华师版七年级上册数学5.2.1 平行线

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说薛姨妈是《红楼梦》中第一大反派,言重了。从整个大背景看,宁荣二府的总太上皇非老祖宗贾母莫属,宁府那边贾赦没正调玩炼丹成仙儿,全由贾珍当家,而这主又是一个彻头彻尾的淫棍,连自己儿媳妇儿都上,而她的背景又是那么特殊,注定宁府衰败。荣府贾政当家,书呆子一个纯属蠢才一枚。只是有个好宝贝女儿元春嫁了皇上。保(罩)住贾家一时繁荣。在这种大环境下,给诸多直系亲属带来荣华富贵,免受贫寒卑贱。林黛玉,贾母的亲外孙女,当然可以借光栖息亲舅舅家。薛姨妈及薛宝钗薛宝琴也因为是贾政的小姨子及女儿也可寄居。贾宝玉,荣府的未来继承人,首席大主子,谁要跟了他成了他老婆,意义之大不言而喻。那么,扣题的理由来了。薛姨妈当然要把

第5章七年级数学上(HS) 教学课件相交线与平行线5.2 平行线1.平行线导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学习目标1.理解平行线的定义; 2.掌握平行线的画法及平行于同一条直线的两直线平行. (重点、难点)导入新课回顾与思考 问题 前面我们一直学的两条直线怎样位置关系? 两条直线相交(其中垂直是相交的特殊情形) 生活中两条直线除了相交以外,我们还可以见到下面情况 的两条直线.讲授新课一 平行线的定义及表示如图,分别将木条a、b与木条c钉在一起,并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线.转动a,直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在右侧与b相交.想象一下,在这个过程中,有没有直线a与直线b不相交的位置呢?cacca abbb总结归纳 在木条转动过程中,存在一个直线a与直线b不相交的情形,这 时我们说直线a与b互相平行.记作“a∥b”. 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线. 注意:平行线的定义包含三层意思:(1)“在同一平面内”是前提条件;(2)“不相交”就是说两条直线没有交点;(3)平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段.平行线的表示法: 我们通常用“//”表示平行.AB·C·DAB ∥ CD 读作: “AB 平行于 CD”a∥bab读作: “ a平行于b ” 在同一平面内,两直线的位置关系有平行与相交两种.二 平行于同一条直线的两条直线平行平行线的画法: (1)放 (2)靠(3)推 (4)画(1)经过点C能画出几条直线? 无数条(2)与直线AB平行的直线有几条?无数条(3)经过点C能画出几条直线与直线AB平行?1条·Ca· · AB·Db结论:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.(4)过点D画一条直线与直线AB平行,与(3)中所画的直线平行吗? 平行总结归纳 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.平行线的传递性: 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.几何语言表达:acb∵a//c , c//b(已知) ? a//b(如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行)当堂练习1.下列说法正确的是( C) A.在同一平面内,不相交的两条射线是平行线; B.在同一平面内,不相交的两条线段是平行线; C.在同一平面内,两条直线的位置关系不相交就平行; D.不相交的两条直线是平行线2.下列推理正确的是( C )A.因为a // d,b // c,所以c // d B.因为a // c,b // d,所以c // d C.因为a // b,a // c,所以b // c D.因为a // b,c // d,所以a // c3.完成下列推理,并在括号内注明理由. (1)如图所示,因为AB // DE,B

常常听说中国有五大名窑,但中国五大名窑都有哪些并不是所有人都清楚。其实中国的五大名窑,即钧窑、汝窑、哥窑、官窑、定窑。这五大名窑所制作出的无论是茶器还是其他的器具都十分有观赏性。正是因为有了这中国五大名窑,才有了真正意义上的瓷器时代的到来。中国五大名窑之官窑官窑是宋代时候兴起的一个瓷窑。从官窑谈起是因为官窑所生产的窑器大多为宫廷皇室所用,因此这里所生产的窑器往往大多精致甚至体现出一种中国官僚主义的特点。比如官窑之下的御瓷窑,御瓷窑在按照皇室的规定在纹饰、瓷器的形状之上皆有严格的礼仪规定,等级森严。宋代时期的官窑瓷器尽管有着宫廷皇室作为主要对象,但其瓷器往往以素面为主,以素为高贵象征,尤其是青瓷

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华师大版 七年级数学 ,复习资料(知识点和题)

一、填空题(每小题2分,共26分)

1、│-7│= .

2、 的倒数是 .

3、0.519精确到百分位的近似值数为 .

4、计算:(-1)2006 = .

5、(-7.5)+6.9 = .

6、-5的相反数是 .

7、用科学计数法表示:457100 = .

8、在数轴上到表示1的点的距离等于3的点所表示的数是 .

9、已知m<0,则 .

10、如果x 2 = 4,那么x = .

11、比较大小:-3 -2.

12、若x = 4是方程ax-2x = 4的解,则a = .

13、已知: ,则 .

二、选择题(每小题3分,共15分)

14、下列近似数中,有四个有效数字的数是………………………( )

(A)0.0320 (B)0.0032 (C)0.3200 (D)0.0302

15、下列说法中,正确的是…………………………………………( )

(A) 正数和负数统称为有理数

(B) 互为相反数的两个数之和为零

(C) 如果两个数的绝对值相等,那么这两个数一定相等

(D) 0是最小的有理数

16、下列图中是数轴的是………………………………………………( )

17、足球比赛的计分规则为胜一场得3分;平一场得1分;负一 场得0分,

某队打14场,负5场,得19分,那么这个队胜……………( )

(A)3场 (B)4场 (C)5场 (D)6场

18、两个数之和为负,积为正。则这两个数是 ……………………( )

(A) 同为负数 (B)同为正数 (C)一正一负 (D)有一个是0

三、计算下列各题(每小题5分,共20分)

19、9+(-2)-10-(-8) 20、∣-48∣÷8-(-4)×

21、-2 4+(-75)÷(-5)2-(-4)×(-3)

22、

姓名 ,座号

四、解下列方程(每小题5分,共10分)

23、 24、

五、解答题(第25题、第27题8分,第26题5分,共21分)

25、有理数a、b在数轴上的对应点如图所示。

(1)在数轴上找出表示-a、-b两个数的点。

(2)试用“>”、“<”、“=”填空:

① a+b 0 ②│-a│ │-b│

(3)用“<”连接a,b,-a,-b,0。

26、观察下列各式:

1 3 =1 2

1 3+2 3 =3 2

1 3+2 3+3 3 = 6 2

1 3+2 3+3 3+4 3 = 10 2

…………………………

根据上述的规律,写出第7个算式:

27、股民小李上星期五买进某公司股票1000股,每股27元,下表为本周内每日该

股票的涨跌情况(单位:元).

星 期 一 二 三 四 五

每股涨跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6

(1)星期三收盘时,每股是 元;

(2)本周内每股最高价 元,最低价 元;

(3)已知小李买进股票时付了1.5‰的手续费,卖出时还要付成交额1.5‰的手续费

和1‰的交易税,若小李在星期五收盘时全部卖出股票,则他的盈亏情况如何?

六、列方程解应用题(8分)

28、某鱼场的甲仓库存鱼30吨,乙仓库存鱼40吨,现要再往这两个仓库运

送80吨鱼,使甲仓库的存鱼量为乙仓库存鱼量的1.5倍。应往甲仓库和乙仓库分

别运送多少吨鱼?

七年级数学知识点

第一章 走进数学世界

第二章 有理数

1.数轴:数轴三要素:原点,正方向和单位长度;数轴上的点与实数是一一对应的。

2.相反数实数a的相反数是-a;若a与b互为相反数,则有a+b=0,反之亦然;几何意义:在数轴上,表示相反数的两个点位于原点的两侧,并且到原点的距离相等。

3.倒数:若两个数的积等于1,则这两个数互为倒数。

4.绝对值:代数意义:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0;几何意义:一个数的绝对值,就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离.

5.科学记数法: ,其中 。 6.实数大小的比较:利用法则比较大小;利用数轴比较大小。

7.在实数范围内,加、减、乘、除、乘方运算都可以进行,但开方运算不一定能行,如负数不能开偶次方。实数的运算基础是有理数运算,有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算。正确的确定运算结果的符号和灵活的使用运算律是掌握好实数运算的关键。

第三章 整式的加减

一、整式的有关概念

1、单项式:数与字母乘积,这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。

2、单项式的系数:单项式中的数字因数。

3、单项式的次数:单项式中所有的字母的指数和。

4、多项式:几个单项式的和叫多项式。

5、多项式的项及次数:组成多项式中的单项式叫多项式的项,多项式中次数最高项的次数叫多项式的次数。特别注意,多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和!!!

6、整式:单项式与多项式统称整式。(分母含有字母的代数式不是整式)

二、整式的运算

(一)整式的加减法 基本步骤:去括号,合并同类项。

(二)整式的乘法

1、同底数的幂相乘 法则:同底数的幂相乘,底数不变,指数相加。 数学符号表示:___ (其中m、n为正整数)

2、幂的乘方 法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。 数学符号表示:_______ (其中m、n为正整数)

3、积的乘方 法则:积的乘方,先把积中各因式分别乘方,再把所得的幂相乘。(即等于积中各因式乘方的积。数学符号表示:_______ (其中n为正整数)

4、同底数的幂相除 法则:同底数的幂相除,底数不变,指数相减。 数学符号表示:___ (其中m、n为正整数)

5、单项式乘以单项式 法则:单项式乘以单项式,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余的字母则连同它的指数不变,作为积的一个因式。

6、单项式乘以多项式 法则:单项式乘以多项式,就是根据分配律用单项式的去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。

7、多项式乘以多项式 法则:多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。

8、平方差公式 法则: 两数的各乘以这两数的差,等于这两数的平方差。 数学符号表示:_____ (其中a、b既可以是数,也可以是代数式) 说明:平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的,它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。

9、完全平方公式 法则:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和再加上(或减去)这两数积的2倍。

数学符号表示: ______

(二)整式的除法

1、单项式除以单项式 法则:单项式除以单项式,把它们的系数、相同字母的幂分别相除后,作为商的一个因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、多项式除以单项式 法则:多项式除以单项式,就是多项式的每一项去除以单项式,再把所得的商相加。

第四章 图形初步认识

1.点、线、面:通过丰富的实例,进一步认识点、线、面(如交通图上用点表示城市,屏幕上的画面是由点组成的)。2.角 ①通过丰富的实例,进一步认识角。②会比较角的大小,能估计一个角的大小,会计算角度的和与差,识别度分、秒,会进行简单换算。 ③了解角平分线及其性质。

相交线和平行线

一、基本概念

1. 直线:(1)直线是向__________无限延伸的,直线没有端点。(2)经过两点有且只有一条__________。

2.射线:直线上一点和它一旁的部分叫做__________,这个点叫做射线的端点,射线只有一个端点。

2. 线段:(1)直线上两点之间的部分叫做__________,__________有两个端点.(2)两点之间,__________最短。

(3)把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的__________。

4.垂线;当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是__________时,叫做两条直线互相垂直;其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做__________。

5、垂线的性质:(1)经过一点,有且只有___条直线和已知直线垂直;(2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,__最短。

6.两点间的距离:连结__________的线段的长度。

7.点到直线的距离:从直线外一点到__________的垂线段的长度。

8.两条平行线间的距离:两条平行线中一条直线上__________到另一条直线的距离。

9、角:有公共端,点的两条__________组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点,这两条_____叫做角的边。

10、角平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成两个__________的角的射线,叫做角平分线。

11.平角、周角:射线绕端点旋转,当终止位置和起始位置成__________时,所成的角叫做平角;继续旋转回到__________位置时,所成的角叫做周角。

12、角的度量:1周角=__平角=___直角=360°, 1°=___’ , 1’=___”

13.小于平角的角的分类:__________角、__________角、__________角。

14.互为余角、补角:如果两个角的和是_,这两个角叫做互为余角;如果两个角的和是_,这两个角叫做互为补角。

15.相关角的性质:(1)对顶角______(2)同角或等角的余角_____;(3)同角或等角的补角_______。

二、相交线和平行线

1.平行线:在同一平面内,__________的两条直线叫做平行线。

2.在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:__________。相交时,对顶角相等。

3.平行线的判定:(1)同位角___,两直线平行。(2)内错角相等,两直线_____。

(3)同旁内角__________,两直线平行。(4)平行(或垂直)于同一直线的两直线__________。

4、平行线的性质:(1)经过直线外一点,有且只有____条直线与这条直线平行。

(2)两直线平行,同位角_______。(3)两直线平行,内错角__________。

(4)两直线平行,同旁内角_.(5)一条直线和两条平行线中的一条垂直(或平行),这条直线也和_垂直(或平行).

(6)平行线间的距离处处__________。(7)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分__________。

三、平行线分线段成比例

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也____。

2、平行线等分线段定理的推论:(1)经过梯形一腰的中点与底_____的直线,必平分另一腰。(2)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分__________。

3.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成_________。

4.平行线分线段成比例定理的推论:__于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。5.定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段比例,那么这条直线_于三角形的第三边。

第五章 数据的收集与表达

 学习如何去收集数据、整理数据、分析数据并最后得到相应的结论;另外,我们还必须掌握有关频数、频率等知识点。

明确调查问题————数据的用途;

确定调查对象————数据收集的范围;

选择调查方法————收集数据所采用的方法;

展开调查——————数据收集;

记录结果——————数据整理;

得出结论——————数据分析;

 概括:频数表示每个对象出现的次数;

频率表示每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)

频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁程度。

 学会用统计来直观来表示数据,并从统计图中发现数据间的联系。学会用计算机画出统计图。

第六章 一元一次方程

1.会对方程进行适当的变形解一元一次方程:解方程的基本思想就是转化,即对方程进行变形,变形时要注意两点,一时方程两边不能乘以(或除以)含有未知数的整式,否则所得方程与原方程的解可能不同;二是去分母时,不要漏乘没有分母的项,一元一次方程是学习二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式及函数问题的基本内容。

2.正确理解方程解的定义,并能应用等式性质巧解考题:方程的解应理解为,把它代入原方程是适合的,其方法就是把方程的解代入原方程,使问题得到了转化。

3.理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况,并能进行简单应用:(1)a≠0时,方程有唯一解x= ;

(2)a=0,b=0时,方程有无数个解; (3)a=0,b≠0时,方程无解。

4.正确列一元一次方程解应用题:列方程解应用题,关键是寻找题中的等量关系,可采用图示、列表等方法,根据近几年的考试题目分析,要多关注社会热点,密切联系实际,多收集和处理信息,解应用题时还要注意检查结果是否符合实际意义。

5.几种常见的问题:和差倍分问题、等机变形问题、劳力调配问题、比例分配问题、数字问题、工程问题。

第七章 二元一次方程组

1.二元一次方程(组)及解的应用:注意:方程(组)的解适合于方程,任何一个二元一次方程都有无数个解,有时考查其整数解的情况,还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。

2.解二元一次方程组:解方程组的基本思想是消元,常用方法是代入消元和加减消元,转化思想和整体思想也是本章考查重点。

会用代入消元法解含有未知数系数为1的二元一次方程组。会运用代入法解未知数系数都不是1的二元一次方程组。会用加减法求未知数系数相等或互为相反数的二元一次方程组的解。学会使用方程变形,再用加减消元法解二元一次方程组。灵活运用代入消元法、加减消元法解题。

3.二元一次方程组的应用:列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系,题目内容往往与生活实际相贴近,与社会关系的热点问题相联系,请平时注意搜集、观察与分析。

第八章 一元一次不等式

1.判断不等式是否成立:关键是分析判定不等号的变化,变化的依据是不等式的性质,特别注意的是,不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,要改变不等号方向;反之,若不等式的不等号方向发生改变,则说明不等式两边同乘以(或除以)了一个负数。因此,在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的范围时,要认真观察不等式的形式与不等号方向。

2.解一元一次不等式(组):解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同,应注意的是,不等式两边所乘以(或除以)的数的正负,并根据不同情况灵活运用其性质。一元一次不等式(组)常与分式、根式、一元二次方程、函数等知识相联系,解决综合性问题

3.求不等式(组)的特殊解:不等式(组)的解往往是有无数多个,但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解、非负整数解,要求这些特殊解,首先是确定不等式(组)的解集, 然后再找到相应的答案。注意应用数形结合思想。

4.列不等式(组)解应用题:注意分析题目中的不等量关系,考查的热点是与实际生活密切相联的不等式(组)应用题。

第九章 多边形

1. 多边形:一般来说,多边形是由一些线段依次首尾相连围成的封闭图形。我们通常根据多边形的边数将它们分为三角形、四边形、五边形……

2. n边形:由n条线段依次首尾相接围成的封闭图形叫做叫做n边形(n为大于或等于3的整数)。

3. 多边形的分割:从一个多边形的某一个顶点出发,分别连接这个顶点与其他各顶点,可以把这个多边形分割成若干个三角形。

4. 从n边形的一个顶点出发有(n-3)条对角线,把n边形分成(n-2)个三角形。一个n边形共有n个顶点,n条边,n(n-3)÷2 条对角线。

5. 圆:一条线段绕着它的一端旋转一周形成的图形叫做圆。

6. 圆上两点之间的线段叫做弧,由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

7. 圆可以分成若干个扇形。

8. 圆上两点(连接两点的线段不是直径)将圆分成两个部分,一部分大于半圆,一部分小于半圆,因此圆上的两点分圆成两条弧,每条弧都对应一个扇形。

⒐了解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线),会画出任意三角形的角平分线、中线和高.了解三角形的稳定性。三角形两边之和大于第三边。②探索并掌握三角形中位线的性质。

⒑重点: 1.四边形的基本概念:

(1)四边形:平面内,四条线段首尾顺次相接,如果任何两条线段都不在同一直线上,所形成的图形叫做四边形.

(2)各部分名称: 边:组成四边形各边的线段 顶点:相邻两边的公共点 内角:从四边形内部看相邻两边所成的角,简称为角. 对角线:连结四边形不相邻的两个顶点的线段. 外角:四边形的一条边与

第十章 轴对称

 轴对称与轴对称图形是不同的概念:“轴对称”是指两个图形之间的形状与位置关系 “轴对称图形”是指一个图形的形状。

 定义:有两边相等的三角形是等腰三角形

 等腰三角形的性质:

等腰三角形的两个底角相等。 (简写成“等边对等角”)

等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合(简写成“三线合一”)

等腰三角形的两底角的平分线相等。(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)

等腰三角形的底边上到两条腰的距离相等

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

 等腰三角形的判定: 有两个角相等的三角形是等腰三角形

 三角形的一些性质:

1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。

2.三角形内角和等于180度

3.等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一。

图形的轴对称是中考题的新题型,热点题型。分值一般为3-4分,题型以填空,选择,作图为主,偶尔也会出现解答题。

考察内容:①轴对称和轴对称图形的性质判别。②注意镜面对称与实际问题的解决。 突破方法: ①熟练掌握图形的对称基本性质和基本作图法。②结合具体的问题大胆尝试,动手操作,探究发现其内在的规律。③注重对网格内和坐标内的图形的变换试题的研究,熟练掌握其常用的解题方法。④关注图形与变换创新题,弄清其本质,掌握基本解题方法,如动手操作法,折叠法,旋转法。

第十一章 体验不确定现象

1、 必然事件:在每次实验中一定发生的事件,发生的机会是100%。

2、 不可能事件:在每次实验中一定不发生的事件,发生的机会是0。

(必然事件与不可能事件统称为确定事件)

3、 不确定事件(随机事件):无法确定在一次试验中会不会发生的事件,发生

的机会是0~1之间的数。

4、 “不太可能”不等于“不可能”,可能性小并不意味着一定不会发生。

5.机会:不确定事件或随机事件经过多次试验使之趋于稳定时状态,就是这个事件的成功率我们以后把这种成功率表示一随机事件发生的可能性,即机会。

6.机会的均等与不等:不确定事件成功与失败的机会各占一半即0.50时,我们称这不确定事件的机会均等,否则就是机会不等。

7、 不确定现象发生的机会的估计。

(1) 实验法:通过大量重复实验来估计。

(2) 分析法:从实验结果的所有可能情况来确定。

8、 不确定事件在大量重复实验中事件发生频率的稳定性。

7、 实验必须在相同条件下进行,实验次数越多,得到的机会估计值就越好。

8、 实验是估计机会大小的一种方法。

华师版初中数学书公式

抛物线:y = ax *+ bx + c

就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c

a > 0时开口向上

a < 0时开口向下

c = 0时抛物线经过原点

b = 0时抛物线对称轴为y轴

还有顶点式y = a(x+h)* + k

就是y等于a乘以(x+h)的平方+k

-h是顶点坐标的x

k是顶点坐标的y

一般用于求最大值与最小值

抛物线标准方程:y^2=2px

它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2

由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

圆:体积=4/3(pi)(r^3)

面积=(pi)(r^2)

周长=2(pi)r

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0

(一)椭圆周长计算公式

椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b)

椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

(二)椭圆面积计算公式

椭圆面积公式: S=πab

椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体,公式为用。

椭圆形物体 体积计算公式椭圆 的 长半径*短半径*PAI*高

三角函数:

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

四倍角公式:

sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

五倍角公式:

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)

六倍角公式:

sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))

cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))

tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)

七倍角公式:

sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))

cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)

八倍角公式:

sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))

cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)

tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)

九倍角公式:

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))

tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)

十倍角公式:

sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))

cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))

tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)

·万能公式:

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注:韦达定理

判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根

b2-4ac>0 注:方程有一个实根

b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根

公式分类 公式表达式

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长

柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

图形周长 面积 体积公式

长方形的周长=(长+宽)×2

正方形的周长=边长×4

长方形的面积=长×宽

正方形的面积=边长×边长

三角形的面积

已知三角形底a,高h,则S=ah/2

已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S= √[p(p - a)(p - b)(p - c)] (海*式)(p=(a+b+c)/2)

和:(a+b+c)*(a+b-c)*1/4

已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=absinC/2

设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r

则三角形面积=(a+b+c)r/2

设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为r

则三角形面积=abc/4r

已知三角形三边a、b、c,则S= √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶)

| a b 1 |

S△=1/2 * | c d 1 |

| e f 1 |

【| a b 1 |

| c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC

| e f 1 |

选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小!】

秦九韶三角形中线面积公式:

S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3

其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.

平行四边形的面积=底×高

梯形的面积=(上底+下底)×高÷2

直径=半径×2 半径=直径÷2

圆的周长=圆周率×直径=

圆周率×半径×2

圆的面积=圆周率×半径×半径

长方体的表面积=

(长×宽+长×高+宽×高)×2

长方体的体积 =长×宽×高

正方体的表面积=棱长×棱长×6

正方体的体积=棱长×棱长×棱长

圆柱的侧面积=底面圆的周长×高

圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积

圆柱的体积=底面积×高

圆锥的体积=底面积×高÷3

长方体(正方体、圆柱体)

的体积=底面积×高

平面图形

名称 符号 周长C和面积S

正方形 a—边长 C=4a

S=a2

长方形 a和b-边长 C=2(a+b)

S=ab

三角形 a,b,c-三边长

h-a边上的高

s-周长的一半

A,B,C-内角

其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2

=ab/2?sinC

=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2

=a2sinBsinC/(2sinA)

1 过两点有且只有一条直线

2 两点之间线段最短

3 同角或等角的补角相等

4 同角或等角的余角相等

5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短

7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行

8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行

9 同位角相等,两直线平行

10 内错角相等,两直线平行

11 同旁内角互补,两直线平行

12两直线平行,同位角相等

13 两直线平行,内错角相等

14 两直线平行,同旁内角互补

15 定理 三角形两边的和大于第三边

16 推论 三角形两边的差小于第三边

17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°

18 推论1 直角三角形的两个锐角互余

19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21 全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等

26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上

29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)

31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°

34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半

38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形

43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上

45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2

47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形

48定理 四边形的内角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°

51推论 任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等

54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2 矩形的对角线相等

62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半,即s=(a×b)÷2

67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等

70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角

71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分

73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等

79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰

80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边

81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半

82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 l=(a+b)÷2 s=l×h

83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d

84 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b

86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例

87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例

88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边

89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似

91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(asa)

92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(sas)

94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(sss)

95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似

96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比

98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方

99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等

115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所 对的弦是直径

119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角

121①直线l和⊙o相交 d<r

②直线l和⊙o相切 d=r

③直线l和⊙o相离 d>r

122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等

131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上

135①两圆外离 d>r+r ②两圆外切 d=r+r

③两圆相交 r-r<d<r+r(r>r)

④两圆内切 d=r-r(r>r) ⑤两圆内含d<r-r(r>r)

136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理 把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆

139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长

142正三角形面积√3a/4 a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为

360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

144弧长计算公式:l=nπr/180

145扇形面积公式:s扇形=nπr2/360=lr/2

146内公切线长= d-(r-r) 外公切线长= d-(r+r)

147等腰三角形的两个底脚相等

148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合

149如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等

150三条边都相等的三角形叫做等边三角形

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