第七章1微分方程的基础概念

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第七章 微分方程已知 y? ? f (x), 求 y — 积分问题 推广已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题Southern Medical University第一节第十二章微分方程的基本概念几何问题 引例物理问题微分方程的基本概念Southern Medical University机动 目录 上页 下页 返回 结束引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:dy ? 2x①dxy x?1? 2②由①得(C为任意常数)由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y ? x2 ?1.Southern Medical University机动 目录 上页 下页 返回 结束引例2. 列车在平直路上以的速度行驶, 制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .已知s t?0 ? 0 ,由前一式两次积分, 可得 s ? ? 0.2 t 2 ? C1 t ? C2利用后两式可得因此所求运动规律为 s ? ? 0.2 t 2 ? 20 t说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停So住uthe,rn以Me及dica制l Un动ive后rsit行y 驶了多少路程 .机动 目录 上页 下页 返回 结束微分方程的基本概念含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)分类 偏微分方程方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.一般地 , n 阶常微分方程的形式是F (x, y, y?,?, y(n) ) ? 0或 y(n) ? f (x, y, y?,?, y(n?1) ) ( n 阶显式微分方程)Southern Medical University机动 目录 上页 下页 返回 结束微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方 程的阶数相同.特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件(或初值条件):y(x0 ) ? y0 , y?(x0 ) ? y0? , ?, y(n?1) (x0 ) ? y0(n?1)引例1 通解:dy dx?2xy x?1? 2引例2y ? x2 ? Cd2y dx2?? 0.4s t?0 ? 0 ,ds dtt?0 ? 20s ? ?0.2t 2 ? C1t ? C2特解: y ? x2 ?1s ? ?0.2t 2 ? 20tSouthern Medical University机动 目录 上页 下页 返回 结束例1. 验证函数(C1 , C2为常数 )是微分方程的解, 并求满足初始条件xt?0?A, dxdtt?0?0的特解 .解:? ?k 2 (C1 sin kt ? C2 cos kt ) 这说明 x ? C1 cos kt ? C2 sin kt 是方程的解 .是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.利用初始条件易得:故所求特解为x ? A cos k t Southern Medical University机动 目录 上页 下页 返回 结束例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法

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