(2 1)维高阶Broer–Kaup方程组精确解和守恒律

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(2+1)维高阶Broer–Kaup方程组的精确解和守恒律

摘要:在这篇文章中, 我们应用经典李群分析方法得到(2+1)维Broer–Kaup (BK)方程的无穷维对称, 并给出了对称的一些性质, 进一步利用求出的对称约化原方程并求出其新的精确解, 最后利用对称求出Broer–Kaup (BK)方程的守恒律.

关键词: 经典李群方法; Broer–Kaup (BK)方程; 对称群; 精确解; 守恒律

1.引言

众所周知,寻找偏微分方程的精确解一直是数学和物理科学的核心问题. 在过去的几十年,已发展了大量的方法来处理这些偏微分方程的精确解, 尽管它是相当困难的.一些重要的方法如反散射变换[1],达布和被克隆变换[2],李对称分析[3],CK方法等等[4]. 众所周知,李群方法是一种强有力的和最直接的方式来建构的非线性微分方程的精确解.而且,基于李群方法,偏微分方程的许多类型的精确解可以被考虑,例如行波解,相似解,孤立波解,等等.

在这篇论文中, 我们通过利用经典李群方法来研究通过对Kadomtsev–Petviashvili(KP)方程的对称限制获得的(2+1)维高阶Broer–Kaup (BK)方程[5].

, (1a)

, (1b)

, (1c)

, (1d)

我们通过应用经典李群分析方法找到方程的李点对称, 研究了相应对称的性质, 并利用对称约化原方程得到一些新的精确解包括有相似解, 孤波解,周期解等, 最后并利用求得的对称求出BK方程的守恒律.

2.BK方程的李对称分析

为了找到方程(1)的对称群,我们考虑无穷维单参数李点变换群的标准代数式

, , ,

, , ,.

我们把方程(1)以符号形式重记, 且群变换对应的向量场可记为

. (2)

向量场(2)的三阶延拓为

.

, 可得到关于的决定方程组, 解这个决定方程组,可得方程(1)的李点对称

, (3)

其中分别是的任意函数.

向量场也可被写作

,

其中

,

, ,.

的交互关系可列出如下:

, , , ,

,

.

很容易看出构成一个Kac-Moody代数,尤其可扩张成一个八维可解李代数,其中

, , , ,.

现在我们利用以上的无穷维生成元来寻求单参数变换群, 在时, 我们考虑下面的变换群

, (4)

其中在时, ,解方程(4)我们可以得到下面的变换群

, , , , , , ,

其中是一个群参数, 当是方程(1)的一个解时,

, ,

,

也是方程(1)的一个解, 很显然, 以上的变换是无穷的. 用相似的方法我们可以获得大量的新解.

例如(1)的孤波解[6]

,

,

,

.

由他们我们可以得到(1)的新解

, (5a)

, (5b)

, (5c)

,

, (5d)

其中是常数 , , 是一个群参数.

3. BK方程的对称约化和新的精确解

为了获得方程(1)的对称约化, 我们不得不解下面的特征方程

. (6)

通过应用方程(6), 我们来寻求方程(1)的对称约化和精确解. 考虑下面的三种情况:

(1). (2)..

(3)..

Case (1)

我们有下面的不变量,对称约化向量为

. (7)

把(7)代入到方程(1)中, 我们有

解之可得, (8)

由(8)可得(1)的群不变解为

, (9)

其中是任意函数.

Case (2)

在这种情况下,方程(1)的群不变解为,解

. (10)

把(10)代入方程(1), 可得(1)的约化形式如下:

,

,

,. (11)

解(11)可得

, ,

, (12)

把(12)代入(10)可得(1)的解如下:

,

, ,

, (13)

其中的任意函数.

Case (3).

在这种情况下, 方程(1)的群不变解,和函数

, (14)

把(14)代入方程(1), 可得(1)的约化形式如下:

,

,

, . (15)

其中,可使(15)转化为

(16a)

(16b)

, (16c)

, (16d)

其中,是积分常数.

平衡(16)中最高阶线性项和最高阶导数项,可得

,

, ,

, (17)

其中满足

, (18)

是待定常数.把(17)和(18)代入(16)并令的系数等于零,可得

, ,, ,

, , , , , , ,.

所以可得(1)的解如下

,

,

,

,

,

,

,

.

其中是常数,.

时,

,

,

,

,

,

,

,

,

其中是常数,.

时,

, ,

, ,

其中是常数,.

3 .BK方程的守恒律

在这一部分,我们通过BK方程的共轭方程和对称来研究其守恒律,对于方程(1), 其共轭方程为

,

,

,

. (19)

三阶拉氏量为

.

定理:对于方程(1)的每一个李点对称都为方程(1)提供了一个相应的守恒律和共轭方程[7], 守恒向量的元素可以用下面的式子定义:

, (20)

其中.

我们考虑原方程(1)的对称,

,

在此种情况下,公式(23)提供的方程(1)的守恒方程中的守恒向量有下面的形式:

,

,

,

这个守恒向量里包含了共轭方程(19)的任意解,因此提供了一个无穷守恒律.假设,对此特殊情况我们可得(1)的守恒向量

,

,

.

注1.对于BK方程本文的约化和解都是新的, 对于其他的约化情况, 可以通过方程(6)来完成, 不过计算很复杂.

注2.由于是任意函数, 所以我们可以找到新旧解之间的无穷多个关系.

注3.我们已验证是(1)的守恒向量.

注4.本文中的对称用相容方法也可得到.

5. 结论

对于(2+1)维BK方程, 利用经典李群分析方法, 得到了它的对称群, 并给出对称群的性质. 利用得到的对称对原方程进行约化, 从而得到新解. 对称的另一个重要的作用就是求守恒律, 本文利用求得的对称给出了其相应的守恒律.

参考文献:

[1] C. Gardner et al, Method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1095.

[2] Y.S. Li, Soliton and integrable systems, in: Advanced Series in Nonlinear Science, Shanghai Scientific and Technological Education Publishing House, Shanghai, 1999 (in Chinese).

[3] P.J.Olver, Application of Lie Group to Differential Equations, Springer, Berlin (1986).

[4] P.A. Clarkson and M. D.Kruskal, J.Math.Phys.30(1989)2201; S.Y.Lou, Phys.Lett.A 151 (1990) 133.

[5] S.Y.Lou ,X.B.Wu. J. Math Phys38(1997)6401.

.D. Sheng, G. Feng, H.Q. Zhang, Solving the (2 + 1)-dimensional higher order Broer–Kaup system via a transformation and tanh-function method, Chaos, Solitons and Fractals 20 (2004) 1021.

[7] N.H. Ibragimov, A new conservation theorem, J. Math. Anal. Appl. 333 (2007) 311.

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