3|>m对任意实数x恒成立,则m的取值范围是(  )

A.m≤8 B.m<8

C.m≤4 D.m<4

解析:选B.f(x)=|x-1|+|x-5|+|x+3|的几何意义是数轴上的点到1,5,-3的距离之和,其最小值为8,所以m<8.

10.不等式|sin x+tan x|<a的解集为N;不等式|sin x|+|tan x|<a的解集为M,则解集M与N的关系是(  )

A.N?M B.M?N

C.M=N D.M N

解析:选B.|sin x+tan x|≤|sin x|+|tan x|,则M?N(当a≤0时,M=N=?).

11.设0≥m恒成立,则m的最大值是(  )

A.(a-b)2 B.(a+b)2

C.a2b2 D.a2

解析:选B.由[x+(1-x)]

=a2+b2+≥a2+b2+2ab=(a+b)2,

当且仅当时等号成立,

所以m≤(a+b)2,m的最大值为(a+b)2.

12.已知P(a,b)为圆x2+y2=4上任意一点,则最小时,a2的值为(  )

A. B.2

C. D.3

解析:选C.因为P(a,b)为圆x2+y2=4上任意一点,

所以a2+b2=4.

设a=2cos θ,b=2sin θ,

,当且仅当tan2θ=2时取等号,此时a2=4cos2θ=.故选C.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分.

13.不等式≥1的解集为________.

解析:因为≥1,所以|x+1|≥|x+2|,x≠-2,

所以x2+2x+1≥x2+4x+4,所以2x+3≤0,

所以x≤-且x≠-2.

答案:{x|x≤-且x≠-2}

14.定义运算x?y=若|m-1|?m=|m-1|,则m的取值范围是________.

解析:依题意,有|m-1|≤m,所以-m≤m-1≤m,

所以m≥.

答案:

15.若正数a,b满足a2b=,则a+b的最小值是________.

解析:因为a>0,b>0,a2b=,所以a+b=a+a+b≥3=3

当且仅当a=a=b,即a=1,b=时,等号成立.

故a+b的最小值是.

答案:

16.已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,则m的取值范围是________.

解析:函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,

即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,

即|x-2|+|x+3|>m恒成立.

又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,

于是得m<5,

即m的取值范围是(-∞,5).

答案:(-∞,5)

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分)设a,b,c∈R,且ab+bc+ac=4,求证:.

证明:由.

又因为ab+bc+ac=4≥3,得

abc≤(当且仅当a=b=c时等号成立).

所以.

18.(本小题满分12分)已知|2x-3|≤1的解集为[m,n].

(1)求m+n的值;

(2)若|x-a|<m,求证:|x|<|a|+1.

解:(1)由不等式|2x-3|≤1可化为-1≤2x-3≤1,

得1≤x≤2,

所以m=1,n=2,m+n=3.

(2)证明:若|x-a|<1,

则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=m-|x-3|,不等式f(x)>2的解集为(2,4).

(1)求实数m的值;

(2)若关于x的不等式|x-a|≥f(x)恒成立,求实数a的取值范围.

解:(1)因为f(x)=m-|x-3|,

所以不等式f(x)>2,即m-|x-3|>2.

所以5-m<x<m+1.

而不等式f(x)>2的解集为(2,4),

所以5-m=2且m+1=4,解得m=3.

(2)关于x的不等式|x-a|≥f(x)恒成立?关于x的不等式|x-a|≥3-|x-3|恒成立?|x-a|+|x-3|≥3恒成立?|a-3|≥3恒成立.

由a-3≥3或a-3≤-3,

解得a≥6或a≤0.

20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=|x-1|+|2x+2|.

(1)解不等式f(x)>5.

(2)若不等式f(x)解:(1)根据条件f(x)=

当x>1时,f(x)>5?3x+1>5?x>

又x>1,所以x>

当-1≤x≤1时,f(x)>5?x+3>5?x>2,

又-1≤x≤1,此时无解;

当x<-1时,f(x)>5?-3x-1>5?x<-2,

又x<-1,所以x<-2.

综上,f(x)>5的解集为.

(2)由于f(x)=

可得f(x)的值域为[2,+∞).

又不等式f(x)21.(本小题满分12分)设函数f(x)=|x+1|-|x-2|.

(1)求不等式f(x)≥2的解集;

(2)若不等式f(x)≤|a-2|的解集为R,求实数a的取值范围.

解:(1)f(x)=

当x≤-1时,f(x)≥2不成立;

当-1所以≤x<2.

当x≥2时,f(x)≥2恒成立.

所以不等式f(x)≥2的解集为.

(2)因为f(x)=|x+1|-|x-2|≤|(x+1)-(x-2)|=3,

所以|a-2|≥3.

所以a≥5或a≤-1.

所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[5,+∞).

22.(本小题满分12分)某小区要建一座八边形的休闲小区,如图所示,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4 200元,并在四周的四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为每平方米210元,再在四个空角上铺草坪,造价为每平方米80元.

(1)设总造价为S元,AD长为x m,试求S关于x的函数关系式;

(2)当x为何值时,S取得最小值?并求出这个最小值.

解:(1)设DQ=y m,又AD=x m,

故x2+4xy=200,即y=.

依题意,得S=4 200x2+210×4xy+80×2y2

=4 200x2+210(200-x2)+160

=38 000+4 000x2+.

依题意x>0,且y=>0,

所以0.

故所求函数为S=38 000+4 000x2+,x∈(0,10).

(2)因为x>0,

所以S≥38 000+2=118 000,

当且仅当4 000x2=

即x=时取等号.

所以当x=∈(0,10)时,Smin=118 000元.

故AD=m时,S有最小值118 000元.

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