福建省福州市八县(市)一中联考2019年高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

来源:互联网 编辑:李元芳 手机版

书海遨游十几载,今日考场见真章。从容应对不慌张,气定神闲平时样。妙手一挥锦绣成,才思敏捷无题挡。开开心心出考场,金榜题名美名扬。祝你高考凯旋!

2018-2019学年福建省福州市八县(市)一中联考高三(上)期中数学试卷(理科)

 最新试卷多少汗水曾洒下,多少期待曾播种,终是在高考交卷的一刹尘埃落地,多少记忆梦中惦记,多少青春付与流水,人生,总有一次这样的成败,才算长大。温馨提示:多少汗水曾金榜题名,高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活,每天睡眠不足六个小时,十二节四十五分钟的课加上早晚自习,每天可以用完一支中性笔,在无数杯速溶咖啡的刺激下,依然活蹦乱跳,当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时,我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信,相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上,觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标,比如说今天走1万步等,考试之前给自己打气,告诉自己“我一定行”!

洒下,多少期待曾播种,终是在高考交卷的一刹尘埃落地,多少记忆梦中惦记,多少青春付与流水,人生,总有一次这样的成败,才算长大。高考保持心平气和,不要紧张,像对待平时考试一样去做题,做完检查一下题目,不要直接交卷,检查下有没有错的地方,然后耐心等待考试结束。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求,每小题选出答案后,请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.设集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=(  )

A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2}

2.已知复数

,则下列说法正确的是(  )

A.z的共轭复数为﹣1﹣2i

B.z的虚部为2i

C.|z|=5

D.z在复平面内对应的点在第三象限

3.函数f(x)=

cosx,(﹣

<x<

)的图象大致是(  )

A.

B.

C.

D.

4.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(  )

A.2

B.4

C.2 D.4

5.下列命题中正确的是(  )

A.命题p:“?x0∈R,

”,则命题?p:?x∈R,x2﹣2x+1>0

B.“lna>lnb”是“2a>2b”的充要条件

C.命题“若x2=2,则

”的逆否命题是“若

,则x2≠2”

D.命题p:?x0∈R,1﹣x0<lnx0;命题q:对?x∈R,总有2x>0;则p∧q是真命题

6.如图,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于(  )

A.10m B.5

m C.5(

﹣1)m D.5(

+1)m

7.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1?a5?a9=﹣8,b2+b5+b8=6π,则

的值是(  )

A.

B.

C.

D.

8.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,

,则向量

方向上的投影为(  )

A.

B.

C.

D.

9.若函数f(x)同时满足以下三个性质;①f(x)的最小正周期为π;②对任意的x∈R,都有f(x﹣

)=f(﹣x);③f(x)在(

)上是减函数.则f(x)的解析式可能是(  )

A.f(x)=cos(x+

) B.f(x)=sin2x﹣cos2x

C.f(x)=sinxcosx D.f(x)=sin2x+cos2x

10.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2﹣bnx+2n的两个零点,则b10等于(  )

A.24 B.32 C.48 D.64

11.已知函数f(x)是R上的奇函数,且满足f(x+2)=﹣f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,则方程f(x)=log6(x﹣3)在(0,+∞)解的个数是(  )

A.6 B.5 C.4 D.3

12.设函数f(x)在R上存在导数f′(x),?x∈R,有f(﹣x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上f′(x)<x,若f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.则实数m的取值范围为(  )

A.[﹣2,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)

 

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在答题卡的横线上.

13.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线3x﹣y=0上,则

=  .

14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若

,则d的值为  .

15.在△ABC中,

,sinB=cosAsinC,E为线段AC的中点,则

的值为  .

16.对于函数f(x)与g(x)和区间D,如果存在x0∈D,使|f(x0)﹣g(x0)|≤1,则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”.现给出两个函数:

①f(x)=x2,g(x)=2x﹣2;②

,g(x)=x+2;

③f(x)=e﹣x,

;④f(x)=lnx,g(x)=x.

则在区间(0,+∞)上存在唯一“友好点”的是  .(填上所有正确的序号)

 

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请在答题卡各自题目的答题区域内作答.

17.设命题p:函数f(x)=lg(﹣mx2+2x﹣m)的定义域为R;

命题q:函数g(x)=4lnx+

﹣(m﹣1)x的图象上任意一点处的切线斜率恒大于2,

若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.

18.已知函数f(x)=

sinωx﹣cosωx+m(ω>0,x∈R,m是常数)的图象上的一个最高点

,且与点

最近的一个最低点是

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;

(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

ac,求函数f(A)的值域.

19.已知函数f(x)=(2x2﹣3x)?ex

(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;

(Ⅱ)若方程(2x﹣3)?ex=

有且仅有一个实根,求实数a的取值范围.

20.如图,在△ABC中,AB=2,3acosB﹣bcosC=ccosB,点D在线段BC上.

(Ⅰ)若∠ADC=

,求AD的长;

(Ⅱ)若BD=2DC,△ACD的面积为

,求

的值.

21.已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且满足an+2Sn=2n+2.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)求证:

22.已知函数f(x)=(2﹣a)lnx+

+2ax(a≤0).

(Ⅰ)当a=0时,求f(x)的极值;

(Ⅱ)当a<0时,讨论f(x)的单调性;

(Ⅲ)若对任意的a∈(﹣3,﹣2),x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成立,求实数m的取值范围.

 

2016-2017学年福建省福州市八县(市)一中联考高三(上)期中数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

 

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求,每小题选出答案后,请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.设集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=(  )

A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2}

【考点】并集及其运算.

【分析】根据集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则log2a=0,b=0,从而求得P∪Q.

【解答】解:∵P∩Q={0},

∴log2a=0

∴a=1

从而b=0,P∪Q={3,0,1},

故选B.

 

2.已知复数

,则下列说法正确的是(  )

A.z的共轭复数为﹣1﹣2i

B.z的虚部为2i

C.|z|=5

D.z在复平面内对应的点在第三象限

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.

【解答】解:复数

=

=

=﹣1+2i,

=﹣1﹣2i.

故选:A.

 

3.函数f(x)=

cosx,(﹣

<x<

)的图象大致是(  )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象.

【分析】通过函数的奇偶性以及特殊值即可得到正确选项.

【解答】解:﹣

<x<

时,y=cosx是偶函数,并且y=cosx∈(0,1],

函数f(x)=

cosx,(﹣

<x<

)是偶函数,cosx∈(0,1]时,f(x)≥0.

∴四个选项,只有C满足题意.

故选:C.

 

4.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(  )

A.2

B.4

C.2 D.4

【考点】定积分.

【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分上限为2,积分下限为0的积分,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可.

【解答】解:先根据题意画出图形,得到积分上限为2,积分下限为0,

曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫

(4x﹣x3)dx,

而∫

(4x﹣x3)dx=(2x2﹣

x4)|

=8﹣4=4,

∴曲边梯形的面积是4,

故选:D.

 

5.下列命题中正确的是(  )

A.命题p:“?x0∈R,

”,则命题?p:?x∈R,x2﹣2x+1>0

B.“lna>lnb”是“2a>2b”的充要条件

C.命题“若x2=2,则

”的逆否命题是“若

,则x2≠2”

D.命题p:?x0∈R,1﹣x0<lnx0;命题q:对?x∈R,总有2x>0;则p∧q是真命题

【考点】命题的真假判断与应用.

【分析】对于A,特称命题的否定,先换量词,再否定结论;对于B,利用自然对数的定义及性质判定;对于C,“且”的否定时“或”;对于D,当命题p和q都真,p∧q是真.

【解答】解:对于A,特称命题的否定,先换量词,再否定结论,小于的否定是大于或等于,故A错;

对于B利用自然对数的定义及性质要求a>b>0,可是由2a>2b;只能得到a>b,不一定大于0,故B错;

对于C,“且”的否定时“或”,故C错;

对于D,命题p中,如x0=2等成立,命题q 显然成立,当命题p和q都真,p∧q是真,故D为真命题.

故选:D.

 

6.如图,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于(  )

A.10m B.5

m C.5(

﹣1)m D.5(

+1)m

【考点】解三角形的实际应用.

【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ABD中用AB表示出BC,BD,作差建立方程求得AB.

【解答】解:在Rt△ABC中,BC=AB,

在Rt△ABD中,BD=

AB,

又BD﹣BC=10,

AB﹣AB=10,

AB=5(

+1)(m),

故A点离地面的高AB为5(

+1)m,

故选D.

 

7.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1?a5?a9=﹣8,b2+b5+b8=6π,则

的值是(  )

A.

B.

C.

D.

【考点】等差数列与等比数列的综合.

【分析】由等比数列和等差数列的性质可知:a5=﹣2,b5=2π,

=cos

=cos(﹣

)=﹣

【解答】解:由数列{an}是等比数列,由等比数列的性质可知:a1?a9=a3?a7=

则a1?a5?a9=﹣8,即

=﹣8,

∴a5=﹣2,

数列{bn}是等差数列,由等差数列的性质可知:b2+b8=4+b6=2b5,

b2+b5+b8=6π,即3b5=6π,

b5=2π,

=cos

=cos(﹣

)=﹣cos

=﹣

故选C.

 

8.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,

,则向量

方向上的投影为(  )

A.

B.

C.

D.

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】根据条件即可得出△ABC为等腰三角形,其中AB=AC,∠ACB=30°,这样便可求出向量

方向上的投影.

【解答】解:根据条件

,O为△ABC的外心;

∴AO⊥BC,且AO平分BC,如图所示,则:

AB=AC;

∴△ABO为等边三角形,∠BAO=60°;

∴AB=AC=1,∠BAC=120°;

∴∠ACB=30°;

方向上的投影为

故选C.

 

9.若函数f(x)同时满足以下三个性质;①f(x)的最小正周期为π;②对任意的x∈R,都有f(x﹣

)=f(﹣x);③f(x)在(

)上是减函数.则f(x)的解析式可能是(  )

A.f(x)=cos(x+

) B.f(x)=sin2x﹣cos2x

C.f(x)=sinxcosx D.f(x)=sin2x+cos2x

【考点】正弦函数的图象.

【分析】由三角函数的图象和性质,结合题意的三个性质,逐个排查即可.

【解答】解:根据题意,函数应满足:①f(x)的最小正周期为π;

②对任意的x∈R,都有f(x﹣

)+f(﹣x)=0,

用x+

替换式中的x可得f(x﹣

)+f(﹣x﹣

)=0,

即函数的图象关于点(﹣

,0)对称;

③f(x)在(

)上是减函数;

对于A,f(x)=cos(x+

)的周期为T=2π,不符合①,故不满足题意;

对于B,f(x)=sin2x﹣cos2x=

sin(2x﹣

),不符合②,故不满足题意;

对于C,f(x)=sinxcosx=

sin2x,不符合②,故不满足题意;

对于D,f(x)=sin2x+cos2x=

sin(2x+

),符合①②③,满足题意.

故选:D.

 

10.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2﹣bnx+2n的两个零点,则b10等于(  )

A.24 B.32 C.48 D.64

【考点】数列与函数的综合;函数的零点.

【分析】由韦达定理,得出

,所以

,两式相除得

=2,数列{an}中奇数项成等比数列,偶数项也成等比数列.求出a10,a11后,先将即为b10.

【解答】解:由已知,

,所以

两式相除得

=2

所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…成等比数列.而a1=1,a2=2,

所以a10=2×24=32.a11=1×25=32,

又an+an+1=bn,

所以b10=a10+a11=64

故选D

 

11.已知函数f(x)是R上的奇函数,且满足f(x+2)=﹣f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,则方程f(x)=log6(x﹣3)在(0,+∞)解的个数是(  )

A.6 B.5 C.4 D.3

【考点】根的存在性及根的个数判断.

【分析】根据已知,在同一坐标系中做出:函数f(x)的图象与y=log6(x﹣3)的图象,分析两函数交点的个数,可得答案.

【解答】解:∵函数f(x)是R上的奇函数,且满足f(x+2)=﹣f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x﹣1,

故函数f(x)的图象如下图所示:

由图可得:函数f(x)的图象与y=log6(x﹣3)的图象有4个交点,

故方程f(x)=log6(x﹣3)在(0,+∞)有4个解,

故选:C

 

12.设函数f(x)在R上存在导数f′(x),?x∈R,有f(﹣x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上f′(x)<x,若f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.则实数m的取值范围为(  )

A.[﹣2,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【分析】令g(x)=f(x)﹣

x2,由g(﹣x)+g(x)=0,可得函数g(x)为奇函数.利用导数可得函数g(x)在R上是减函数,f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m,即g(4﹣m)≥g(m),可得 4﹣m≤m,由此解得a的范围.

【解答】解:令g(x)=f(x)﹣

x2,

∵g(﹣x)+g(x)=f(﹣x)﹣

x2+f(x)﹣

x2=0,

∴函数g(x)为奇函数.

∵x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)﹣x<0,

故函数g(x)在(0,+∞)上是减函数,故函数g(x)在(﹣∞,0)上也是减函数,

由f(0)=0,可得g(x)在R上是减函数,

∴f(4﹣m)﹣f(m)=g(4﹣m)+

(4﹣m)2﹣g(m)﹣

m2=g(4﹣m)﹣g(m)+8﹣4m≥8﹣4m,

∴g(4﹣m)≥g(m),∴4﹣m≤m,解得:m≥2,

故选:B.

 

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在答题卡的横线上.

13.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线3x﹣y=0上,则

= 

 .

【考点】运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用.

【分析】利用已知条件求出θ的正切函数值,通过诱导公式化简所求表达式即可求出结果.

【解答】解:∵角θ的顶点坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边在直线3x﹣y=0上,

∴可得tanθ=3.

∴则

=

=

=

=

故答案为:

 

14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若

,则d的值为 

 .

【考点】等差数列的性质.

【分析】利用等差数列的前n项和公式和已知条件推知a2017﹣a17=200,故2016d﹣16d=200,由此求得d的值.

【解答】解:∵S2017=

,S17=

∴由

,得

=100,

则a2017﹣a17=200,

∴2016d﹣16d=200,

解得d=

故答案是:

 

15.在△ABC中,

,sinB=cosAsinC,E为线段AC的中点,则

的值为 ﹣1 .

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】由sinB=sin(A+C)便可得出cosC=0,进而得出

,画出图形,从而得到

,这样代入

进行数量积的运算即可求出该数量积的值.

【解答】解:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC;

∴sinAcosC=0;

∴cosC=0,

,如图:

=

=

=﹣1.

故答案为:﹣1.

 

16.对于函数f(x)与g(x)和区间D,如果存在x0∈D,使|f(x0)﹣g(x0)|≤1,则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”.现给出两个函数:

①f(x)=x2,g(x)=2x﹣2;②

,g(x)=x+2;

③f(x)=e﹣x,

;④f(x)=lnx,g(x)=x.

则在区间(0,+∞)上存在唯一“友好点”的是 ①④ .(填上所有正确的序号)

【考点】函数的概念及其构成要素.

【分析】根据“友好点”的定义,分别进行判断即可.

【解答】解:①f(x)﹣g(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1≥1,∴要使|f(x0)﹣g(x0)|≤1,则只有当x0=1时,满足条件,

∴在区间(0,+∞)上的存在唯一“友好点”,∴①正确.

②g(x)﹣f(x)=x﹣

+2=

,∴不存在x0∈D,使|f(x0)﹣g(x0)|≤1,∴函数不存在“友好点”,∴②错误.

③设h(x)=f(x)﹣g(x)=e﹣x+

则函数h(x)在(0,+∞)上单调减,∴x→0,h(x)→+∞,x→+∞,h(x)→0,使|f(x0)﹣g(x0)|≤1的x0不唯一,

∴③不满足条件,∴③错误.

④h(x)=g(x)﹣f(x)=x﹣lnx,(x>0),h′(x)=1﹣

令h′(x)>0,可得x>1,令h′(x)<0,可得0<x<1,

∴x=1时,函数取得极小值,且为最小值,最小值为h(1)=1﹣0=1,

∴g(x)﹣f(x)≥1,

∴当x0=1时,使|f(x0)﹣g(x0)|≤1的x0唯一,∴④满足条件.

故答案为:①④.

 

三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请在答题卡各自题目的答题区域内作答.

17.设命题p:函数f(x)=lg(﹣mx2+2x﹣m)的定义域为R;

命题q:函数g(x)=4lnx+

﹣(m﹣1)x的图象上任意一点处的切线斜率恒大于2,

若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.

【考点】命题的真假判断与应用;复合命题的真假;利用导数研究曲线上某点切线方程.

【分析】若命题p∧q为假,p∨q为真,命题p,q一真一假,进而可得满足条件的m的取值范围.

【解答】(本小题满分10分)

解:若p为真命题,则﹣mx2+2x﹣m>0恒成立,即mx2﹣2x+m<0恒成立.…

当m=0时,不等式为﹣2x<0,解得x>0,显然不成立;

当m≠0时,

,解得m<﹣1.

∴若p为真命题,则m<﹣1.…

若q为真命题,则当x>﹣1时,

,当且仅当x=1时取等号,∴m<3.…

∵“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,∴p真q假或p假q真.…

若p真q假,则

,∴m∈?;若p假q真,则

,∴﹣1≤m<3.

综上所述,实数m得取值范围为m∈[﹣1,3).…

 

18.已知函数f(x)=

sinωx﹣cosωx+m(ω>0,x∈R,m是常数)的图象上的一个最高点

,且与点

最近的一个最低点是

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;

(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

ac,求函数f(A)的值域.

【考点】平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用.

【分析】(Ⅰ)化简即可得出

,根据相邻的最高点和最低点分别为

便可求出f(x)的周期,进而求出ω=2,并得出m=﹣1,从而求出f(x)=

,从而可求出f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)根据数量积的计算公式便可求出cosB=

,从而得出B的值,进而得出A+C=

,从而有

,这样即可求出f(A)的值域.

【解答】解:(Ⅰ)

=

∵点

,点

分别是函数f(x)图象上相邻的最高点和最低点;

,且

∴ω=2,m=﹣1;

∴令

,解得

∴函数f(x)的单调递增区间为

(Ⅱ)∵在△ABC中,

∵0<B<π,∴

,∴

∴﹣2<f(A)≤1;

∴f(A)的值域为(﹣2,1].

 

19.已知函数f(x)=(2x2﹣3x)?ex

(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;

(Ⅱ)若方程(2x﹣3)?ex=

有且仅有一个实根,求实数a的取值范围.

【考点】利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的极值.

【分析】(Ⅰ)求函数f(x)的导数,利用导数小于0,求解单调递减区间;

(Ⅱ)分离变量,通过函数的图象的交点个数,判断零点个数,利用单调性求解函数的极值,推出结果即可.

【解答】(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)由题可得:f′(x)=(2x2+x﹣3)?ex…

令f′(x)<0,得 2x2+x﹣3<0,解得:

∴函数f(x)的单调递减区间是

.…

(Ⅱ)∵方程

有且仅有一个实根

∴方程(2x2﹣3x)?ex=a有且仅有一个非零实根,即方程f(x)=a,(x≠0)有且仅有一个实根.

因此,函数y=f(x),(x≠0)的图象与直线y=a有且仅有一个交点.…

结合(Ⅰ)可知,函数f(x)的单调递减区间是

,单调递增区间是

∴函数f(x)的极大值是

,极小值是f(1)=﹣e.…

又∵

且x<0时,f(x)>0.∴当

或a=0或a=﹣e时,

函数y=f(x),(x≠0)的图象与直线y=a有且仅有一个交点.…

∴若方程

有且仅有一个实根,

实数a的取值范围是

.…

 

20.如图,在△ABC中,AB=2,3acosB﹣bcosC=ccosB,点D在线段BC上.

(Ⅰ)若∠ADC=

,求AD的长;

(Ⅱ)若BD=2DC,△ACD的面积为

,求

的值.

【考点】正弦定理.

【分析】(Ⅰ)由三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得3sinAcosB=sinA,结合sinA>0,可求

,利用同角三角函数基本关系式可求sinB,进而可求

,由正弦定理即可求得AD的值.

(Ⅱ)设DC=a,则BD=2a,利用已知及三角形面积公式可求a,利用余弦定理可求AC,由正弦定理可得

,结合sin∠ADB=sin∠ADC,即可求值得解.

【解答】(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)∵3acosB﹣bcosC=ccosB,

∴3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC,3sinAcosB=sin(B+C),

∵B+C=π﹣A,

∴3sinAcosB=sinA,

∵A∈(0,π),

∴sinA>0,

.…

∵B∈(0,π),

.…

在△ABD中,由正弦定理得,

.…

(Ⅱ)设DC=a,则BD=2a,

∵BD=2DC,△ACD的面积为

∴a=2.…

,由正弦定理可得

∵sin∠ADB=sin∠ADC,

.…

 

21.已知数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),且满足an+2Sn=2n+2.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)求证:

【考点】数列递推式.

【分析】(Ⅰ)由an+2Sn=2n+2,利用递推关系可得:3an=an﹣1+2,变形为

,再利用等比数列的通项公式即可得出.

(II)利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出.

【解答】(Ⅰ)解:∵an+2Sn=2n+2,令n=1,得

由an+2Sn=2n+2得 n≥2时,an﹣1+2Sn﹣1=2(n﹣1)+2,

两式相减得;3an=an﹣1+2,

∴数列{an﹣1}是以首项为

,公比为

的等比数列,

,∴

(Ⅱ)证明:

=

=

=

=

 

22.已知函数f(x)=(2﹣a)lnx+

+2ax(a≤0).

(Ⅰ)当a=0时,求f(x)的极值;

(Ⅱ)当a<0时,讨论f(x)的单调性;

(Ⅲ)若对任意的a∈(﹣3,﹣2),x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成立,求实数m的取值范围.

【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.

【分析】(Ⅰ)当a=0时,f(x)=2lnx+

,求导,令f′(x)=0,解方程,分析导数的变化情况,确定函数的极值;

(Ⅱ)当a<0时,求导,对导数因式分解,比较两根的大小,确定函数f(x)单调区间;

(Ⅲ)若对任意a∈(﹣3,﹣2)及x1,x2∈[1,3],恒有(m+ln3)a﹣2ln3>|f(x1)﹣f(x2)|成立,求函数f(x)的最大值和最小值,解不等式,可求实数m的取值范围.

【解答】解:(Ⅰ)依题意知f(x)的定义域为(0,+∞),

当a=0时,f(x)=2lnx+

,f′(x)=

=

令f′(x)=0,解得x=

当0<x<

时,f′(x)<0;

当x≥

时,f′(x)>0

又∵f(

)=2ln

=2﹣2ln2

∴f(x)的极小值为2﹣2ln2,无极大值.

(Ⅱ)f′(x)=

+2a=

当a<﹣2时,﹣

令f′(x)<0 得 0<x<﹣

或x>

令f′(x)>0 得﹣

<x<

当﹣2<a<0时,得﹣

令f′(x)<0 得 0<x<

或x>﹣

令f′(x)>0 得

<x<﹣

当a=﹣2时,f′(x)=﹣

≤0,

综上所述,当a<﹣2时f(x),的递减区间为(0,﹣

)和(

,+∞),递增区间为(﹣

);

当a=﹣2时,f(x)在(0,+∞)单调递减;

当﹣2<a<0时,f(x)的递减区间为(0,

)和(﹣

,+∞),递增区间为(

,﹣

).

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当a∈(﹣3,﹣2)时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,

当x=1时,f(x)取最大值;

当x=3时,f(x)取最小值;

|f(x1)﹣f(x2)|≤f(1)﹣f(3)=(1+2a)﹣[(2﹣a)ln3+

+6a]=

﹣4a+(a﹣2)ln3,

∵(m+ln3)a﹣ln3>|f(x1)﹣f(x2)|恒成立,

∴(m+ln3)a﹣2ln3>

﹣4a+(a﹣2)ln3

整理得ma>

﹣4a,

∵a<0,∴m<

﹣4恒成立,

∵﹣3<a<﹣2,∴﹣

﹣4<﹣

∴m≤﹣

 

2016年12月10日

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