第3章第1节 从算式到方程

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七年级数学(人教版上)同步练习第三章

第一节 从算式到方程

一. 教学内容:

从算式到方程

1. 方程、方程的解、一元一次方程的定义。

2. 等式的性质。

3. 分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法。

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二. 知识要点:

1. 与方程有关的定义

(1)含有未知数的等式叫做方程。

(2)使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

(3)只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程有两个特点:①未知数所在的式子是整式,即分母中不含未知数;②只含有一个未知数,未知数的次数是1。

2. 等式的性质

(1)等式的性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等. 如果a=b,那么a±c=__________。

(2)等式的性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a=b,那么=__________;如果a=b(c≠0),那么=__________。

关于等式的几点说明:

①弄清等式与代数式的区别与联系:等式与代数式不同,等式是含“=”的式子,代数式不含有等号,它是用运算符号连接数或表示数的字母而成的式子. 等式可用来表示两个代数式之间有相等关系,但代数式不是等式。

③等式的另外两个性质:等式的左右两边互换,所得结果仍是等式,如a=b,则b=a(这一性质也叫等式的对称性);等式具有传递性,如:若a=b,b=c,则a=c(这一性质也叫等量代换)。

3. 学会列方程

列方程的一般步骤:

(1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的等量关系;

(2)“设”就是设未知数;

(3)“列”就是列方程,这是最关键的一步. 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,然后列代数式表示相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。

列方程需要注意的事项:

(1)列方程时,寻找题目中的等量关系是关键,可利用列表、线段图等方法分析已知量与未知量的关系,从而寻找出等量关系式。

(2)设未知数就是将题目中要求的问题或与所求问题密切相关的其他问题用未知数表示出来,然后根据等量关系列出方程。

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三. 重点难点:

1. 重点:①等式的性质;②列方程的步骤和方法,特别是如何设未知数和列方程。

2. 难点:分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程。

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【典型例题】

例1. 判断下列各式是不是方程?如果是方程,指出已知数和未知数;如果不是方程,说明为什么?

(1)2x-1=5;(2)4+8=12;(3)5y-8;(4)2a+3b=0;(5)6a2-5x+4;

(6)2x2+x=1;(7)x-2≠1;(8)ax+2a=3。

?????? 分析:方程是含有未知数的等式;方程是等式,但等式不一定是方程;方程、等式都含有等号,而代数式不含等号;两个代数式用等号连接起来就是等式。

?????? 解:(1)是方程。2、-1、5是已知数,x是未知数;

(2)不是方程。因为等式中不含未知数;

(3)不是方程。因为它是代数式,而不是等式;

(4)是方程。2、3、0是已知数,a、b是未知数;

(5)不是方程。因为它是代数式,而不是等式;

(6)是方程。2、1是已知数,x是未知数;

(7)不是方程。因为它不是等式;

(8)是方程。当a是未知数时,x、2、3是已知数;当x是未知数时,a、2a、3是已知数;当a、x是未知数时,2、3是已知数。

?????? 评析:(1)化简后未知数系数为零的含有未知数的等式不是方程,如2x+1=3+2x就不是方程;(2)方程的已知数包括它前面的符号,当未知数的系数是1时,省略的1可看作已知数,但是一般不写,如本例中的(6),x的系数为1,在写已知数时,可以不写。

?

例2. 检验下列各数是不是方程3x-1=2x+1的解。

(1)x=4;(2)x=2.

?????? 解:(1)把x=4分别代入方程的左边和右边,得

左边=3×4-1=11;右边=2×4+1=9,∵左边≠右边,∴x=4不是方程3x-1=2x+1的解。

(2)把x=2分别代入方程的左边和右边,得

左边=3×2-1=5;右边=2×2+1=5,∵左边=右边,∴x=2是方程3x-1=2x+1的解。

?????? 评析:一般地,要检验某个值是不是方程的解,可以用这个值代替未知数代入方程,看方程左右两边的值是否相等. 相等就是方程的解,否则不是。

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例3. 根据下列条件列出方程:

(1)某数的7倍比它本身大5。

(2)小赵为班级买了三副羽毛球拍,付出50元,找回3.50元。每副羽毛球拍的单价是多少?

(3)一队学生从学校出发前往部队军训,行进速度是5千米/时,走了4.5千米时,一名通讯员派回送信,然后他又追赶队伍,通讯员的速度是14千米/时,他在距离部队6千米处追上学生队伍,问学校距离部队多远?(通信员报信时间忽略不计)。

?????? 分析:列方程时,注意题目中一些关键字的理解. 如(1)中的“大”;(2)中的“付出…,找回”;(3)中的“追上” 。

?????? 解:(1)设某数为x,根据题意列方程:7x-x=5;

(2)设每副羽毛球拍的单价是x元,根据题意得:50-3.5=3x;

(3)设通讯员从离开队伍到追上队伍共用去x小时,则依题意得:14x-4.5=5x+4.5。

?????? 评析:根据数量关系列方程,就是把文字叙述的问题,转化为符号语言表达的式子,列方程的关键是找到题中的等量关系,根据题意列出的方程,有时并不唯一,但实质一样。如本题中(1)还可以列出7x=x+5等。

?????? 评析:(1)要注意转化过程中应用等式的性质. (2)考虑问题要注意全面性。

?

例5. (2007年浙江丽水)请根据图中给出的信息,可得正确的方程是 (?? )

???

?????? 解:A

?????? 评析:本题关键要抓住“相同水量”这一等量关系列方程。

?

例6.已知关于x的方程(2a+b)x-1=0无解,那么ab的值是?????? (?? )

A. 负数????? B. 正数??????C. 非负数???????? D. 非正数

?????? 分析:一个方程无解说明无论x为何值这个等式都不成立,即2a+b=0,把2a看成一个数,那么2a和b都为零或一正一负,所以a和b都为零或一正一负,所以ab=0,或ab<0。

?????? 解:D

?????? 评析:一个方程无解,说明这个方程中所含字母的项的系数为零。

?

【方法总结】

1. 把实际问题中的数量关系用方程形式表示出来,就是建立一种数学模型,这种建模思想在这部分内容中占主导地位。

2. 从算式到方程使我们有了更有力、更方便的数学工具,从算术方法到代数方法是数学的进步。

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【模拟试题】(答题时间:40分钟)

一. 选择题

1. 下列各式是方程的是?? (?? )

A. 3x=6?????????? B. 5x+2x-3????????????????

C. x<3??????????? D. 4+(-2)=2

2. 下列方程中是一元一次方程的是??????????(?? )

?A. 2x-y=1???????????????? B. -y=2

C. x2-2x=3????????????? D. y2=4

3. 下列方程中,以3为解的方程是?????????? (?? )

A. 4y-5=2y-6????????? B. y-1=2???????

C. y-4=1??????? ? D. -2y+3=3

4.方程x-1=1的解是????????????? (?? )

A. x=-1?????????? B. x=0??

C. x=1????????? ? D. x=2

A. 2??????? B. 3???? ? C. 4?????????D. 5

*6.已知是方程2x-ay=3的一个解,那么a的值是???? (?? )

A. 1????? B. 3???? ? C. -3???????? D. -1

7. 某工厂在第一季度生产机器300台,比原计划超产了20%. 若设原计划第一季度生产x台,则这个问题中所含的相等关系及相应的方程是?????????????(?? )

? A. 实际产量+超产量=原计划产量,300+20%×300=x

B. 实际产量+超产量=原计划产量,300+20%·x=x

C. 实际产量-超产量=原计划产量,300-20%×300=x

D. 实际产量-超产量=原计划产量,300-20%·x=x

*8. 下列结论正确的是??? (?? )

?????? A. 若m+3=n-7,则m+7=n-11

?????? B. 若0.25x=-1,则x=-1/4

?????? C. 若7y-6=5-2y,则7y+6=17-2y

?????? D. 若7a=-7a,则7=-7

?

二. 填空题

1.方程2x-6=0的解为__________.

2. 如果x=5是方程2x+5=3k的解,则k的值等于__________.

3. 若3x4m-5-7=0是一元一次方程,则m=__________.

4. 王平家有5.4亩苹果树,他和爸爸、妈妈一起收摘,3天全部摘完. 结果妈妈比王平多摘0.6亩,而爸爸收摘的是王平的2倍. 若设王平摘了x亩,则妈妈摘了__________亩,爸爸摘了__________亩,它们应满足的方程为____________________.

*5. 阅读理解:将等式3a-2b=2a-2b变形过程如下:

因为3a-2b=2a-2b

所以3a=2a(第一步)

所以3=2(第二步)

上述过程中,第一步的依据是__________;

第二步得出错误的结论,其原因是____________________.

**6. 已知4m+2n-5=m+5n,试利用等式的性质比较m与n的大小关系:__________.

?

三. 解答题

????

3. 根据下列条件设出未知数,列出一元一次方程. (不必求解)

(1)七年级共有学生550人,其中男生比女生多10人,求女生的人数.

(2)若干年前,某种品牌的21英寸彩电价格为3000元,现在只卖1800元,求降低了百分之几?

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