福建省福州八中2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)

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福州八中2014—2015学年第二学期期末考试

高二数学(理)

考试时间:120分钟 试卷满分:150分

2015.6.9

第I卷(共100分)

一、选择题:(10小题,每小题5分,共50分)

1. 已知集合A={x|x2+x>2},B={x|2x<1},则(CRA)∩B等于

A.[0,1]   B.(-2,1)   C.[-2,0)  D.[-1,0]

2. 若点的极坐标为,则点的直角坐标是

A. B. C. D.

3. 若集合M={1,2,3},N={x|0<x≤3,x∈R},则下列论断正确的是

A.x∈M是x∈N的充分不必要条件

B.x∈M是x∈N的必要不充分条件

C.x∈M是x∈N 的充分必要条件

D.x∈M是x∈N的既不充分也不必要条件

4. 在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题是“甲降落在指定范围”,是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为

A. B. C. D.

5. 下列点在曲线上的是

A. B. C. D.

6. 设,则下列不等式中不恒成立的是

A.≥2 B.≥2(

C. D.≥2

7. 设是正数,且,则

A. B.     C. D.

8.给出下列四个命题:

①命题“若,则”的否命题为“若”;

②命题.则,使

③“”是“函数为偶函数”的充要条件;

④命题,使”;命题“设是任意两个向量,则“”是“”的充分不必要条件”,那么为真命题.

其中正确的个数是

9. 直线(其中t为参数,)的倾斜角为

A. B. C. D.

10.不等式组

的解集记为D,有下面四个命题:

p1:?(x,y)∈D,x+2y≥1, p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2,

p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3, p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1.

其中的真命题是

A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3

二、填空题:(4小题,每小题4分,共16分)

11. 对于任意实数和b,不等式恒成立,则实数x的取值范围是

12. 若点在曲线为参数,)上,则点P到原点的距离的取值范围是 .

13. 在极坐标系内,已知曲线C1的方程为,以极点为原点,极轴方向为正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线C2的参数方程为(为参数).设点P为曲线C2上的动点,过点P作曲线C1的两条切线,则这两条切线所成角的最大值是_______.

14.一个矩形的周长为l,面积为S,给出:①(4,1);②(8,6); ③(10,8);④.其中可作为取得的实数对的序号是_______.(将正确的全部写上)

三、解答题:(3小题,共34分)

15.(本小题10分)

在平面直角坐标系中,直线的参数方程为:为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

(Ⅰ)求曲线的平面直角坐标方程;

(Ⅱ)设直线与曲线交于点,若点的坐标为,求点P与MN中点的距离.

16.(本小题12分)

函数, 其中.

(Ⅰ)当时,求不等式的解集;

(Ⅱ)若不等式的解集为,求a的值.

17.(本小题12分)

已知集合,若,求实数的取值范围.

第Ⅱ卷(共50分)

一、选择题:(3小题,每小题4分,共12分)

18.在极坐标系中,直线与直线L关于极轴对称,则直线L的方程为

A. B.

C. D.

19.设

为实数,

,则下列四个结论中正确的是

A.

B.

C.

D.

20.设非空集合满足:当时,有,给出如下三个命题:①若,则②若,则;③若,则.其中正确命题的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

三、解答题:(3小题,共38分)

21.(本小题12分)

已知三个集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|x2-(a+2)x+2a=0},C={x|bx2-x+1=0},问同时满足BA,A∪C=A的实数a、b是否存在?若存在,求出a、b的取值情况;若不存在,请说明理由.

22.(本小题12分)

已知

(Ⅰ)求证:,并指出等号成立的条件;

(Ⅱ)利用(1)中的不等式求函数的最小值,并求出等号成立时的值(必须使用(1)中的结论,否则不给分).

23.(本小题14分)

第23 题图已知椭圆的离心率为,且过点,抛物线的焦点坐标为.

(Ⅰ)求椭圆和抛物线的方程;

(Ⅱ)若点是直线上的动点,过点作抛物线的两条切线,切点分别是,直线交椭圆两点.

①求证:直线过定点,并求出该定点的坐标;

②当的面积取最大值时,求直线的方程.

福州八中2014—2015学年第二学期期末考试

高二数学(理) 试卷参考答案及评分标准

第I卷(共100分)

一、选择题:(10小题,每小题5分,共50分)

1. C 2.A 3. A 4.A 5.C 6.D 7.C 8. B 9.C 10.A

二、填空题:(4小题,每小题4分,共16分)

11. 12. 13. 14.①④

三、解答题:(3个小题,共34分)

15. (本小题10分)【解析】(Ⅰ)由,得

时,得,……………………2分

对应直角坐标方程为:.…………………………4分

有实数解,说明曲线过极点,而方程所表示的曲线也过原点.

∴曲线的直角坐标方程为.……………………5分

(Ⅱ)把直线的标准参数方程代入曲线的直角坐标方程,得,即

由于,故可设是上述方程的两实根,则 …………7分

∵直线过点

∴由的几何意义,可得点P与MN中点的距离为.…………10分

16.(本小题12分)

【解析】(Ⅰ)当时,可化为.………………1分

由此可得 .…………………………3分

故不等式的解集为.……………………4分

( Ⅱ) 由,得

此不等式化为不等式组:………………6分

,………………………………9分

因为,所以不等式组的解集为………………11分

由题设可得= ,故.……………………12分

17.(本小题12分)

【解析】由已知得……2分

由已知,得

①当时,集合.

要使成立,只需,解得……………………5分

②当时, ,显然有,所以符合题意.…8分

③当时,集合.

要使成立,只需,解得……………………11分

综上所述,所以的取值范围是[-4,0].…………………………12分

第Ⅱ卷(共50分)

一、选择题:(3小题,每小题4分,共12分)

18.A 19.B 20. D.

三、解答题:(3小题,共38分)

21. (本小题12分)【解析】∵A={x|x2-5x+6=0}={2,3},

B={x|x2-(a+2)x+2a=0}={x|(x-2)(x-a)=0},

又∵BA,∴a=2. ……………………4分

∵A∪C=A,∴C?A,则C中元素有以下三种情况:

①若C=,即方程bx2-x+1=0无实根,

∴Δ=1-4b<0,∴b>, ………………7分

②若C={2}或{3},即方程bx2-x+1=0有两个相等的实根,

∴Δ=1-4b=0,∴b=,此时C={2}符合题意. ……………………9分

③若C={2,3},则=2+3=5,,不存在这样的b. …………11分

综上所述,a=2,b≥. …………12分

…22.(本小题12分)【解析】(Ⅰ)…………3分

,∴

……………………5分

等号当且仅当时成立.…………………………6分

(Ⅱ) ,………………10分

等号当且仅当时成立,………………11分

所以,时,的最小值为.………………12分

23.(本小题14分)【解析】(Ⅰ)椭圆C1:

+ y2=1;C2:x2=-2y………………4分

(Ⅱ)①设点M(x0,y0),且满足2x0-4y0+3=0,点A(x1,y1) ,B(x2 ,y2), 对于抛物线y= -

,y' = - x , 则切线MA的斜率为-x1 ,

从而切线MA的方程为:y–y1=-x1(x-x1),即:x1x+y+y1=0 ,

同理:切线MB的方程为:x2x+y+y2=0 ,

又因为同时过M点,所以分别有:x1x0+y0+y1=0和x2x0+y0+y2=0,

因此A,B同时在直线x0x+y+y0=0上,又因为:2x0-4y0+3=0,

所以:AB方程可写成:y0(4x+2)+(2y-3x)= 0,

显然直线AB过定点:(-

,-

).……………………8分

②直线AB的方程为:x0x+y+y0=0,代入椭圆方程中得:(1+4x02)x2+8x0y0x+4y02-4=0

令P(x3,y3),Q(x4,y4), ? = 16(4x02- y02+1)>0,

x3+x4 = -

;x3x4 =

………………………………9分

|PQ| =

·

=

·

………………10分

点O到PQ的距离为:d=

…………………………………11分

从而S?OPQ =

·|PQ|·d =

×

·

×

= 2×

=1 ………………13分

当且仅当y02 = 4x02- y02+1时等号成立,又2x0-4y0+3=0

联立解得:x0=

,y0= 1或x0= -

,y0=

从而所求直线AB的方程为:x+2y+2=0 或x-14y-10=0……………………14分

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