2018 - 2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式优化总结学案新人教A版

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第一讲 不等式和绝对值不等式

本讲优化总结

,        [学生用书P20])

 不等式性质的应用[学生用书P20]

利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立,再就是利用不等式性质,进行数值或代数式大小的比较,常用到分类讨论的思想.

 “a+c>b+d”是“a>b且c>d”的(  )

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】 易得a>b且c>d时必有a+c>b+d.若a+c>b+d时,则可能有a>b且c>d.

【答案】 A

 如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是(  )

A.a2>a>-a2>-a  B.-a>a2>-a2>a

C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2

解析:选B.由a2+a<0知a≠0,故有a<-a2<0,0<a2<-a.故选B.

 基本不等式的应用[学生用书P20]

在利用基本不等式求函数最值时,一定要满足下列三个条件:①x、y为正数.②“和”或“积”为定值.③等号一定能取到,这三个条件缺一不可.此方法可以推广到三个及三个以上正数的均值不等式求函数最值.对于满足①正数②定值两个条件,运用基本不等式后等号不能取到的,该方法无效,这时应改用函数单调性求最值或值域.

 函数y=(x-1)2(3-2x)的最大值为________.

【解析】 因为1<x<

所以3-2x>0,x-1>0,

所以y=(x-1)2(3-2x)=(x-1)(x-1)(3-2x)≤,当且仅当x-1=

x-1=3-2x,即x=时,y取得最大值.

【答案】 

 若a,b,c>0,求证:a2+b2+c2+()2≥6.

证明:因为a,b,c>0,所以a2+b2+c2≥3,①

≥3

所以≥9,②

a2+b2+c2+≥3+9≥2=6,当且仅当a=b=c时等号成立.

 绝对值不等式的解法[学生用书P21]

1.公式法

|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x);

|f(x)||ax+b|c(c>0)型不等式用此方法求解.

2.平方法

|f(x)| >|g(x)|?[f(x)]2>[g(x)]2.

|ax+b|>|cx+d|和|ax+b|<|cx+d|型不等式用此方法求解.

3.零点分段法

含有两个及两个以上绝对值符号的不等式,可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值,将这些值依次在数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号,转化为不含绝对值的不等式去解.|x-a|+|x-b|>c和|x-a|+|x-b|0)型不等式可用此方法求解.

 (2016·高考全国卷乙)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)求不等式|f(x)|>1的解集.

解:(1)f(x)=

y=f(x)的图象如图所示.

(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;

当f(x)=-1时,可得x=或x=5,

故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为.

所以|f(x)|>1的解集为.

 解下列关于x的不等式:

(1)|x+1|>|x-3|;

(2)|x-2|-|2x+5|>2x.

解:(1)法一:|x+1|>|x-3|,

两边平方得(x+1)2 >(x-3)2,

所以8x>8,所以x>1,

所以原不等式的解集为{x|x>1}.

法二:分段讨论:

当x≤-1时,有-x-1>-x+3,此时x∈?;

当-1-x+3,

即x>1,所以此时1当x>3时,有x+1>x-3成立,

所以x>3.

综上知原不等式的解集为{x|x>1}.

(2)分段讨论:①当x<-时,原不等式变形为

2-x+2x+5>2x,解得x<7,

所以解集为.

②当-≤x≤2时,

原不等式变形为2-x-2x-5>2x,解得x<-.

所以解集为.

③当x>2时,原不等式变形为x-2-2x-5>2x,

解得x<-,所以原不等式无解.

综上可得,原不等式的解集为.

 不等式中的恒成立问题[学生用书P21]

对于不等式恒成立求参数范围问题,常见类型及其解法如下:

(1)分离参数法

运用“f(x)≤a?f(x)max≤a,f(x)≥a?f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.

(2)更换主元法

不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法.

(3)数形结合法

在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维各自的优势,可直观地解决问题.

 设函数f(x)=|x+1|+|x-4|-a.

(1)当a=1时,求函数f(x)的最小值;

(2)若f(x)≥+1对任意的实数x恒成立,求实数a的取值范围.

【解】 (1)当a=1时,

f(x)=|x+1|+|x-4|-1≥|x+1+4-x|-1≥4,

所以f(x)min=4.

(2)f(x)≥+1对任意的实数x恒成立

?|x+1|+|x-4|-1≥a+对任意的实数x恒成立?a+≤4.

当a<0时,上式成立;

当a>0时,a+≥2=4,

当且仅当a=,即a=2时上式取等号,此时a+≤4成立.

综上,实数a的取值范围为(-∞,0)∪{2}.

 已知函数f(x)=|x-1|,g(x)=-|x+3|+a,a∈R.

(1)解关于x的不等式g(x)>6;

(2)若函数y=2f(x)的图象恒在函数y=g(x)的图象的上方,求实数a的取值范围.

解:(1)-|x+3|+a>6,即|x+3|<a-6,

当a≤6时无解;

当a>6时,由-(a-6)<x+3<a-6,得3-a<x<a-9.故不等式的解集为(3-a,a-9).

(2)函数y=2f(x)的图象恒在函数y=g(x)的图象的上方,故2f(x)-g(x)>0,等价于a<2|x-1|+|x+3|.

设h(x)=2|x-1|+|x+3|=

根据函数h(x)的单调减区间为(-∞,1],增区间为(1,+∞),

可得当x=1时,h(x)取得最小值4.

所以当a<4时,函数y=2f(x)的图象恒在函数y=g(x)的图象的上方.

1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},集合B={x||2x-1|>3},则集合A∩B等于(  )

A.{x|2≤x≤3}   B.{x|2≤x<3}

C.{x|2<x≤3} D.{x|-1<x<3}

解析:选C.A={x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1}.

所以A∩B={x|2<x≤3}.

2.若0,则函数y=x2(1-2x)有(  )

A.最小值 B.最大值

C.最小值 D.最大值

解析:选B.因为0,所以x>0,1-2x>0,

所以y=x2(1-2x)=x·x(1-2x)≤

当且仅当x=1-2x,即x=时,ymax=.

3.不等式|2x-4|-|3x+9|<1的解集为________.

解析:①当x>2时,原不等式等价于(2x-4)-(3x+9)<1,解得x>-14,所以x>2;

②当-3≤x≤2时,原不等式等价于-(2x-4)-(3x+9)<1,解得x>-,所以-<x≤2;

③当x<-3时,原不等式等价于-(2x-4)+(3x+9)<1,解得x<-12,

所以x<-12.

综上可知,原不等式的解集为(-∞,-12)∪.

答案:(-∞,-12)∪

4.设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.

(1)求当a=1时,不等式f(x)≥3x+2的解集.

(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.

解:(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.

由此可得x≥3或x≤-1.

故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.

(2)由f(x)≤0,得|x-a|+3x≤0,

此不等式化为不等式组

因为a>0,所以不等式组的解集为.

由题设可得-=-1,故a=2.

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