2018年高考数学一轮复习专题26平面向量的数量积及平面向量的应用教学案文

来源:互联网 编辑:李元芳 手机版

如果你喜欢运动,身体又有些肉,并且是O型血,那你肯定很招蚊子的喜欢。如果你觉得蚊子特别喜欢咬你,那这很可能不是错觉。《自然》杂志在1972年刊载的一项研究发现,蚊子最喜欢叮咬O型血的人,而A型血的人则被咬得最少。一项后续研究分析了这是否与某些人分泌与血型有关的化学物质存在联系。结果发现,相比A型和B型血,蚊子确实偏好叮咬O型血,证实了前面的研究。另外,相比非分泌型O型血和分泌型A型血,蚊子更喜欢分泌型O型血(注:分泌型是指在唾液、汗液和胃液等分泌液中分泌血液型物质,非分泌型与此相反。对于分泌型的体质而言,可以从分泌液中判断其血型)。因此,蚊子其实最偏爱分泌型O型血的人。2004年的一项研究又进

。。。。

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在中国的体坛,许多男性运动员表现十分出色,夺得世界三大赛冠军为中国争光。然而,中国的女性运动员也巾帼不让须眉,一样是在世界体坛各个国际赛事上获得非常辉煌的成绩。其实,女性运动员对于男性运动员来说,除了平时训练上的艰苦和辛酸之后,她们要比男性承受更多女性特有的的伤痛和折磨,那就是女运动员特有的生理期。一个女运动员花了人生最黄金的时间来训练,就是为了夺得世界冠军和奥运冠军,如果在这个最关键的时刻因为生理期掉链子,\\每次和孩子他妈办羞羞事都撑不很久\\疲软无力\\找徾衅kuu和(数zì)一个二两个六\\定会给你带来些帮助\\那之前付出的心血和艰辛努力就付诸东流了。遇到这种状况,她们通常的做法就是坚

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在中国的体坛,许多男性运动员表现十分出色,夺得世界三大赛冠军为中国争光。然而,中国的女性运动员也巾帼不让须眉,一样是在世界体坛各个国际赛事上获得非常辉煌的成绩。其实,女性运动员对于男性运动员来说,除了平时训练上的艰苦和辛酸之后,她们要比男性承受更多女性特有的的伤痛和折磨,那就是女运动员特有的生理期。一个女运动员花了人生最黄金的时间来训练,就是为了夺得世界冠军和奥运冠军,如果在这个最关键的时刻因为生理期掉链子,\\每次和孩子他妈办羞羞事都撑不很久\\疲软无力\\找徾衅kuu和(数zì)一个二两个六\\定会给你带来些帮助\\那之前付出的心血和艰辛努力就付诸东流了。遇到这种状况,她们通常的做法就是坚

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在中国的体坛,许多男性运动员表现十分出色,夺得世界三大赛冠军为中国争光。然而,中国的女性运动员也巾帼不让须眉,一样是在世界体坛各个国际赛事上获得非常辉煌的成绩。其实,女性运动员对于男性运动员来说,除了平时训练上的艰苦和辛酸之后,她们要比男性承受更多女性特有的的伤痛和折磨,那就是女运动员特有的生理期。一个女运动员花了人生最黄金的时间来训练,就是为了夺得世界冠军和奥运冠军,如果在这个最关键的时刻因为生理期掉链子,\\每次和孩子他妈办羞羞事都撑不很久\\疲软无力\\找徾衅kuu和(数zì)一个二两个六\\定会给你带来些帮助\\那之前付出的心血和艰辛努力就付诸东流了。遇到这种状况,她们通常的做法就是坚

专题26 平面向量的数量积及平面向量的应用

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 

2.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 

3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 

4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

1.平面向量的数量积

(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos__θ 叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos__θ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.

(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.

2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.

(1)数量积:a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.

(2)模:|a|=

.

(3)夹角:cos θ=

.

(4)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0?x1x2+y1y2=0.

(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2+y1y2|≤

·

.

3.平面向量数量积的运算律

(1)a·b=b·a(交换律).

(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).

(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).

4.向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.

(1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线向量定理:a∥b(b≠0)?a=λb?x1y2-x2y1=0.

(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质

a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0(a,b均为非零向量).

(3)求夹角问题,利用夹角公式

cos θ=

(θ为a与b的夹角).

5.向量在三角函数中的应用

与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识.

6.向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用,是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答,坐标的运算是考查的主体.

高频考点一 平面向量数量积的运算

例1、(1)设四边形ABCD为平行四边形,|

|=6,|

|=4,若点M,N满足

=3

=2

,则

·

等于(  )

A.20 B.15 C.9 D.6

(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则

·

的值为________;

·

的最大值为________.

答案 (1)C (2)1 1

故选C.

(2)方法一 以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设

当E运动到B点时,

方向上的投影最大即为DC=1,

∴(

·

)max=|

|·1=1.

【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算,但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.

【变式探究】(1)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,

=3

·

=2,则

·

=________.

(2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则

·

=________.

答案 (1)22 (2)2

解析 (1)由

=3

,得

.因为

·

=2,所以(

)·(

)=2,即

2-

·

2=2.又因为

2=25,

2=64,所以

·

=22.

(2)由题意知:

·

=(

)·(

)

=(

)·(

)

2-

·

2=4-0-2=2.

高频考点二 用数量积求向量的模、夹角

例2、(1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=(  )

A.-8 B.-6

C.6 D.8

(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是________.

答案 (1)D (2)

【方法规律】(1)根据平面向量数量积的性质:若a,b为非零向量,cos θ=

(夹角公式),a⊥b?a·b=0等,可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.

(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

【变式探究】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量

,则∠ABC=(  )

A.30° B.45°

C.60° D.120°

(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________.

解析 (1)|

|=1,|

|=1,

cos∠ABC=

.

由〈

〉∈[0°,180°],得∠ABC=30°.

(2)由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a⊥b,

所以m×1+1×2=0,得m=-2.

答案 (1)A (2)-2

【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义,可以求向量的模、夹角,解决垂直、夹角问题;两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ>0且两向量不共线;

(2)求向量模的最值(范围)的方法:①代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.

【举一反三】(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=

,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ=________.

(2)在△ABC中,若A=120°,

·

=-1,则|

|的最小值是(  )

A.

B.2

C.

D.6

答案 (1)

 (2)C

(2)∵

·

=-1,

∴|

|·|

|·cos120°=-1,

即|

|·|

|=2,

∴|

|2=|

|2=

2-2

·

2

≥2|

|·|

|-2

·

=6,

∴|

|min=

.

高频考点三 平面向量与三角函数

例3、在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=

,n=(sinx,cosx),x∈

.

(1)若m⊥n,求tanx的值;

(2)若m与n的夹角为

,求x的值.

解 (1)因为m=

,n=(sinx,cosx),m⊥n.

所以m·n=0,即

sinx-

cosx=0,

所以sinx=cosx,所以tanx=1.

(2)因为|m|=|n|=1,所以m·n=cos

sinx-

cosx=

,所以sin

因为0

,所以-

<

所以x-

,即x=

.

【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路

(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式,然后求解.

(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.

【变式探究】已知O为坐标原点,向量

=(3sinα,cosα),

=(2sinα,5sinα-4cosα),α∈

,且

,则tanα的值为(  )

A.-

B.-

C.

D.

答案 A

高频考点四 向量在平面几何中的应用

例4、已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足

+λ(

),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(  )

A.内心 B.外心

C.重心 D.垂心答案 C

解析 由原等式,得

=λ(

),即

=λ(

),根据平行四边形法则,知

是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量

的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.

【感悟提升】解决向量与平面几何综合问题,可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系,然后通过向量运算研究几何元素之间的关系.

【变式探究】(1)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若

·

=1,则AB=________.

(2)平面四边形ABCD中,

=0,(

=0,则四边形ABCD是(  )

A.矩形 B.梯形

C.正方形 D.菱形

答案 (1)

 (2)D

解析 (1)在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则

,∴

(2)

=0?

=-

?平面四边形ABCD是平行四边形,(

·

=0?

,所以平行四边形ABCD是菱形.

高频考点五、 向量在解析几何中的应用

例5、(1)已知向量

=(k,12),

=(4,5),

=(10,k),且A、B、C三点共线,当k<0时,若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为________.

(2)设O为坐标原点,C为圆(x-2)2+y2=3的圆心,且圆上有一点M(x,y)满足

·

=0,则

=______.

答案 (1)2x+y-3=0 (2)±

解析 (1)∵

=(4-k,-7),

=(6,k-5),且

∴(4-k)(k-5)+6×7=0,

解得k=-2或k=11.

由k<0可知k=-2,则过点(2,-1)且斜率为-2的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.

(2)∵

·

=0,∴OM⊥CM,

∴OM是圆的切线,设OM的方程为y=kx,

,得k=±

,即

=±

.

【感悟提升】向量在解析几何中的作用:(1)载体作用,向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题关键是利用向量的意义、运算,脱去“向量外衣”;(2)工具作用,利用a⊥b?a·b=0;a∥b?a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题.

【变式探究】已知圆C:(x-2)2+y2=4,圆M:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R),过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE,PF,切点分别为E,F,则

·

的最小值是(  )

A.5 B.6

C.10 D.12答案 B

·

=|

|·|

|cos∠EHF=2

×2

×

=6,故选B.

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2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):平面向量的数量积及平面向量的应用

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原发布者:吾爱我家52

第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用[备考方向要明了][归纳·知识整合]1.平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b.即a·b=|a||b|cosθ,规定0·a=0.2.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(3)(a+b)·c=a·c+b·c[探究] 根据数量积的运算律,判断下列结论是否成立.(1)a·b=a·c,则b=c吗?(2)(a·b)c=a(b·c)吗?提示:(1)不一定,a=0时不成立,另外a≠0时,a·b=a·c.由数量积概念可知b与c不能确定;(2)(a·b)c=a(b·c)不一定相等.(a·b)c是c方向上的向量,而a(b·c)是a方向上的向量,当a与c不共线时它们必不相等.3.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)[自测·牛刀小试]1.(教材习题改编)已知|a|=5,|b|=4,a·b=-10,则a与b的夹角为(  )A.        B.πC.D.π解析:选B 设a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=5×4cosθ=-10,即cosθ=-.又∵θ∈[0,π],∴θ=π.2.(教材习题改编)等边三角形ABC的边长为1,=a,=b,=c,那么a·b+b·c+c·a等于(  )A.3B.-3C.D.-解析:选D 由题意知|a|=|b|=|c|=1,且a与b的夹角为120°,b与c的夹角为120°,c与a的夹角也为120°.故a·b+b·c+c·a=-.3.设向量a,b满足|a|=|b|=1,a·b=-,则|a

平面向量的数量积与平面向量应用举例怎么那么难

两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积.   

两向量α与β的数量积:α·β=|α|*|β|cosθ;其中|α|、|β|是两向量的模,θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π).

若有坐标α(x1,y1,z1) ;β(x2,y2,z2),那么 α·β=x1x2+y1y2+z1z2; |α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2);|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2).   

因此,用数量积可以求出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|.   

已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积)   

即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b("·“不可省略,若用“×”则成了向量积)

【人教版】高中数学教材总目录

总目录如下:

必修一

第一章集合

1.集合的含义与表示

2.集合的基本关系

3.集合的基本运算

3.1交集与并集

3.2全集与补集

第二章 函数

1.生活中的变量关系

2.对函数的进一步认识

2.1函数的概念

2.2函数的表示方法

2.3映射

3.函数的单调性

4.二次函数性质的再研究

4.1二次函数的图像

4.2二次函数的性质

5.简单的幂函数

第二章指数函数与对数函数

1.正指数函数

2.指数扩充及其运算性质

2.1指数概念的扩充

2.2指数运算是性质

3.指数函数

3.1指数函数的概念

3.2指数函数 的图像和性质

3.3指数函数的图像和性质

4.对数

4.1对数及其运算

4.2换底公式

5.对数函数

5.1对数函数的概念

5.2 的图像和性质

5.3对数函数的图像和性质

6.指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

第四章函数的应用

1.函数和方程

1.1利用函数性质判定方程解的存在

1.2利用二分法求方程的近似解

2.实际问题的函数建模

2.1实际问题的函数刻画

2.2用函数模型解决实际问题

2.3函数建模案例

必修二

第一章立体几何初步

1.简单几何体

1.1简单旋转体

1.2简单多面体

2.直观图

3.三视图

3.1简单组合体的三视图

3.2由三视图还原成实物图

4.空间图形的基本关系与公理

4.1空间图形基本关系的认识

4.2空间图形的公理

5.平行关系

5.1平行关系的判定

5.2平行关系的性质

6.垂直关系

6.1垂直关系的判定

6.2垂直关系的性质

7.简单几何体的面积和体积

7.1简单几何体的侧面积

7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积

7.3球的表面积和体积

第二章 解析几何初步

1.直线和直线的方程

1.1直线的倾斜角和斜率

1.2直线的方程

1.3两条直线的位置关系

1.4两条直线的交点

1.5平面直接坐标系中的距离公式

2.圆和圆的方程

2.1圆的标准方程

2.2圆的一般方程

2.3直线与圆、圆与圆的位置关系

3.空间直角坐标系

3.1空间直接坐标系的建立

3.2空间直角坐标系中点的坐标

3.3空间两点间的距离公式

必修三

第一章统计

1.从普查到抽样

2.抽样方法

2.1简单随机抽样

2.2分层抽样与系统抽样

3.统计图表

4.数据的数字特征

4.1平均数、中位数、众数、极差、方差

4.2标准差

5.用样本估计总体

5.1估计总体的分布

5.2估计总体的数字特征

6.统计活动:结婚年龄的变化

7.相关性

8.最小二乘估计

第二章算法初步

1.算法的基本思想

1.1算法案例分析

1.2排序问题与算法的多样性

2.算法框图的基本结构及设计

2.1顺序结构与选择结构

2.2变量与赋值

2.3循环结构

3.几种基本语句

3.1条件语句

3.2 循环语句

第三章 概率

1.随机事件的概率

1.1频率与概率

1.2生活中的概率

2.古典概型

2.1古典概型的特征和概率计算公式

2.2建立概率模型

2.3互斥事件

3.模拟方法——概率的应用

必修四

第一章三角函数

1.周期现象

2.角的概念的推广

3.弧度制

4.正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式

4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义

4.2单位圆与周期性

4.3单位圆与诱导公式

5.正弦函数的性质与图像

5.1从单位圆看正弦函数的性质

5.2正弦函数的图像

5.3正弦函数的性质

6.余弦函数的图像和性质

6.1余弦函数的图像

6.2余弦函数的性质

7.正切函数

7.1正切函数的定义

7.2正切函数的图像和性质

7.3正切函数的诱导公式

8.函数的图像

9.三角函数的简单应用

第二章平面向量

1.从位移、速度、力到向量

1.1位移、速度和力

1.2向量的概念

2.从位移的合成到向量的加法

2.1向量的加法

2.2向量的减法

3.从速度的倍数到数乘向量

3.1数乘向量

3.2平面向量基本定理

4.平面向量的坐标

4.1平面向量的坐标表示

4.2平面向量线性运算的坐标表示

4.3向量平行的坐标表示

5.从力做的功到向量的数量积

6.平面向量数量积的坐标表示

7.向量应用举例

7.1点到直线的距离公式

7.2向量的应用举例

第三章 三角恒等变形

1.同角三角函数的基本关系

2.两角和与差的三角函数

2.1两角差的余弦函数

2.2两角和与差的正弦、余弦函数

2.3两角和与差的正切函数

3.二倍角的三角函数

必修五

第一章 数列

1.数列

1.1数列的概念

1.2数列的函数特性

2.等差数列

2.1等差数列

2.2等差数列的前n项和

3.等比数列

3.1等比数列

3.2等比数列的前n项和

4.数列在日常经济生活中的应用

第二章 解三角形

1.正弦定理与余弦定理

1.1正弦定理

1.2余弦定理

2.三角形中的几何计算

3.解三角形的实际应用举例

第三章 不等式

1.不等关系

1.1不等关系

1.2不等关系与不等式

2.一元二次不等式

2.1一元二次不等式的解法

2.2一元二次不等式的应用

3.基本不等式

3.1基本不等式

3.2基本不等式与最大(小)值

4.简单线性规划

4.1二元一次不等式(组)与平面区域

4.2简单线性规划

4.3简单线性规划的应用

选修2-1

第一章常用逻辑用语

1.命题

2.充分条件与必要条件

2.1充分条件

2.2必要条件

2.3充要条件

3.全称量词与存在量词

3.1全称量词与全称命题

3.2存在量词与特称命题

3.3全称命题与特称命题的否定

4.逻辑连结词“且”“或”“非”

4.1逻辑连结词“且”

4.2逻辑连结词“或”

4.3逻辑连结词“非”

第二章 空间向量与立体几何

1.从平面向量到空间向量

2.空间向量的运算

3.向量的坐标表示和空间向量基本定理

3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示

3.2空间向量基本定理

3.3空间向量运算的坐标表示

4.用向量讨论垂直与平行

5.夹角的计算

5.1直线间的夹角

5.2平面间的夹角

5.3直线与平面的夹角

6.距离的计算

第三章 圆锥曲线与方程

1.椭圆

1.1椭圆及其标准方程

1.2椭圆的简单性质

2.抛物线

2.1抛物线及其标准方程

2.2抛物线的简单性质

3.双曲线

3.1双曲线及其标准方程

3.2双曲线的简单性质

4.曲线与方程

4.1 曲线与方程

4.2圆锥曲线的共同特征

4.3直线与圆锥曲线的交点

选修2-2

第一章推理与证明

1.归纳与类比

1.1归纳推理

1.2类比推理

2.综合法与分析法

2.1综合法

2.2分析法

3.反证法

4.数学归纳法

第二章变化率与导数

1.变化的快慢与变化率

2.导数的概念及其几何意义

2.1导数的概念

2.2导数的几何意义

3.计算导数

4.导数的四则运算法则

4.1导数的加法与减法法则

4.2导数的乘法与除法法则

5.简单复合函数的求导法则

第三章导数的应用

1.函数的单调性与极值

1.1导数与函数的单调性

1.2函数的极值

2.导数在实际问题中的应用

2.1实际问题中导数的意义

2.2最大值、最小值问题

第四章 定积分

1.定积分的概念

1.1定积分的背景——面积和路程问题

1.2定积分

2.微积分基本定理

3.定积分的简单应用

3.1平面图形的面积

3.2简单几何体的体积

第五章 数系的扩充与复数的引入

1.数系的扩充与复数的引入

1.1数的概念的扩展

1.2复数的有关概念

2.复数的四则运算

2.1复数的加法与减法

2.2复数的乘法与除法

扩展资料:

人教版即由人民教育出版社出版,简称为人教版。

数学(汉语拼音:shù xué;希腊语:μαθηματικ;英语:Mathematics或Maths),源自于古希腊语的μθημα(máthēma),其有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点,“学问的基础”。另外,还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究”。即使在其语源内,其形容词意义凡与学习有关的,亦会被用来指数学的。

其在英语的复数形式,及在法语中的复数形式+es成mathématiques,可溯至拉丁文的中性复数(Mathematica),由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικά(ta mathēmatiká).

在中国古代,数学叫作算术,又称算学,最后才改为数学.中国古代的算术是六艺之一(六艺中称为“数”).

数学起源于人类早期的生产活动,古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识,并能应用实际问题.从数学本身看,他们的数学知识也只是观察和经验所得,没有综合结论和证明,但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献.

基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分.其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见.从那时开始,其发展便持续不断地有小幅度的进展.但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态.

代数学可以说是最为人们广泛接受的“数学”.可以说每一个人从小时候开始学数数起,最先接触到的数学就是代数学.而数学作为一个研究“数”的学科,代数学也是数学最重要的组成部分之一.几何学则是最早开始被人们研究的数学分支.

直到16世纪的文艺复兴时期,笛卡尔创立了解析几何,将当时完全分开的代数和几何*系到了一起.从那以后,我们终于可以用计算证明几何学的定理;同时也可以用图形来形象的表示抽象的代数方程.而其后更发展出更加精微的微积分.

现时数学已包括多个分支.创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派则认为:数学,至少纯数学,是研究抽象结构的理论.结构,就是以初始概念和公理出发的演绎系统.他们认为,数学有三种基本的母结构:代数结构(群,环,域,格……)、序结构(偏序,全序……)、拓扑结构(邻域,极限,连通性,维数……)。

数学被应用在很多不同的领域上,包括科学、工程、医学和经济学等.数学在这些领域的应用一般被称为应用数学,有时亦会激起新的数学发现,并促成全新数学学科的发展.数学家也研究纯数学,也就是数学本身。

参考资料:百度百科-高中数学

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