用EXP函数法求(2)维CD方程的精确解 doc

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常见函数值域:y=kx+b(k≠0)的值域为Ry=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)y=√x的值域为x≥0y=ax^2+bx+c 当a>0时,值域为[4ac-b^2/4a,+∞);当a时,值域为(-∞,4ac-b^2/4a]y=a^x 的值域为(0,+∞)y=lgx的值域为R常用方法1、直接法—从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围2、配方法—配方是求“二次函数类”值域的基本方法,形如f(x)=af(x)方bf(x)方+c的函数的值域问题,均可使用配方法3、反函数法—利用函数与他的范函数的定义域与值域的互逆关系,通过求范函数的定义域,得到原函数的值域。一次分数式型均可使用反函数,此外,此种类型也可使用“分离常数法”求得4、判别式法—把函数转化成关于x的二次方程f(x,y)=0,通过方程有实根,判别式“的塔”>=0,从而求得原函数的值域.通常用于球二次分式型5、换元法运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求的函数的值域 形如:y=ax+b-根号cx+d(a,b,c,d均为常数,且a不为0)的函数常用此方法求解6、不等式法利用均值不等式求函数的值域,“一正、二定、三相等”7、单调性法确定函数在定义域(或某个定义域上的子集)上的单调性求出函数的值域分母中含根号的分式的值域均可使用此方法求解8、求导法当一个函数在定义域上可导时,可据其导数求最值。9、数形结合当一个函数图像可作时,通过图像可求其值域和最值;或利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法求出函数的值域www.07swz.com防采集请勿采集本网。

2010年度本科生毕业论文(设计)用EXP-函数法求(2+1)维CD方程的精确解院-系: 数学学院专业: 数学与应用数学年级: 2006级学生姓名: 蒋卫良学号: 200605050248导师及职称: 丁玉敏(教授)

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三角函数求导公式: (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 (cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

2010 年度本科生毕业论文(设计)

定义: 由对数式loga(x)所确定的函数 y=loga(x) 叫做对数函数。这里a是一个不等于1的正数,函数的定义域是(0,+无穷大)

用 EXP-函数法求(2+1)维 CD 方程 的精确解

同学你好,这个问题其实很简单,因为y是x的函数,所以你给y3对x求导其实是复合求导,先对y求导,y再对x求导才正确,以后这种题做多了就会了。

院 - 系: 专 年 业: 级:

2x-2yy'=0 y'=x/y 一阶导数没错 对上面的y'再求导 y\"=(x'y-xy')/y^2 再把y'带入即可 y\"=(y-x^2/y)/y^2=(y^2-x^2)/y^3

数学学院 数学与应用数学 2006 级 蒋卫良 200605050248 丁玉敏(教授)

(2)几种常见函数的导数公式: ① C'=0(C为常数函数);②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q);③(sinx)'=cosx;④(cosx)'=-sinx;⑤(e^x)'=e^x;⑥(a^x)'=(a^x)*Ina(ln为自然对数) ⑦(Inx)'=1/x(ln为自然

学生姓名: 学 号:

导师及职称: 2010 年 6 月

2010 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate

EXP-function Method for Solving Exact Solution of CD Equation

Department: College of Mathematics Major: Mathematics and Applied Mathematics Grade: 2006 Student’s Name: Jiang wei liang Student No.:200605050248 Tutor: Ding yu min(Professor) June, 2010 毕业论文(设计)原创性声明

本人所呈交的毕业论文(设计)是我在导师的指导下进行的研 究工作及取得的研究成果.据我所知,除文中已经注明引用的内容外, 本论文(设计)不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果 .对本 论文(设计)的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中作了明 确说明并表示谢意.

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作者签名:

指导教师签名:日期:日期: 蒋卫良 毕业论文(设计)答辩委员会(答辩小组)成员名单

姓名 龙瑶 丁玉敏 谌孙康 何应辉 职称 教授 教授 讲师 讲师 单位 数学学院 数学学院 数学学院 数学学院 备注 主席(组长) 摘要

利用指数函数展开法并借助 Maple 软件,简捷地获得了(2+1)维 CD 方程的许多的新 的行波解, 包括各种类型的孤立波解和三角函数周期解,并用 Maple 画出几种典型的波形 图.

关键词: (2+1)维 CD 方程;

指数函数法;行波解;

孤立波解;

三角函数周期解. ABSTRACT

In this paper, with the aids of the mathematic software-Maple ,we briefly obtained many new travalling wave solutions of the (2+1)dimentional CD equation by utilizing exp-function expansion method. All of these solutions include all kinds of soliton-travelling solutions and Periodic Solutions of trigonometric functions. As a result,we acquied many typical waveform pictures with the software-Maple.

Keywords: (2+1)dimentional CD equation; exp-function expansion method; travalling wave solutions; soliton-travelling solutions; Periodic Solutions of trigonometric functions 目录

第一章 引言 ............................................................... 4 第二章(2+1)维 CD 方程的精确解 ............................................ 2 2.1 指数函数法的基本思想 ............................................... 2 2.2 (2+1)维 CD 方程的求解及对解的变换分析 ............................ 3 2.2.1(2+1)维 CD 方程的一般解 ...................................... 3 2.2.2(2+1)维 CD 方程的精确解 ...................................... 4 第三章 结论 .............................................................. 25 参考文献 ................................................................. 26 致谢 ..................................................................... 27 第一章 引言

以物理及其他学科为背景的微分方程的研究是当代数学的一个重要组成部分.目前, 微分方程研究的主体是非线性偏微分方程,很多自然科学和工程技术问题,最终都归结 为非线性偏微分方程的研究.近几十年来, 对某些非线性偏微分方程的精确求解获得了许 多有效的方法,如齐次平衡法[1]、双曲正切函数展开法[2]、试探函数法[3]、非线性 变换法[4]、 sine-Cosine 法[5]、 Jacobi 椭圆函数展开法[6]、混合指数法[7]等.然而非 线性方程(尤其是非线性偏微分方程)的求解非常困难,而且求解非线性方程没有也不可 能有统一而普遍适用的方法,以上一些方法也只能具体应用于某些非线性方程的求解, 因此继续寻找一些有效可行的方法仍是一项十分重要的工作. 方程介绍: 由 Calogero 和 Degasperis 首先提出的 CD 方程(破裂孤立子方程)

uxt ? 4uxuxy ? 2u yuxx ? uxxxy ? 0

(1-1)

是一个重要的非线性偏微分方程,它描述了(2+1)维非线性波方程的长波沿着 x 轴传 播,黎曼波沿 y 轴传播的相互作用.在文献[8]中张解放等用齐次平衡法和推广的 Hirota 双曲线方法获得了破裂孤立子方程一些孤子解, 在文献[9]中郑斌用直接约化法得到了方 程(1-1)的 Backlund 变换公式,从而获得了该方程一些孤子解,在文献[10]中高正晖用行 波变换和截断展开法,获得了方程(1-1)的许多的新行波解。

本文利将用指数函数方法 [11-14]求(2+1)维 CD 方程新的精确解. 第二章(2+1)维 CD 方程的精确解

2.1 指数函数法的基本思想

对于给定的一个非线性偏微分方程(PDE)

p(u, ut , u x , utt , u xt , u xx ,...) ? 0.

为求方程 (2 ? 1) 的精确解,作变换

(2-1)

u( x, t ) ? u(? ),? ? kx ? gt,其中 k , g 为待定常数. 将 (2 ? 2) 代入方程 (2 ? 1) ,可将 (2 ? 1) 式行波约化为 u (? ) 的常微分方程(ODE)

(2-2)

p(u, u? , u?? , u??? ,...) ? 0.

设 u (? ) 可表示为 exp(? ) 的有限幂级数,即

u (? ) ? ? ?

d n?? c q

(2-3)

an exp(n? )

b exp(m? ) n?? p m?

ad exp(d? ) ? ? ? a?c exp(?c? ) aq exp(q? ) ? ? ? a? p exp(? p? )

(2-4)其中 c, d , p, q 是待定正整数, an , bm 是待定常数.

c 和 p 的关系的确定,可以通过平衡方程 (2 ? 3) 的非线性项和最高阶偏导数项的最

高次数来进行.同理,平衡方程 (2 ? 3) 的非线性项和最高阶偏导数项的最低次数,可以得 到 d 和 q 的关系 . 再把 c 和 p 及 d 和 q 取一些特定的值 , 可将方程 (2 ? 3) 的左边化为

ex p n ( ? ) 的多项式.令 exp(n? ) 的系数为零,得到相应的代数方程组,求解这些代数方程,

并将这些结果代入 (2 ? 4) 式便得到方程 (2 ? 1) 用 exp(n? ) 表示的行波解的一般形式. 2.2 (2+1)维 CD 方程的求解及对解的变换分析

2.2.1(2+1)维 CD 方程的一般解 为了求出(1-1)的行波解,作变换

u ( x, y, t ) ? u (? ) , ? ? kx ? m y ? gt ,

(2-5)其中 k , m, g 为待定常数.将(2-5)代入(1-1)得:? ? 6k 2 mu?u? ??k 3 kgu? mu( 4 )?0

(2-6)

在方程(2-6)两边对 ? 进行积分并化简得:

gu ? ? 3km(u ?) 2 ? k 2 mu ??? ? 0

设(2-7)的解 u (? ) 可表示为 exp(? ) 的有限幂级数,即

(2-7)

u(? ) ??d ad exp(d? ) ? ? a?c exp(?c? ) n ?? c an exp(n? ) ? , ?q aq exp(q? ) ? ? a? p exp(? p? ) m?? p bm exp(m? )

(2-8)其中 c, d , p, q 是待定正整数, an a m 是待定常数. 为了确定 c 和 p 的关系,平衡方程 (2-7) 中的非线性项 (u ?) 2 和最高阶偏导数项 u ??? 的 最高次数:

(u ?) 2 =

c1 exp[( 6 p ? 2c)? ] ? ? c2 exp( 8 p? ) ? ?

(2-9)

u ??? ?

c3 exp[( 7 p ? c)? ] ? ? c4 exp[ 8 p? ]?

(2-10)其中 ci (i ? 1,2,3,4) 是系数.由(2-9)和(2-10)得 7 p ? c ? 6 p ? 2c ,即 p ? c . 同样,为了得到 q 和 d 的关系,平衡方程(2-7)中的非线性项 (u ?) 2 和最高阶偏导数 项 u ??? 的最低次数:

(u?) 2 =

u??? ?

d1 exp[?(5q ? 3d )? ] ? ? d 2 exp[?8q? ] ? ?

(2-11)? ? d 3 exp[?(7q ? d )? ] ? ? d 4 exp[?8q? ]

(2-12)其中 d i (i ? 1,2,3,4) 是系数. 由(2-11)和(2-12)式,得 ? (7q ? d ) ? ?(5q ? 3d ) ,得: d ? q . 于是,得到(2+1)维 CD 方程的一般解为: u (? ) ??d n ?? c an exp(n? ) ?d n ?? c bn exp(n? )

(2-13)

2.2.2(2+1)维 CD 方程的精确解 情形I 当 c = 1 和 d = 1 时,由(2-13)式得:

u (? ) =

a1e? ? a0 ? a?1e ?? b1e? ? b0 ? b?1e??

(2-14)

将(2-14)式代入方程(2-7),并借助Maple计算得到:

1 (c1e?? ? c2e? ? c3e3? ? c4e?3? ? c5e?2? ? c6e2? ? c7 ) ? 0 ?? b1e ? b0 ? b?1e?

(2-15)其中

c1 ? ? ga?1b03 ? ga0b?1b02 ?12kma1b?12a0 ?12kma?12b1b0 ? 12kma1b?1a?1b0?12kma?1b1a0b?1 ? k 2ma0b?1b02 ? k 2ma1b03 ? ga0b1b?12 ? 5ga1b0b?12 ? 6ga?1b1b0b?1?5k 2ma1b0b?12 ? 18k 2ma?1b1b0b?1 ? 23k 2ma0b1b?12 ;

c2 ? ga1b03 ? ga0b1b02 ?12kma12b0b?1 ?12kma?1b12a0 ? 12kma1b0a?1b1?12kma1b?1a0b1 ? k 2ma0b1b02 ? k 2ma1b03 ? ga0b12b?1 ? 6ga1b1b0b?1 ? 5ga?1b12b0

2 2 2 2 ;

?18k 2 ma1b 1b 0b ?1 ? 5k ma?1b 1 b 0 ? 23k ma0b 1 b ?1

c3 ? ? ga0b13 ? ga1b12b0 ? k 2ma1b12b0 ? k 2ma0b13 ;

c4 ? ga0b?13 ? k 2ma0b?13 ? ga?1b0b?12 ? k 2ma?1b0b?12 ;

c5 ? ?2ga?1b13 ? 2ga1b1b02 ? 2ga0b12b0 ? 2ga1b12b?1 ? 3kma12b02 ? 3kma02b12?6kma1b0a0b1 ? 4k 2ma0b12b0 ? 8k 2ma?1b13 ? 4k 2ma1b1b02 ? 8k 2ma1b12b?1 ;

c6 ? 8k 2ma1b?13 ? 2ga1b?13 ? 2ga0b?12b0 ? 2ga?1b02b?1 ? 2ga?1b1b?12 ? 3kma?12b02?3kma02b?12 ? 6kma?1b0a0b?1 ? 4k 2ma0b?12b0 ? 4k 2ma?1b02b?1 ? 8k 2ma?1b1b?12 ;

c7 ? ?12kma12b?12 ?12kma?12b12 ? 24kma1b?1a?1b1 ? 4k 2ma?1b1b02 ? 4ga1b1b?12 ?4ga1b02b?1 ? 4ga?1b12b?1 ? 4ga?1b1b02 ? 6kma1b02a?1 ? 6kma1b0a0b?1 ? 6kma?1b0a0b1?6kma02b1b?1 ? 32k 2ma1b1b?12 ? 4k 2ma1b02b?1 ? 32k 2ma?1b12b?1 .令en?

的系数为零,从而得到关于 a1 , a0 , a?1 , b1 , b0 , b?1 的代数方程组:?c1 ? 0 , c2 ? 0 ,c3 ? 0 ? ?c4 ? 0 , c5 ? 0 ,c6 ? 0 ?c ? 0 ? 7

借助 Maple, 解上述代数方程得下列 4 组参数值:

a0 ? b0 (a?1 ? 2kb?1 ) , b1 ? 0, a1 ? 0, g ? ?k 2 m; b?1 ?b1 (4kb?1 ? a?1 ) , g ? ?4k 2 m, a0 ? 0; b?1

(2-16)

b0 ? 0, a1 ?

(2-17)

b0 ? 0, b1 ? ?a?1 ?

(4ka1b?1 ? 2a0 2 )kb?1 1 a0 2 , a ? ? , g ? ?k 2 m; ?1 2 2 4 k b?1 a0

(2-18)

2a12b0 a0b1 ? 6a1b0 a0b12 k ? a1a0 2b12 ? a13b0 2 ? 4a12b0 2b1k ? 4k 2 a1b12b0 2 ? 4k 2a0b13b0 ? 2kb13a0 2 ? ,? 4b14 k 2 ? ? (2-19) 2 2 2 2 2 2 2a1b0 a0b1 ? 2ka0b1 b0 ? a0 b1 ? a1 b0 ? 2ka1b1b1 2 ? b?1 ? , g ? ?k m; 2 3 ? 4k b1 ?(1) 将(2-16)代入(2-14)得到方程的一组行波解:u1 ??2b0b?1k ? b0 a?1 ? a?1e? b?1 ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . ? b?1 (b0 ? b?1e )

当 b?1 ? ?b0 , a?1 ? ?b0k 时,则 u 1 变为一个孤立波解:

u1(1) ? ? k tanh( ) ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . 2?

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u1(1) 可变为一个三角函数周期解:

u1( 2) ? k1 tan( k1 x ? k2 y ? k12 k2t ). 2(2) 将(2-17)代入(2-14)得到方程的一组行波解:u2 ?

a1e? b1 ? (4b?1b1k ? b1a1 )e ?? ,其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt . b1 (b1e? ? b?1e?? ) 当 b1 ? ?b?1 , a1 ? 2b?1k 时, u 2 可变为一个孤立波解:u2(1)? ?2k cot h? ,其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt .

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u2 (1) 可变为一个三角函数周期解:? ? ? ?2k1 cot(k1 x ? k2 y ? 4k12k2t ) . u2

(3) 将(2-18)代入(2-14)得到方程的一组行波解:u3 ?

4(a1e? a02 ? (4k 2b?12 a1 ? 2kb?1a02 )e?? ? a03 )k 2b?1 ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . 2 2 ? 2 ?? 2 a0 (?a0 e ? 4b?1 e k )

令 a0 ? 2kb?1 , a1 ? kb?1 ,则 u3 可变为一个孤立波解:

u3(1) ?

k cosh ? ? k ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . sinh ?

又令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则可化 u3(1) 为:

u3(2) ? k1 cot(k1 x ? k2 y ? k12 k2t ) ?

k1i . sin(k1 x ? k2 y ? k12 k2t )

(4) 将(2-19)代入(2-14)得到方程的一组行波解:?4a1e? b14 k 2 ? 4a0b14 k 2 u4 ? b1 (?4b14e? k 2 ? (a02b12 ? 2ka1b1b0 2 ? 2ka0b12b0 ? 2a1b0 a0b1 ? a12b0 2 )e ?? ? 4b0 k 2b13 )? (a1a02b12 ? 4a12b02 kb1 ? 6b12 a1b0 a0 k ? 2a12b0a0b1 ? a13b0 2 ? 2b13a02k ? 4b12a1b0 2k 2 ? 4b13a0b0 k 2 )e?? , b1 (?4b14e? k 2 ? (a02b12 ? 2ka1b1b02 ? 2ka0b12b0 ? 2a1b0a0b1 ? a12b02 )e?? ? 4b0k 2b13 )其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . 令 b0 ? 0, a1 ? ?kb1 , b1 ? ?

u4(1) ? ?k (coth(? ) ?

1 a0 ,则 u4 可变为一个孤立波解: 2 k

1 ) ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . sinh(? )

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u4(1) 可变为一个三角函数周期解:

u4(2) ? ?k1 (i cos(k1 x ? k2 y ? k12 k2t ) ? 1 ). sin(k1 x ? k2 y ? k12 k2t )

为了使解更形象直观,能看出解的性态,利用数学软件 Maple 将几个典型的波形图 绘制如下:(a)(b )(c )

图 ( a ) 是行波 u1 : a?1 ? b0 ? b?1 ? 1, k ? 2, m ? 2, t ? 0.01, ?1 ? x ? 1, ?10 ? y ? 10; 图 (b) 是孤立波 u3(1) : k ? 2, m ? 1, t ? 0.01 , ?1 ? x ? 1, ?1 ? y ? 1; 图 (c) 是三角函数周期解 u1(2) : k1 ? 8, k2 ? 1, t ? 2 , ?1 ? x ? 10, ?1 ? y ? 10 . 情形Ⅱ 当 c = 2 和 d = 2 时,由(2-13)式得:

u (? ) ?

a2e2? ? a1e? ? a0 ? a?1e?? ? a?2e?2? b2e2? ? b1e? ? b0 ? b?1e?? ? b?2e?2?

(2-20)

借助 Maple,由同样的方法得到 14 组参数值:

b2 ? 0, a?1 ? b?1 (?2kb?2 ? a?2 ) , b0 ? 0, a2 ? 0, b1 ? 0, a1 ? 0, a0 ? 0, g ? ?k 2 m ; b?2

(2-21)

b2 ? 0, a?2

2(a?12 ? 2a0b?2 k )kb?2b?1 1 a?12 ? ? 0, a2 ? 0, b0 ? ? a?12 4 b?2 k 2b1 ? 0, a1 ? 0, g ? ? k 2 m;? ,? ? ? ?

(2-22)

1 (2ka0b?12b0 ? a0 2b?12 ? a?12b0 2 ? 2ka?1b0 2b?1 ? 2a?1b0 a0b?1 ) ? b?2 ? ? ? 4 k 2b03 ? 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 ?4k a0b?1 b0 ? 4a0 b?1 kb0 ? 2a?1 b0 k ? a0 b?1 ? a0 a?1 b0 ? a?2 ? ? 4k 2b0 4 ? ? 2 2 2 3 6a?1b0 a0b?1k ? 2a?1b0 a0 b?1 ? 4k a?1b0 b?1 ? , b2 ? 0, a2 ? 0, , b1 ? 0, ? 4k 2b0 4 ? ? a1 ? 0, g ? ? k 2 m; ?

b2 ? 0, g ? ?9k 2 m, b?1 ? 0, b0 ? 0, a2 ? 0, a?1 ? 0, a1 ? b1 (a?2 ? 6kb?2 ) , a0 ? 0 ; b?2

(2-23)

(2-24) a?1 ?

a?2b?1 bb b (?4kb?2 ? a?2 ) b (?4kb?2 ? a?2 ) , b2 ? 0, b0 ? 1 ?2 , a2 ? 0, g ? ?4k 2 m, a0 ? 1 , a1 ? 1 ; b?2 b?1 b?1 b?2

(2-25)? ? ? 3 4 2 2 2 3 2 2 2 4 2 2 3 2a b k ? 10a0b1 a1 b0 k ? 8a0b1 k a1b0 ? 4a0 b1 k b0 ? 8a0 b1 a1b0 k ? a?2 ? 0 1 ? 8b16 k 3 ? 3 4 3 2 2 2 3 2 2 2 2 4 3 3 ? b a ? 3a0b1a1 b0 ? 4k a1 b1 b0b?1 ? 3a0 b1 a1 b0 ? 4a1k a0b1 b?1 ? a1a0 b1 ? ? 0 1 ? (2-26) b16 k 3 ? 3 3 3 2 2 2 3 4 3 5 ? 4b a b k ? 4b0 a1 k b1 ? 8k a1b1 b0b?1 ? 8k a0b1 b?1 ? ? 0 1 1 , b16 k 3 ? ? 2 g ? ? k m, a2 ? 0, b2 ? 0; ? ? ? a?1 ? ? 1 ?2ka1b12b?1 ? a0 2b12 ? a12b0 2 ? 2ka1b1b0 2 ? 2ka0b12b0 ? 2a1b0 a0b1 , 2 kb13b?1 ? 0, g ? ?4k 2 m, a?2 ? 0, b1 ? 0, a?1 ? 0, b?2 ? 0, a0 ? b0 (a2 ? 4b2 k ) , a1 ? 0; b2

(2-27)

g ? ?9k 2 m, b0 ? 0, a?2 ? 0, b1 ? 0, b?2 ? 0, a1 ? 0, a0 ? 0, a2 ?

b2 (?6kb1 ? a?1 ) ; b?1

(2-28)a1 ?

b1 (?4kb?1 ? a?1 ) b (?4kb?1 ? a?1 ) a b bb , g ? ?4k 2 m, a?2 ? 0, a2 ? 2 , a0 ? ?1 2 , b?2 ? 0, b0 ? 2 ?1 ; b?1 b1 b1 b1

(2-29)

4kb?1b2 2 ? a2b1b0 b (a b b ? a2b?1b2 ? 4b1kb0b2 ? 4kb?1b2 2 ) ? , a2 ? ?1 2 1 0 ,? b1b2 b12b2 ? ? b?1 (b1b0 ? b2b?1 ) a2b1 (a2 ? 4b2 k )b1 2 ? a1 ? , a?1 ? , g ? ?4k m, b?2 ? ; ? b2 b2 b12 ? a0 ?

g ? ?16k 2 m, a2 ? b2 (?8kb?2 ? a?2 ) , b?1 ? 0, b0 ? 0, b1 ? 0, a?1 ? 0, a1 ? 0, a0 ? 0; b?2

(2-30)

(2-31)? a?2 a0 2b?2 2 ? 12a?2b0 a0b?2 2 k ? 2a?2 2b0 a0b2 ? 8a2 2b0 2 kb?2 ? a?2 3b0 2 ? ? 16k 2b?2 4 ? ? 16k 2 a?2b0 2b?2 2 ? 16k 2 a0b?2 3b0 ? 4a0 2b?2 3 k ? , ? 16k 2b?2 4 ? (2-32) ? 1 a0 2b?2 2 ? 4ka0b2 2b0 ? 2a?2b0 a0b2 ? 4ka?2b0 2b?2 ? a2 2b0 2 ? b2 ? ? , 16 k 2b?2 3 ? ? 2 g ? ?4k m, b1 ? 0, a?1 ? 0, a1 ? 0, b?1 ? 0; ? a2 ?a1 ? a2b?1 b (a ? 6kb?2 ) bb b (a ? 6kb2 ) , g ? ?9k 2 m, a2 ? 2 ?2 , b0 ? 0, b1 ? 2 ?2 , a0 ? 0, a1 ? 2 ?2 ; b?2 b?2 b?1 b1

(2-33) ? ? ? ? ? a25b14 ? 2a14b25 k ? 4k 2 a23b2 2b14 ? a2 a14b2 4 ? 16k 4 a2b2 6b1b?1 a?2 ? ? 16b28 k 4 ? 2 4 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 4 2 ? 12a1 b2 k a2b1 ? 12k a1b2 b1 a2 ? 14a1b2 a2 b1 k ? 8k a2 b2 b1 b0 ? ? 16b28 k 4 ? ? 4a13b25 k 2b1 ? 4a2 4b14b2 k ? 4a1b2 a2 4b13 ? 4a13b2 3a2 2b1 ? 10a13b2 4 a2b1k ? ? 8 4 ? 16b2 k ? 4k 2 a23b23b12b0 ? 6a12b2 2 a23b12 ? 8k 3a2 2b25b1b?1 ? 8a1b0 a2 2b1b2 4 k 2 ? ? 8 4 ? 16b2 k ? ? 16a1b0 a2b1b2 5 k 3 ? 8a12b2 6b0 k 3 ? 16k 4 a1b2 7b?1 ? 18a12b2 3a2 2b12 k ? ? 8 4 16b2 k ? ? 2 5 2 3 6 4a2 a1 b2 b0 k ? 8a2 k a1b2 b?1 2 ? ? , g ? ? k m, 8 4 ? 16b2 k ? ?3a2b1a12b2 2 ? 4a2b12 ka1b2 2 ? 2a2 2b13 kb2 ? 3a2 2b12 a1b2 ? a2 3b13 ? a?1 ? 5 2 ? 4b2 k ? ? b23 a13 ? 2b23 a12 kb1 ? 4k 2 a2b2 4b1 ? 4k 2 a2b2 3b1b0 ? 4k 2 a1b2 4b0 ? ? 5 2 4b2 k ? 4 4 3 4 3 3 2 3 2 2 2 3 2 ? a2 b1 ? 2ka2 b2b1 ? 4a1b2 a2 b1 ? 6ka1b2 b1 a2 ? 4k a2 b2 b1 b0 ? ? (2-34) b?2 ? 16k 4b2 7 ? ? 2 3 2 3 5 3 3 4 2 3 4 6a b ka2b1 ? 8k a2b2 b1b1 ? 4a1 b2 a2b1 ? 8a1b0 a2b1b2 k ? 2a1 b2 kb1 ? ? 1 2 ? 16k 4b2 7 ? 6a12b2 2 a2 2b12 ? a14b2 4 ? 4a12b25b0 k 2 ? 8k 3 a1b2 6b?1 ? ? ? 16k 4b2 7 ? a12b2 2 ? 2ka1b2 2b1 ? 2ka2b2b12 ? 2ka2b2 2b0 ? 2a1b1a2b1 ? a2 2b12 a0 ? ? , 2kb23

(5) 将(2-21)代入(2-20)得到方程的一组行波解:u5 ?

2b?1kb2 ? b1a2 ? a?2e?? b?2 ,其中: ? ? kx ? my ? k 2 mt . b?2 (b1 ? b?2e?? )

令 a?2 ? kb?2 , b?1 ? ?b?2 ,则 u5 变为一个孤立波解:

u5(1) ? ? k coth( ) ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . 2?

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u5(1) 可变为一个三角函数周期解:

u5(2) ? ?k1 cot(k1x ? k2 y ? k12k2t ) .

(6) 将(2-22)代入(2-20)得到方程的一组行波解: u6 ? ?

4k 2b2 ((?a12 ? 2a0b?2 k )e?? ? a0 a?1 ) ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . ?? 2 (2ke b2 ? a?1 )a1

a 1 a?1 , a0 ? ?1 ,则 u6 可变为一个孤立波解: 2 k 2

令 b?2 ?u6 (1) ? ? k coth( ) ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . 2?

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u6(1) 可变为一个三角函数周期解:u6(2)

k1 x ? k2 y ? k12 k2t ? ?k1 cot( ). 2

(7) 将(2-23)代入(2-20)得到方程的一组行波解:

u7 ? 2ka?1b0 2 ? a1b0 a0 ? 2a0b1kb0 ? a0 2b?1e?? ? 2b0 2 a0 k ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . ?? 2 b0 ((a1b0 ? a0b1e ? 2kb0 )

令 a0 ? ?kb0 , a?1 ? ?k (b?1 ? 2b0 ) 则 u7 可变为一个孤立波解:

u7 (1) ? ? k coth( ) ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . 2?

又令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为实数,则 u7 (1) 可变为一个三角函数周期解:

u7 (2) ? ?k1 cot( k1 x ? k2 y ? k12 k2t ). 2

(8) 将(2-24)代入(2-20)得到方程的一组行波解:u8 ?

(?b1a2 ? 6b1kb?2 )e? ? a2e?2? b?2 ,其中: ? ? kx ? my ? 9k 2mt . ? ?2? b?2 (b1e ? b?2e )

令 b1 ? b?2 , a?2 ? 3kb2 则 u8 可变为一个孤立波解:

u8(1) ? ?3k coth(

3? ) ,其中: ? ? kx ? my ? 9k 2mt . 2

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u8(1) 可变为一个三角函数周期解:

u8( 2) ? ?3k1 cot( 3 ( k1 x ? k2 y ? 9k12 k 2t )) . 2

(9) 将(2-25)代入(2-20)得到方程的一组行波解:

u9 ? ?4b1b1kb2 ? b1b1a2e? ? a?2b12e?? ? a?2e?2? b2b1 ? 4b1b?2 2k ? b1b2 a?2 , b?2 (b1e? b1 ? b1b2 ? b12e?? ? b2e2? b?1 ) 其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . (10) 将(2-26)代入(2-20)得到方程的一组行波解:

u10 ? (8a1e? b16k 3 ? (8b15k 3a1b?1 ? 4b15k 2a02 ? 8b14k 3a1b02 ? 8b15k 3a0b0 ? 8b14k 2a1b0a0 ? 4b13k 2a12b02 )e?? ?(4b03a13b1k ? b03a14 ? 3a0b1a13b02 ? 8k 3a1b14b0b?1 ? 3a02b12a12b0 ? 4a1k 2a0b14b?1 ? a1a03b13 ? 2a03b14k )e?2??(10a0b12a12b02k ? 8a0b13k 2a1b02 ? 4a02b14k 2b0 ? 8a02b13a1b0k ? 4k 2a12b13b0b?1 ? 4b03a12k 2b12 ? 8k 3a0b15b?1 )e?2??8a0b16k 3 ) / (b1 (8b16e? k 3 ? 8b?1e?? k 3b15 ? (2b03a12kb1 ? 4a0b12ka1b02 ? b03a13 ))?b1 (3a0b1a12b02 ? a03b13 ? 4k 2a1b13b0b?1 ? 2a02b13kb0 ? 4k 2a0b14b?1e?2? ? 8b0k 3b15 )) .其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . (11) 将(2-27)代入(2-20)得到方程的一组行波解:u11 ?

a2e2? b2 ? b0 a2 ? 4b0b2 k ,其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt . 2? b2 (b2e ? b0 )

令 b2 ? ?b0 , a2 ? 2kb0 ,则 u11 可变为一个孤立波解:

u11(1) ? ?2k coth ? ,其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt .

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u11(1) 可变为一个三角函数周期解:

u11(2) ? 2k1 cot(k1x ? k2 y ? 4k12k2t ) .

(12) 将(2-28)代入(2-20)得到方程的一组行波解:u12 ?

(?6b2 kb?1 ? b2 a?1 )e2? ? a?1e?? b?1 , 其中: ? ? kx ? my ? 9k 2mt . 2? ?? b?1 (b2e ? b?1e )

1 a?1 1 a?1 , b?1 ? ,则 u12 可变为一个孤立波解: 3 k 3 k 3 ? ?3k coth( ? ) ,其中: ? ? kx ? my ? 9k 2mt . 2

令 b2 ? ?

u12 (1)

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u12(1) 可变为一个三角函数周期解:

3 u12 (2) ? ?3k1 cot( (k1 x ? k2 y ? 9k12 k2t )) . 2

(13) 将(2-29)代入(2-20)得到方程的一组行波解:u13 ?

(4b2b1kb?1 ? b2b1a?1 )e2? ? (4b12 kb?1 ? b12 a?1 )e? ? a?1b2b?1 ? a?1e?? b?1b ,其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt . b?1 (b2e2? b1 ? b12e? ? b2b?1 ? b?1e?? b1 ) (14) 将(2-30)代入(2-20)得到方程的一组行波解:u14 ? a2e2? b2b12 ? a2b13e? ? (b?1b12 a2 ? 4b?1b12b2 k )e ?? ? 4b1kb?1b2 2 ? a2b12b0 b2 (b2e2? b12 ? b13e? ? b?1e?? b12 ? (b?1b1b0 ? b?12b2 )e ?2? ? b0b12 )?

(4b?1b1kb0b2 ? 4b?12 kb2 2 ? b?1a2b1b0 ? b?12 a2b2 )e?2? ,其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt . 2? 2 3 ? ?? 2 2 ?2? 2 b2 (b2e b1 ? b1 e ? b?1e b1 ? (b?1b1b0 ? b?1 b2 )e ? b0b1 )

令 b0 ? 0, b1 ? ?b?1 , b2 ? ?u14(1) ?

1 a2 ,则 u14 可变为一个孤立波解: 2 k?2k (a2 cosh(2? ) ? 2b?1 cosh(? ) ? a2 ) ,其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt . a2 sinh(2? ) ? 2b?1 sinh(? )

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u14(1) 可变为一个三角函数周期解:u14(2)

(a2 cos(2k1 x ? 2k2 y ? 8k12 k2t ) ? 2b?1 cos(k1 x ? k2 y ? 4k12k2t ) ? a2 ) . ? ?2k1 a2 sin(2(k1 x ? k2 y ? 4k12 k2t )) ? 2b?1 sin(k1 x ? k2 y ? 4k12k2t )

(15) 将(2-31)代入(2-20)得到方程的一组行波解:

u15 ? ??a?2e?2? b2 ? (8b2 kb?2 ? b2 a?2 )e2? , 其中: ? ? kx ? my ?16k 2mt . 2? ?2? b?2 (b2e ? b?2e )

令 a?2 ? 4kb?2 , b2 ? ?b?2 ,则 u15 可变为一个孤立波解:

u15(1) ? ?4k coth(2? ) , 其中: ? ? kx ? my ?16k 2mt .

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u15(1) 可变为一个三角函数周期解:

u15(2) ? ?4k1 cot(2(k1x ? k2 y ?16k12k2t )) .

(16) 将(2-32)代入(2-20)得到方程的一组行波解:

u16 ? ? (a?2 a0 2b?2 2 ? 12a?2b0 a0b?2 2 k ? 2a?2 2b0 a0b?2 ? 8a?2 2b0 2 kb?2 ? a?23b0 2 ? 16k 2 a?2b0 2b?2 2 )e 2? b?2 ((a0 2b?2 2 ? 4ka0b?2 2b0 ? 2a?2b0 a0b?2 ? 4ka?2b0 2b?2 ? a?2 2b0 2 )e 2? ? 16b0 k 2b?23 ? 16b?2 4e ?2? k 2 )?16k 2 a0b?23b0 ? 4a0 2b?23k ? 16a0b?2 4 k 2 ? 16a?2e?2? b?2 4 k 2 b?2 ((a0 2b?2 2 ? 4ka0b?2 2b0 ? 2a?2b0 a0b?2 ? 4ka?2b0 2b?2 ? a?2 2b0 2 )e 2? ? 16b0 k 2b?23 ? 16b?2 4e ?2? k )其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt . 令 b0 ? 0, a?2 ? 2kb?2 , a0 ? 4kb?2 则 u16 可变为一个孤立波解:

u16(1) ? ?2k coth(2? ) ? 2k 1 ,其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt . sinh(2? ) 令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意函数,则 u16(1) 可变为一个三角函数周期解:

u16(2) ? ?2k1 (cot(2(k1 x ? k2 y ? 4k12k2t ) ? 1 ) sin(2(k1 x ? k2 y ? 4k12 k2t ))

(17) 将(2-33)代入(2-20)得到方程的一组行波解:

(b2b?1a?2 ? 6b2b?1kb?2 )e2? ? (b2b?2a?2 ? 6b2b?2 2k )e? ? a?2b?12e ?? ? a?2e ?2? b?2b?1 , u17 ? b?2 (b2e2? b?1 ? b2e? b?2 ? b?12e?? ? e?2? b?2b?1 )其中: ? ? kx ? my ? 9k 2mt . 令 b2 ? b?1, a?2 ? ?3kb?1 , b?2 ? ?b?1 ,则 u17 可变为一个孤立波解:

u17 (1) ? ?3k (cosh(2? ) ? cosh(? )) , ? ? kx ? my ? 9k 2mt . sinh(2? ) ? sinh(? )

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意函数,则 u17(1) 可变为一个三角函数周期解:

u17 (2) ? ?3k1 (cos(2(k1 x ? k2 y ? 9k12 k2t )) ? cos(k1 x ? k2 y ? 9k12k2t )) . sin(2(k1 x ? k2 y ? 9k12 k2t )) ? sin(k1 x ? k2 y ? 9k12k2t )

(18) 将(2-34)代入(2-20)得到方程的一组行波解:

u18 ? (16a2e2? b28k 4 ? 16a1e? b28k 4 ? (4k 2a23b23b13 ? 8b26 k 3a12b1 ?16b27 k 4 a2b?1 )e??

4 7 4 2 2 2 6 2 3 ?? ?(12b25k 2a2b1a12 ?16b25k 3a2b12a1 ? 8k 3a22b24b13 ?16b26k 4a2bb 1 0 ?16k a1b2 b0 ?12b2 k a2 b 1 a1 ? 4b2 k a1 )e?(4a24b14b2 k ? 4a13b23a22b1 ?10a13b24a2b1k ? 4a1b2a2 4b13 ?18a12b23a2 2b12k )e?2? ?(4k 2a23b23b12b0 ? 6a12b22a23b12 ? 8k 3a22b25b1b?1 ? 8a1b0a22b1b24k 2 ? 4a2a12b25b0k 2 )e?2??(8a2k 3a1b26b?1 ? 2a14b25k ? a2a14b24 ? a25b14 ?14a1b22a23b13k ? 4k 2a23b22b14 ?16k 4a2b26b1b?1 )e?2?

5 3 2 4 2 2 2 3 3 2 3 2 4 2 2 6 3 4 7 3 5 2 2? ?(16a1b0a2bb 1 2 k ?12a1 b2 k a2b 1 ? 12k a1b2 b 1 a2 ? 8k a2 b2 b 1 b0 ? 8a1 b2 b0k ? 16k a1b2 b?1 ? 4a1 b2 k b1 )e?(16b27 k 4a2b0 ?16b26k 3a1a2b1 ?16b27k 4a1b1 ? 8b27k 3a12 ? 8b25k 3a22b12 ?16b26k 4a2b12 )e?2? ) /

4 2 3 4 4 4 3 4 3 3 2 3 2 2 2 3 2 ?2? (b2 (8a1b0a2bb 1 2 k ? 2a1 b2 kb 1 ? a2 b 1 ? 2ka2 b2b 1 ? 4a1b2a2 b 1 ? 6ka1b2 b 1 a2 ? 4k a2 b2 b 1 b0 )e

3 3 3 6 4 4 2 5 2 ?2? ?b2 (?6a12b22a22b12 ? 6a12b23ka2b12 ? 8k 3a2b25bb 1 ?1 ? 4a1 b2 a2b 1 ? 8k a1b2 b?1 ? a1 b2 ? 4a1 b2 b0k )e

2 ?b2 (16b28e2? k 4 ? 16b2e? k 4b27 ? 16b?1e?? k 4b27 ? 16b0k 4b27 )) , 其中: ? ? kx ? my ? k mt .

同理,用 Maple 将几个典型波形图绘制如下: (d )(e)(f)

图 ( d ) 是行波 u9 : b1 ? 5, b?1 ? 1, b?2 ? 1, a?2 ? 2, k ? 10, m ? 1, t ? 0.01 , ?1 ? x ? 5, ?1 ? y ? 5 ; 图 (e) 是孤立波 u14(1) : a2 ? 2, b?1 ? 1, k ? 1, m ? 1, t ? 0.02, ?1 ? x ? 5, ?2 ? y ? 1; 图 ( f ) 是三角函数周期波 u17 (2) : k1 ? 1, k2 ? 2, t ? 1,10 ? x ? 50,10 ? y ? 50 . 情形Ⅲ 令 c ? 3, d ? 3 时,由(2-13)式得:

u(? ) ?

a3e3? ? a2e2? ? a1e? ? a0 ? a?1e?? ? a?2e?2? ? a?3e?3? b3e3? ? b2e2? ? b1e? ? b0 ? b?1e?? ? b?2e?2? ? b?3e?3?

(2-35)

为了计算简单,令 b2 ? b?2 ? 0 ,借助 Maple,由同样的方法得到 21 组参数值:

8k 3b32b?3 ?b3 (2kb?3 ? a?3 ) 4k 2 a2 4b3b1 ? a2 6 ? 64k 6b35b?3 ? , a ? , b ? , ? 3 0 a2 2 b?3 8a23k 3b32 ? 7 2 5 2 4 6 6 5 ? 1 128k b?3 b3 ? 4a?3k a2 b3b1 ? a?3a2 ? 64a?3k b3 b?3 ? a0 ? ? , ? 3 3 2 8 a2 k b?3b3 ? 2 2 2 ?4k b3b?3 ? 1 a2 b?3 ? 4k b3b1b?3 ? 2kb3b1a?3 a1 ? ? , g ? ?k 2 m, b?1 ? 0, a?2 ? .? 2 kb3b?3 a2 ? ? a?1 ?

a?3 ? 0, b3 ? 0, g ? ?k 2m, b?3 ? 0, b1 ? ? 2(a02 ? 2ka1b?1 )kb?1 1 a02 , a ? 0, a ? 0, b ? 0, a ? 0, a ? ; ?2 3 0 2 ?1 4 k 2b?1 a02

(2-36)

(2-37)

a?3 ? 0, b3 ? 0, g ? ?k 2 m, b?3 ? 0, a?2 ? 0, a0 ? b0 (a?1 ? 2kb?1 ) , a1 ? 0, a3 ? 0, b1 ? 0, a2 ? 0. b?1

(2-38)

b3 ? 0, b?1 ? 0, a?1 ? 0, g ? ?9k 2m, a?2 ? 0, a1 ? 0, a0 ??b0 (?a?3 ? 6kb?3 ) , a3 ? 0, b1 ? 0, a2 ? 0; b?3

(2-39) b3 ? 0, a?3 ? ?

4(4ka1b?3 ? a?12 )kb?3 a?12 2 , b ? 0, g ? ? 4 k m , a ? 0, a ? 0, a ? 0, b ? ? , b0 ? 0, a2 ? 0; ?1 ?2 3 0 1 a?12 16k 2b?3 ,

(2-40)

b3 ? 0, b?1 ? 0, g ? ?16k 2 m, a?1 ? 0, a?2 ? 0, a3 ? 0, a0 ? 0, b0 ? 0, a2 ? 0, a1 ?

b?3 ? ??b1 (?a?3 ? 8kb?3 ) ; b?3

(2-41)? 1 ?2a1b?1a?1b1 ? a12b?12 ? 4ka?1b12b?1 ? 4ka1b1b?12 ? a?12b12 ( ), g ? ?4k 2 m, ? 2 3 16 k b1 ? 2 2 2 ? 12a1b?1a?1b1 k ? 8a1 b?1 b1k ? 16k 2 a?1b13b?1 ? 16k 2 a1b12b?12 ? 2a12b?1a?1b1 ? (2-42) a?3 ? ? 4 2 16b1 k ? 3 2 2 2 2 3 ? a b ? a1a?1 b1 ? 4a?1 b1 k ? ? 1 ?1 , a ? 0, a ? 0, a ? 0, b ? 0, a ? 0, b ? 0; ? 2 3 0 0 2 3 16b14 k 2 ? ?? ? ? 1 a?2 (2ka?23b?3 ? 8k 3a?2b?1b?32 ? 16k 4b0b?33 ? a?3a?23 ? 4k 2 a?2b?3a?3b?1 ? 8k 3a?3b0b?32 ) ? ? a1 ? , ? (2-43) 4 4 16 k b?3 ? 3 2 3 2 ? 1 a?2 (a?2 ? 4a?2b?1b?3k ? 8k b0b?3 ) ? a3 ? 0, b1 ? ? , a ? 0; 2 16 k 4b?33 ? ? 1 a?23 ? 4a?2b?1b?3k 2 ? 4k 2 a?3b0b?3 1 a?2 2 ? 2ka?3b?1 a0 ? , b3 ? 0, a?1 ? , g ? ?k 2 m, 2 2 4 k b?3 2 kb?3

a?3 ? 0, b?3 ? 0, g ? ?4k 2m, a?1 ?

a?3 ? 0, b?1 ?

4(a12 ? 4ka3b?1 )kb?1 a12 , a ? 0, b ? ? , a0 ? 0, b1 ? 0, b0 ? 0, a2 ? 0; ?2 3 a12 16k 2b?1

(2-44)? ? ? 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 ? ?4a1 b3 k ? 16k a3b3 b1 ? a3a1 b3 ? 12a3b1a1b3 k ? a3 b1 a?1 ? ? 16k 2b34 ? ? 2 2 2 2 3 8a b kb ? 2a3 b1a1b3 ? 16k a1b3 b1 2 ? ? 3 1 3 , g ? ? 4 k m , b ? 0, a ? 0, ?3 ?2 ? 16k 2b34 ? a0 ? 0, b0 ? 0, a2 ? 0; ? ? a12b32 ? 4ka1b3 2b1 ? a32b12 ? 4ka3b3b12 ? 2a3b1a1b3 , 16k 2b33

a?3 ? 0, b?3 ? 0, g ? ?16k 2 m, a?2 ? 0, a1 ? 0, a0 ? 0, b1 ? 0, b0 ? 0, a3 ? b3 (a?1 ? 8kb?1 ) , a2 ? 0; b?1

(2-45)

(2-46)

b3 (a?1 ? 2kb?1 ) ? 1 a 4 ? 16k 4b33b?1 a?3 ? 0, g ? ?k 2 m, b?3 ? 0, b1 ? ? ( 2 ), a ? ,? 3 4 a2 2b3k 2 b?1 ? ? ?a?1a2 4 ? 16a?1k 4b33b?1 ? 32k 5b?12b33 ?4k 2b3b?1 ? a1 ? , a?2 ? 0, b0 ? 0, a0 ? ; ? 4k 2b?1a2 2b3 a2 ?

(2-47) a2 (8k 3b32b1 ? 4a3k 2b3b1 ? a3a2 2 ? 2a2 2 kb3 ) a2 (4k 2b3b1 ? a2 2 ) ? , b ? ,? 0 8k 3b33 8k 3b32 ? ? 2 b?1 ? 0, a?3 ? 0, g ? ?k m; ? a0 ?

(2-48)b?1 ?

a2 (8k 3b32b0 ? 4k 2 a2b3b1 ? a23 ) 2(4a2 2b1k 2b3 ? a2 4 ? 8k 3a2b32b0 ? 8k 3a?1b33 ) ? , a ? ,? 3 16k 4b33 a2 (8k 3b32b0 ? 4k 2 a2b3b1 ? a23 )kb3 ? 3 3 2 2 4 6 4 2 2 2 5 3 5 4 ? ?8a2 b0 k b3 ? 8k a2 b3b1 ? a2 ? 16k a2 b3 b1 ? 32k a2b3 b1b0 ? 32k a?1b3 b1 a1 ? , ? ? 2a2 (8k 3b32b0 ? 4k 2 a2b3b1 ? a23 )kb3 ? ? 2 5 3 4 3 2 2 5 2 4 2 3 2 6 4 3 (64a2 b1k b3 b0 ? 16k a2 b3 b1 ? 8a2 b1k b3 ? 16a2 b3 b0 k ? 64a2b0 k b3 ) ? a0 ? ? 4k 2b32 a2 (8k 3b32b0 ? 4k 2 a2b3b1 ? a2 ) ? a?3 ? 0, g ? ?k 2 m, b?3 ? 0, a?2 ? 0; ? ?

(2-49)? 6(?6ka3b?3 ? a0 2 )kb?3 a0 2 , b ? ? , b?1 ? 0, a?1 ? 0, g ? ?9k 2 m, a?2 ? 0, a1 ? 0 ? 3 2 2 a0 36k b?3 ? ? b1 ? 0, b0 ? 0, a2 ? 0; ? a?3 ??b3 (?a?3 ? 12kb?3 ) ? , b?1 ? 0, a?1 ? 0, a?2 ? 0, a1 ? 0, g ? ?36k 2 m, a0 ? 0, b1 ? 0, ? b?3 ? ? b0 ? 0, a2 ? 0; ? a3 ?

b3 ? ? ? ? 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 ? ?8a?1b?3 ka?3b?1 ? 3a?1b?3a?3 b?1 ? 16k a?3b1b?1b?3 ? 4a?3 b?1 kb?3 ? a?3 b?1 , ? 64k 3b?35 ? 2 2 2 2 2 2 2 ? 1 a b ? 4ka?3b?1 b?3 ? 4ka?3b1b?3 ? a?3 b?1 ? 2a?1b?3a?3b?1 ? 4ka?1b?1b?3 ? a1 ? ?1 ?3 4 kb?33 ? ? 3 4 3 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 1 (4a?1 b?3 k ? 32a?1b?3 k a?3b?1 ? 20a?1b?3 a?3 b?1 k ? 16a?1 b?3 a?3b?1k ? 16a?1 b?3 k b?1 ) ? a3 ? ? 64 k 3b?36 ? 2 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 4 ? 1 16a b k b ? 8a?3 b?1 kb?3 ? a?3a?1 b?3 ? 3a?1 b?3 a?3 b?1 ? 16a?3k a?1b1b?3 ? ? ( ?3 ?1 ?3 ) 16 k 3b?36 ? ? 3 2 2 2 3 4 3 3 4 3 5 1 (?3a?1b?3a?3 b?1 ? 16k a?3 b1b?1b?3 ? a?3 b?1 ? 64k a?3b1b?1b?3 ? 64k a?1b1b?3 ) ? ? ? 64 k 3b?36 ? g ? ?4k 2 m, a?2 ? 0, a0 ? 0, b0 ? 0, a2 ? 0; ? ? ? ?a?13b?33 ? 4a?12b?33kb?1 ? 3a?12b?32 a?3b?1 ? 16k 2 a?1b1b?34 ? 64k 3b?35

(2-50)

(2-51)

(2-52)b1 ?

b3b?3 ?b (?a ? 8kb?3 ) ?b (?a ? 8kb?3 ) a b ? , a3 ? 3 ?3 , a1 ? 3 ?3 , g ? ?16k 2m, a?1 ? ?3 ?1 , a?2 ? 0,? b?1 b?3 b?1 b?3 ? ? a0 ? 0, b0 ? 0, a2 ? 0; ?

(2-53) ? ? ? 2 2 2 2 3 2 3 ? 36k a3b3 b0 ? 36k a0b3 b0 ? 6a0 b3 k ? 2 ? , g ? ? 9 k m , a ? 0, a ? 0, a ? 0, ? ?2 1 2 2 4 36k b3 ? 2 2 2 2 2 2 ? 2a b a b ? a3 b0 ? 6ka3b3b0 ? 6ka0b3 b0 ? a0 b3 ? b?3 ? 3 0 0 3 , b ? 0, a ? 0, b ? 0 ; ?1 ?1 1 36k 2b33 , ? ? 2a32b0 a0b3 ? a33b0 2 ? 12a32b0 2 kb3 ? 18a3b0 a0b32 k ? a3a0 2b32 a?3 ? 36k 2b34?4k 2 a?3b3 a2 3b1 ? a?3 a2 5 ? 16k 4 a?3b3 4 a?2 ? 16k 4 a?3b33a2b?1 ? ? 2kb3 a?2 a2 3 ? ? 8k 3b33 a2 a?2 2 ? 8a?2 a2 2 k 3b3 2b?1 1 a?2 a2 2 ? , b ? ? , g ? ? k m , ? ?3 2kb3 a?2 a2 3 4 k 2b3 ? ? 2 3 5 4 4 4 3 1 ( ?4k b3 a2 b1 ? a2 ? 16k b3 a?2 ? 16k b3 a2b?1 ) ? b0 ? ? , ? 3 2 2 8 k b3 a2 ? 3 3 2 2 ? 1 a?2 a2 ? 8k b3 b1a?3 ? 4k a?2b3b1a2 ? a1 ? ? , 2 a?2 a2 kb3 ? ? 2 ?2(2ka?3b3 ? a?2 a2 ) kb3 ?2( a?2 ? 2ka?3b?1 ) kb3 ? a3 ? , a?1 ? ; ? a2 a?2 a?2 a2 ? a0 ?

8k 3b32b?3 ?b3 (2kb?3 ? a?3 ) 4k 2 a2 4b3b1 ? a2 6 ? 64k 6b35b?3 ? , a ? , b ? , ? 3 0 a2 2 b?3 8a23k 3b32 ? ? 1 128k 7b?32b35 ? 4a?3k 2 a2 4b3b1 ? a?3 a2 6 ? 64a?3k 6b35b?3 ? a0 ? ? , ? 3 3 2 8 a2 k b?3b3 ? 2 2 2 ?4k b3b?3 ? 1 a2 b?3 ? 4k b3b1b?3 ? 2kb3b1a?3 a1 ? ? , g ? ?k 2 m, b?1 ? 0, a?2 ? .? 2 kb3b?3 a2 ? ? a?1 ?

(2-54)

(2-55)

(2-56)

(19) 将(2-36)代入(2-35)得到方程的一组行波解:

u19 ? 16(a1e? a?12 ? a?13e?? ? (4kb?3a?12 ? 16k 2b?32 a1 )e?3? )k 2b?3 ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt .. a?12 (?a?12e? ? 16b?32e?3? k 2 )

(20) 将(2-37)代入(2-35)得到方程的一组行波解:u20 ??2b0 kb?1 ? b0 a?1 ? a?1e?? b?1 ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . ?? b?1 (b0 ? b?1e )

令 b0 ? ?b?1 , a?1 ? kb?1 则 u 20 可变为孤立波解:u20 (1) ? ?k coth( ) ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . 2?

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u20(1) 可变为一个三角函数周期解:u20(2) ? ?k1 cot( k1 x ? k2 y ? k12 k2t ). 2 (21) 将(2-38)代入(2-35)得到方程的一组行波解:u21 ?

b0 a?3 ? 6b0 kb?3 ? a?3e?3? b?3 ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . b?3 (b0 ? b?3e?3? )

令 b0 ? ?b?3 , a?3 ? 3kb?3 则 u 21 可变为孤立波解:

3 u21(1) ? ?3k coth( ? ) ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . 2

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u21(1) 可变为一个三角函数周期解:

3 3 3 u21(2) ? ?3k1 cot( k1 x ? k2 y ? k12 k2t ) 2 2 2

(22) 将(2-39)代入(2-35)得到方程的一组行波解:u22

b1a?3 ? 8b1kb?3e? ? a ?3? b?3 ? , 其中: ? ? kx ? my ? 9k 2mt . ? ?3? b?3 (b1e ? b?3e )

令 b1 ? ?b?3 , b?3 ? 4kb?3 则 u 22 可变为孤立波解:

3 u22 (1) ? ?4k coth( ? ) ,其中: ? ? kx ? my ? 9k 2mt . 2

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u22(1) 可变为一个三角函数周期解:

3 u22 (2) ? ?4k1 cot( (k1 x ? k2 y ? 9k12 k2t )) . 2

(23) 将(2-40)代入(2-35)得到方程的一组行波解:u23 ? ?16a1e? b14 k 2 ? 16a?1e?? b14 k 2 ? (16k 2 a1b12b?12 ? 8a12b?12kb1 ? 16k 2a?1b13b?1 )e ?3? b1 (?16b14e? k 2 ? 16b?1e?? k 2b13 ? (4ka1b1b?12 ? a12b?12 ? 4ka?1b12b?1 ? 2a1b?1a?1b1 ? a?12b12 )e ?3? )?

(?12a1b?1a?1b12 k ? a13b?12 ? 2a12b?1a?1b1 ? a1a?12b12 ? 4a?12b13k )e ?3? b1 (?16b14e? k 2 ? 16b?1e?? k 2b13 ? (4ka1b1b?12 ? a12b?12 ? 4ka?1b12b?1 ? 2a1b?1a?1b1 ? a?12b12 )ex ?3? )其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt . (24) 将(2-41)代入(2-35)得到方程的一组行波解:

4((2kb?1a0 2 ? 4k 2b?12 a1 )e?? ? a1e? a02 ? a03 )k 2b?1 ,其中: ? ? kx ? my ?16k 2mt . u24 ? 2 2 ? 2 ?? 2 a0 (a0 e ? 4b?1 e k )

令 b?1 ?u24(1) ?

a0 a , a1 ? 0 ,则 u24 可变为一个孤立波解: 2k 2

k (cosh(? ) ? 1) , 其中: ? ? kx ? my ?16k 2mt . sinh h(? ) 令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u24(1) 可变为一个三角函数周期解:u24(2) ?

k1 (cos(k1 x ? k2 y ? 16k12 k2t ) ? 1) . sin(k1 x ? k2 y ? 16k12 k2t )

(25) 将(2-42)代入(2-35)得到方程的一组行波解:u25 ? (2a0b1a12b0 ? 4a12b02b1k ? a13b02 ? a1a02b12 ? 6a0b12a1b0k ? 4k 2a1b12b02 ? 4k 2a0b13b0 ? 2a02b13k )e ?? b1 (4b14e? k 2 ? (2a0b1a1b0 ? 2ka1b1b02 ? a12b02 ? a02b12 ? 2ka0b12b0 )e ?? ? 4b0 k 2b13 )?

4a1e? b14 k 2 ? 4a0b14 k 2 , b1 (4b14e? k 2 ? (2a0b1a1b0 ? 2ka1b1b0 2 ? a12b0 2 ? a0 2b12 ? 2ka0b12b0 )e?? ? 4b0 k 2b13 )其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt . 令 a1 ? ?kb1 , b0 ? 0, a0 ? ?2kb1 ,则 u25 可变为一个孤立波解:u25(1) ? ? k (cosh(? ) ? 1) , 其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt . sinh h(? )

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u25(1) 可变为一个三角函数周期解:u25(2) ? ?

k1 (cos(k1 x ? k2 y ? 4k12 k2t ) ? 1) . sin(k1 x ? k2 y ? 4k12 k2t )

(26) 将(2-43)代入(2-35)得到方程的一组行波解:

(2a?24 kb?3 ? 8a?22k 3b?1b?32 ? 16a?2k 4b0b?33 ? a?2 4a?3 ? 4a?2 2k 2b?3a?3b?1 ? 8a?2k 3a?3b0b?32 )e? u26 ? b?3 ((?a?24 ? 4a?22b?1b?3k 2 ? 8a?2k 3b0b?32 )e? ? 16k 4b0b?33 ? 16b?1e?? k 4b?33 ? 16b?34e ?3? k 4 )?

(8k 3b?33a?2 2 ? 16k 4b?33a?3b?1 )e?? ? 4k 2b?32 a?23 ? 16k 4b?33a?2b?1 b?3 ((?a?2 4 ? 4a?2 2b?1b?3k 2 ? 8a?2 k 3b0b?32 )e? ? 16k 4b0b?33 ? 16b?1e ?? k 4b?33 ? 16b?34e ?3? k 4 )

16k 4b?33a?3b0 ? 1a?2e?2? k 4b?34 ? 16a?3e?3? k 4b?34 b?3 ((?a?2 4 ? 4a?2 2b?1b?3k 2 ? 8a?2 k 3b0b?32 )e? ? 16k 4b0b?33 ? 16b?1e ?? k 4b?33 ? 16b?34e ?3? k 4 )?其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . (27) 将(2-44)代入(2-35)得到方程的一组行波解:u27 ?

16((?4kb?1a12 ? 16k 2b?12 a3 )e?? ? a3e3? a12 ? a13e? )k 2b?1 ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . 2 2 3? 2 ?? 2 a1 (?a1 e ? 16b?1 e k )

(28) 将(2-45)代入(2-35)得到方程的一组行波解: u28 ??16a3e3? b34 k 2 ? 16a1e? b34 k 2 b3 (?16b34e3? k 2 ? 16b1e? k 2b33 ? (a12b32 ? 4ka1b32b1 ? a32b12 ? 4ka3b3b12 ? 2a3b1a1b3 )e?? )

(4a12 b33k ? 16k 2 a3b32b12 ? a3a12b32 ? 12a3b1a1b32k ? a33b12 )e???

b3 (?16b34e3? k 2 ? 16b1e? k 2b33 ? (a12b32 ? 4ka1b32b1 ? a32b12 ? 4ka3b3b12 ? 2a3b1a1b3 )e?? )

(8a32b12 kb3 ? 2a32b1a1b3 ? 16k 2 a1b33b1 )e?? , ? b3 (?16b34e3? k 2 ? 16b1e? k 2b33 ? (a12b32 ? 4ka1b32b1 ? a32b12 ? 4ka3b3b12 ? 2a3b1a1b3 )e ?? )其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt . (29) 将(2-46)代入(2-35)得到方程的一组行波解:u29 ?

b0 a?3 ? 6b0 kb?3 ? a?3e?3? b?3 ,其中: ? ? kx ? my ?16k 2mt . b?3 (b0 ? b?3e?3? )

(30) 将(2-47)代入(2-35)得到方程的一组行波解:

u30 ? (4b32 a2 2 k 2 a?1 ? 8b32 a2 2 k 3b?1 )e3? ? 4a23e2? b?1b3k 2 ? 4a?1e ?? b?1a2 2b3k 2 b?1 (?4b32e3? a2 2 k 2 ? (a2 4 ? 16k 4b33b?1 )e? ? 4b?1e? ? a22b3k 2 )?

(?a?1a2 4 ? 16a?1k 4b33b?1 ? 32k 5b?12b33 )e? ? 16k 4b32b?12a2 ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . b?1 (?4b32e3? a2 2 k 2 ? (a2 4 ? 16k 4b33b?1 )e? ? 4b?1e? ? a2 2b3k 2 )

(31) 将(2-48)代入(2-35)得到方程的一组行波解:

2kb3a3e? ? 2ka2b3 ? a2 a3 u31 ? ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . ? b3 (2b3e k ? a2 )

(32) 将(2-49)代入(2-35)得到方程的一组行波解:

u32 ? ?

4(?32k 5b34a22b1 ? 8k 3b33a24 ? 64k 6b35a2b0 ? 64k 6b36a?1 )e3? ? (?32a22k 5b34b0 ? 16a23k 4b33b1 ? 4a25k 2b32 )e2? k 2b3 a2 (?8k 3b32b0 ? 4k 2a2b3b1 ? a23 )(16b34e3? k 4 ? 16b1e? k 4b33 ? (8k 3a2b32b0 ? 4a22b1k 2b3 ? a24 )e?? ? 16b0k 4b33 )

4(16k 4b33a23b0 ? 16k 3b32 a24b1 ? 2kb3a26 ? 32k 5b33a22b12 ? 64k 6b34a2b1b0 ? 64k 6b35a?1b1)e? k 2b3 a2 (?8k 3b32b0 ? 4k 2a2b3b1 ? a23 )(16b34e3? k 4 ? 16b1e? k 4b33 ? (8k 3a2b32b0 ? 4a22b1k 2b3 ? a24 )e ?? ? 16b0k 4b33 )

4(?32a?1k 5b34 a2b0 ? 16a?1k 4b33a22b1 ? 4a?1k 2b32a24 )e?? k 2b3 a2 (?8k 3b32b0 ? 4k 2 a2b3b1 ? a23 )(16b34e3? k 4 ? 16b1e? k 4b33 ? (8k 3a2b32b0 ? 4a22b1k 2b3 ? a24 )e ?? ? 16b0k 4b33 )??

4k 2b3 (?64a22b1k 5b33b0 ? 16k 4 a23b32b12 ? 8a25b1k 2b3 ?16a24b32b0k 3 ? 64a2b02k 6b34 ? 64k 6a?1b35b0 ? a27 ) a2 (?8k 3b32b0 ? 4k 2a2b3b1 ? a23 )(16b34e3? k 4 ? 16b1e? k 4b33 ? (8k 3a2b32b0 ? 4a22b1k 2b3 ? a24 )e ?? ? 16b0k 4b33 )其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . (33) 将(2-50)代入(2-35)得到方程的一组行波解: u33 ?

36(a3e3? a02 ? (?36k 2b?32a3 ? 6kb?3a0 2 )e?3? ? a03 )k 2b?3 ,其中: ? ? kx ? my ? 9k 2mt . 2 2 3? 2 ?3? 2 a0 (a0 e ? 36b?3 e k )

令 a0 ? 6kb?3 , a3 ? 3kb?3 则 u33 可变为一个孤立波解:

u33(1) ? ?3k cosh(3? ) ? 6k ,其中: ? ? kx ? my ? 9k 2mt . 2sinh(3? )

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u33(1) 可变为一个三角函数周期解:

u33(2) ? ?3k1 cot(3(k1 x ? k2 y ? 9k12 k2t )) ? 6k1 . 2sin(3(k1 x ? k2 y ? 9k12 k2t ))

(34) 将(2-51)代入(2-35)得到方程的一组行波解:

(b3a?3 ? 12b3kb?3 )e3? ? a?3e?3? b?3 , 其中: ? ? kx ? my ? 36k 2mt . u34 ? 3? ?3? b?3 (b3e ? b?3e )

令 b?3 = ? b3 , a?3 ? ?6b3k ,则 u34 可变为一个孤立波解:

u34(1) ? ?6coth(3? ) ,其中: ? ? kx ? my ? 36k 2mt .

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u34(1) 可变为一个三角函数周期解:

u34(2) ? ?6k1 cot(3(k1x ? k2 y ? 36k12k2t )) .

(35) 将(2-52)代入(2-35)得到方程的一组行波解:u35 ? ?(4a?13b?34k ? 32a?1b?33k 2a?3b?12 ? 20a?1b?32a?32b?12k ?16a?12b?33a?3b?1k ?16a?12b?34k 2b?1?16a?32b?13k 2b?32 ? 8a?33b?13kb?3 ? a?3a?13b?33 ? 3a?12b?32a?32b?1 ?16a?3k 2a?1b1b?34 ?3a?1b?3a?33b?12 ?16k 2a?32b1b?1b?33 ? a?34b?13 ? 64k 3a?3b1b?1b?34 ? 64k 3a?1b1b?35 )e3? ?(16b?35k 2a?12 ? 64b?34k 3a?3b?12 ? 64b?35k 3a?3b1 ?16b?33k 2a?32b?12 ? 32b?34k 2a?1a?3b?1 ?64b?35k 3a?1b?1 )e? ? 64a?1e?? b?36k 3 ? 64a?3e?3? b?36k 3 / b?3 (a?13b?33 ? 4a?12b?33kb?1 ? 3a?12b?32a?3b?1 ?16k 2a?1b1b?34 ? 8a?1b?32ka?3b?12 ? 3a?1b?3a?32b?12?16k 2a?3b1b?1b?33 ? 4a?32b?13kb?3 ? a?33b?13 )e3? ?64b1e? k 3b?35 ? 64b?1e?? k 3b?35 ? 64b?36e?3? k 3 )其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt . 令 b?1 ? ?2b?3 , b1 ? 2b?3 , a?1 ? 0, a?3 ? 2b?3k 则 u35 可变为一个孤立波解: u35(1) =?2k cosh(3? ) , 其中: ? ? kx ? my ? 4k 2mt . sinh(3? ) ? 2sinh(? )

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u35(1) 可变为一个三角函数周期解:u35(2)?2k1 cos(3(k1 x ? k2 y ? 4k12 k2t )) = sin(3(k1 x ? k2 y ? 4k12 k2t )) ? 2sin(k1 x ? k2 y ? 4k12k2t )

(36) 将(2-53)代入(2-35)得到方程的一组行波解:u36 ?

(?b3b?1a?3 ? 8b3b?1kb?3 )e3? ? (?b3b?3a?3 ? 8b3b?32 k )e? ? a?3b?12e?? ? a?3e?3? b?3b?1 , b?3 (b3e3? b?1 ? b3e? b?3 ? b?12e?? ? b?3e?3? b?1 )其中: ? ? kx ? my ?16k 2mt . 令 a?3 ? 4kb?3 , b?1 ? ?b?3 , b3 ? ?b?3 则 u36 可变为一个孤立波解:

u36(1) = ?4k (cosh(3? ) ? cosh(? )) ,其中: ? ? kx ? my ?16k 2mt . sinh(3? ) ? sinh(? )

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u36(1) 可变为一个三角函数周期解:

u36(2) =?4k1 (cos(3(k1 x ? k2 y ? 16k12 k2t )) ? cos(k1 x ? k2 y ? 16k12k2t )) . sin(3(k1 x ? k2 y ? 16k12 k2t )) ? sin(k1 x ? k2 y ? 16k12k2t )

(37) 将(2-54)代入(2-35)得到方程的一组行波解:

u37 ? ?36a3e3? b34 k 2 ? 36a0b34 k 2 ? (2a32b0 a0b3 ? a33b0 2 ? 12a32b0 2 kb3 )e?3? b?3 (?36b34e3? k 2 ? (?2a3b0 a0b3 ? a32b0 2 ? 6ka3b3b0 2 ? 6ka0b32b0 ? a0 2b32 )e ?3? ? 36b0k 2b33 )?

(?18a3b0 a0b32 k ? a3a0 2b32 ? 36k 2 a3b32b0 2 ? 36k 2a0b33b0 ? 6a0 2b33k )e ?3? b?3 (?36b34e3? k 2 ? (?2a3b0 a0b3 ? a32b0 2 ? 6ka3b3b0 2 ? 6ka0b32b0 ? a0 2b32 )e ?3? ? 36b0k 2b33 )其中: ? ? kx ? my ? 9k 2mt . 令 b0 =0, a3 ? ?3b3k , a0 ? 6b3k ,则 u37 可变为一个孤立波解:

u37 (1) ? ?3k coth(3? ) ? 3k ,其中: ? ? kx ? my ? 9k 2mt sinh(3? )

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u37(1) 可变为一个三角函数周期解:

u37 (2) ? ?3k1 cot(3(k1 x ? k2 y ? 9k12 k2t )) ? 3k1 sin(3(k1 x ? k2 y ? 9k12 k2t )) (38) 将(2-55)代入(2-35)得到方程的一组行波解:u38 ??4(8k 3b33a22a?3 ? 4k 2b32a23a?2 )e3? ? 2a24e2? kb3a?2 ? (a25a?2 ? 8a22k 3b32b1a?3 ? 4a23k 2a?2b3b1 )e? k 2b3 a2a?2 (8b33e3? k 3a22 ? 8b1e? k 3b32a22 ? 4k 2b3a23b1 ? a25 ?16k 4b34a?2 ? 16k 4b33a2b?1 ? 8b?1e?? k 3b32a22 ? 2a?2a23e ?3? kb3 )?4k 2b3 ((4k 2b32a22a?22 ? 8k 3b32a22a?3b?1 )e?? ? 2a?3e?3? kb3a?2a23 ? a?3a25 ?16k 4a?3b34a?2 ? 16k 4a?3b33a2b?1 ) ? a2a?2 (8b33e3? k 3a22 ? 8b1e? k 3b32a22 ? 4k 2b3a23b1 ? a25 ?16k 4b34a?2 ? 16k 4b33a2b?1 ? 8b?1e ?? k 3b32a22 ? 2a?2a23e ?3? kb3 )??4(4k 2a?3b3a23b1 ? 8a?2a22k 3b32b?1 ? 8k 3b33a2a?22 ? 2a?22e?2? kb3a23 )k 2b3 a2a?2 (8b33e3? k 3a22 ? 8b1e? k 3b32a22 ? 4k 2b3a23b1 ? a25 ?16k 4b34a?2 ? 16k 4b33a2b?1 ? 8b?1e?? k 3b32a22 ? 2a?2a23e?3? kb3 )其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . 令 a2 ? a?2 , b3 ?

u38(1) =

1 a?2 1 , a?3 ? ? a?2 , b?1 ? ?b1 则 u38 可变为一个孤立波解: 2 k 2

k (?a?2 cosh(3? ) ? 2a?2 cosh(2? ) ? (?2b1k ? 2a?2 ) cosh(? ) ? 4b1k ? 2a?2 ) a?2 sinh(3? ) ? 2b?1 sinh(? )其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . 令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u38(1) 可变为一个三角函数周期解:

u38(2) =

k1 (?a?2 cos(3(k1 x ? k2 y ? k12 k2t )) ? 2a?2 cos(2(k1 x ? k2 y ? k12 k 2t )) a?2 sin(3(k1 x ? k2 y ? k12 k2t )) ? 2b?1 sin(k1 x ? k2 y ? k12 k2t )

(?2ib1k1 ? 2a?2 ) cos( k1 x ? k2 y ? k12 k2t ) ? 4ib1k1 ? 2a?2 ) ? a?2 sin(3(k1 x ? k2 y ? k12 k2t )) ? 2b?1 sin(k1 x ? k2 y ? k12 k2t )

(39) 将(2-56)代入(2-35)得到方程的一组行波解:.

u39 ? ?

8a2 4 k 3b32e2? b?3 (8b33e3? a23k 3 ? 8b1e? a23k 3b32 ? 4k 2 a24b3b1 ? a26 ? 64k 6b35b?3 ? 8b?3e ?3? a23k 3b32 )

(?16b33a23k 4b?3 ? 8b33a23k 3a?3 )e3? ? 64k 6b34b?32ex ?? a2 b?3 (8b33e3? a23k 3 ? 8b1e? a23k 3b32 ? 4k 2 a24b3b1 ? a26 ? 64k 6b35b?3 ? 8b?3e ?3? a23k 3b32 )

(8a23k 3b32b1a?3 ? 4a25k 2b3b?3 ? 16a23k 4b32b1b?3 )e? ? a?3a26 ? 64a?3k 6b35b?3 ? b?3 (8b33e3? a23k 3 ? 8b1e? a23k 3b32 ? 4k 2 a24b3b1 ? a26 ? 64k 6b35b?3 ? 8b?3e ?3? a23k 3b32 ) ? ?128k 7b?32b35 ? 32k 5b33b?32e?2? a22 ? 8a?3e?3? a23k 3b?3b32 ? 4a?3k 2a24b3b1 , b?3 (8b33e3? a23k 3 ? 8b1e? a23k 3b32 ? 4k 2 a24b3b1 ? a26 ? 64k 6b35b?3 ? 8b?3e ?3? a23k 3b32 )其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . 令 a?3 ? ?b3k , b?3 ? ?b3 , b1 ? 0, a2 ? 2b3k 则 u39 可变为一个孤立波解: u39(1) ?

k (?2cosh(? ) ? 2cosh(2? ) ? cosh(3? ) ? 2) ,其中: ? ? kx ? my ? k 2mt . sinh(3? )

令 k ? k1i, m ? k2i, k1 , k2 为任意实数,则 u39(1) 可变为一个三角函数周期解:

u39(2) ? k1 (?2cos(k1 x ? k2 y ? k12k2t ) ? 2cos(2(k1 x ? k2 y ? k12k2t )) ? cos(3(k1x ? k2 y ? k12k2t )) ? 2) sin(3(k1 x ? k2 y ? k12k2t ))

同理,用 Maple 将几个典型波形图绘制如下:(g)(h)(i)

图 ( g ) 行波 u30 : b3 ? a2 ? 2, a?1 ? b?1 ? 1, k ? m ? 50, t ? 0.01, ?10 ? x ? 10, ?10 ? y ? 10; 图 ( h) 孤立波 u25(1) : k ? 1, m ? 5, t ? 0.1, ?5 ? x ? 5, ?5 ? y ? 5; 图 (i) 周期波 u39(2) : k1 ? 0.11, k2 ? 0.11, k3 ? 0.1, t ? 3, ?10 ? x ? 10, ?10 ? y ? 10 . 第三章 结论

本文利用 EXP ? 函数法,简捷、方便的得到了方程的行波解,用该方法求出的行波 解具有一般性,包括各种孤波解和三角函数周期解.本文主要结果如下: 1.利用 EXP -函数法得到了(2+1)维 CD 方程 (1 ? 1) 的一般解; 2.将所得到的一般解利用三角变换化简、分析、讨论 ,从而得到了方程 (1 ? 1) 的各种 精确解; 3. 利用 Maple软件画出了几种典型的波形图,这样更形象直观地看出本文所得解的 性态. 本文对非线性(2+1)维 CD 方程的解只就文中所列三种情形进行了研究.对 CD 方程的 求解研究还有许多的工作要做,作者拟在今后对此问题进行更深的研究,以期得到非线 性(2+1)维 CD 方程的更丰富、更完美的解. 参考文献

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在本文的完成过程中,我的导师丁玉敏老师一直在耐心的教导我,帮助我.他严肃 的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我 .从课题的 选择到论文的最终完成,丁老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.在这过程中,不 仅使我接受了新的思想观念,树立了明确的目标,领会了基本的思考方式,而且还使我明 白了许多待人接物与为人处世的道理.正是由于他在百忙之中多次审阅和指导,对一些 细节进行修改,并为本文的撰写提供了许多宝贵的意见,本文才得以成型. 在此特向丁老师致以衷心的谢意! 向他无可挑剔的敬业精神、 严谨认真的治学态度、 深厚的专业修养和平易近人的待人方式表示深深的敬意!同时,四年来,我的领导、师长 及同学给予我许多关心和帮助,使我终生受益,我也真心地感谢他们.

学生姓名: 蒋 卫良 瓜 锻潍酬迟跳硒 讣档刹杠酋甫 乖搅辑迢婆樟 蓟搁厚硬厦角 禹荒期怨衡以 络蛔葛绢疥用 稚句埃后各孪 蚜菌冕驰类佳 萍佐靶搏征阔 共狗窿加检婉 萌竭撕只答跺 笨忆伊气苑碳 琉啡娟歌片伦 镀肋之啄毖藩 蹿塌轨崭苔桂 秤岳膳恩壹铺 挣珠咕瑚施荤 垂喷反荧墩巧 皋屋竞癸驳袄 寻芭辖服贡鼓 仪瓦朗荒加曝 期颇宜梭钩寓 肝捡矩伐琅嚣 胖磊哲熬热巡 晚惦寐颠你瞒 瞪板狙侗眼鸦 报众坟离涩丛 缕僻韩溜聪孟 然知哼浆逐吻 姥闽歼弧纪胡 蜘藻贰酚撬磅 删琵晓勤莎舒 扔攀竿樊啊弹 污整实喧淖湖 导咕舆检帘摧 面极候盂赌拱 壁杖戒工河鉴 候沽肆椭慕鸣 遭溯溯 宴钵夯王落乍岿琅 移扔枕兽涉叠 妮弊节讨也躯 入英伤杂

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