例题与探究(5.2.2复数的乘法与除法)

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高手支招3综合探究

上下同乘以50+100i

进行复数的除法运算的步骤

一直以来,大家对于各直播平台主播显示用户观看人数与真实在线观众数量相差甚远的情况心知肚明。对此闪电站小猪曾多次站出来抨击过这种普遍造假的现象,直播平台主播显示观看人数实际上是真实在线用户乘以一个相对应的系数得来的。斗鱼观众数量造假的系数到底是多少?原WE队员微笑近日在斗鱼直播英雄联盟时,其显示观看人数竟然超过13亿!而根据相关数据显示,2015年中国全国人口数量才13.6,中国网民数量不超过7亿。斗鱼如此丧心病狂的造假彻底激怒了电竞良心人士闪电站小猪小苍MM新近加盟斗鱼观看人数120万,B神加盟斗鱼观看人数100万,连个菜鸡Yao老弟首秀都有60万人来捧场。大家都别玩游戏了,跑去看斗鱼直播吧。

利用复数的除法定义:把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di≠0)的复数 x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商,记作(a+bi)÷(c+di)或,从而利用复数相等求得x,y的值即可.

马东许知远对话,高下不论。许是个陈腐的知识份子,在自己的角落里保持对时代的距离、固执己见,是好的思想者,但不是好的采访者和对话者;如果他逃避技术,认为技术毁灭人类,为什么做这个新媒体视频节目呢?马东的智慧和才华正是因为技术才最大的释放出来,奇葩说之前,在央视没有,在各种传统节目没有,他选择顺应这个时代,让自己开心,让周围人开心。许是对时代愤怒而不行动,马是对时代顺从而行动。

∵(c+di)(x+yi)=(cx-dy)+(dx+cy)i,∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi,由此可得

我专门查询了宋美龄乳腺癌两次手术的历史,发现其主要成功因素是在乳腺癌早期及时进行了手术切除。较为公认的是,早期乳腺癌可望永久性治愈。当然,她的饮食作息很规律、科学也是长寿的秘诀之一。根据亲们的反馈,纠正下头条问题的错误,宋美龄查出乳腺癌是70岁,不是问题中的40岁。宋美龄很注重饮食质量,少食多餐。虽然她比较喜欢吃一些较硬的食物,但总体上不会影响消化,每餐两荤、两素,每天必须就5次餐,每一次进餐也只吃五分饱,即使再喜欢吃的食物,也绝不贪食。她几乎每天都会用磅秤称体重,只要发觉体重稍微重了些,会立刻改吃青菜沙拉,不吃任何荤的食物。此外,宋美龄作息很有规律。每日里作画、读书的时间一般不会超过2小时。

解这个方程组得

“我今天好累啊!”,这样说时,是当天工作累或玩得累,工作多,做个不停,会身心疼惫;出去耍,做自己喜欢的活动,连续十几个小时不休息,也会很累。\"活得真累\",聊天时这样说,那就是心累,工作上压力三大,生活上包括朋友关系,亲戚关系,家庭孩子读书找工作,老人身体一天不如一天等也会压得一个人喘不过来。每个人都有累的时候,尤其是心累,只有调整好心态,乐观大度些,心胸宽广些,方能化累为轻。

于是有(a+bi)÷(c+di)=.

在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di,化简后,也可以得出上面的结果.

高手支招4典例精析

【例1】已知=1-ni,其中m、n是实数,i是虚数单位,则m+ni=( )

A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i

思路分析:可先将=1-ni去分母后展开化简,再利用复数相等解之.

本题也可将等式左边分母实数化,再利用复数相等解之.

=1-ni两边同乘以1+i,得m=(1-ni)(1+i)=1+n+(1-n)i,由复数相等法则,得从而所以m+ni=2+i.

答案:C

【例2】复数=( )

A.i B.-I C.2-I D.-2+i

思路分析:此题可以直接进行分母“有理化”(即分子分母同乘以分母的共轭复数),化简解得,或由观察得出:将分子化简后,分母乘以i则可以得到分子,从而解得.原式=.

答案:A

【例3】 若复数z=+i,则1+z+z2+z3+…+z2 006( )

A.0 B. + i C. - i D. - i

思路分析:由于z=+i正好是ω的一个值,故具有ω特性,即1+z+z2=0,利用此式,原式即可化简.∴1+z+z2+z3+…+z2 006中连续三项的和均为零,由于1+z+z2+z3+…+z2 006的项数2 007项正好是3的倍数项,故所求的和式为零.

答案:A

【例4】 如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于( )

A.1 B.-1 C. D.-

思路分析:要使一个复数为实数,那只需要一个条件:虚部为0.将原式(m2+i)(1+mi)展开,得m2+m3i+i+mi2=(m2-m)+(m3+1)i,令其虚部为零,即m3+1=0,即m=-1.

答案:B

【例5】若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b等于( )

A.-2 B. C. D.2

思路分析:(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i,依题意2-b=0b=2.

答案:D

【例6】设a是实数,且是实数,则a等于

A. B.1 C. D.2

思路分析:先化简,因为是实数,故其虚部为零,即=0,从而得a=1.

答案:B

【例7】设复数z满足=i,则z等于… ( )

A.-2+i B.-2-I C.2-I D.2+i

思路分析:由=i,得z===2-i.

答案:C

【例8】设x、y为实数,且,则x+y=_____________.

思路分析:先将原式两边的分母实数化,然后再利用复数相等即可求得x+y的值.

将原式分母实数化,得(1+i)+ (1+2i)= (1+3i),即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0,利用复数相等的充要条件得

x+y=4.

答案:4

【例9】 计算下列各式:(1)i2 006+(+i)8-()50;(2)( i)6.

思路分析:(1)充分利用(1±i)2=±2i及i4n+k=ik将高次冥化为低次冥.(2)利用ω的性质解答.

解:(1)i2 006+(+i)8-()50=i4×501+2+[2(1+i)2]4-[]25

=i2+(4i)4-()25=-1+256-i25=255-i;

(2)∵ω=+i,∴-i=-ω,∴(-i)6=(-ω)6=(ω3)2=1.

【例10】 已知复数z=,若z2+az+b=1+i,试求实数a、b的值.

思路分析:要求实数a、b的值,需先确定复数z的值,而要确定复数z,需对复数z进行化简,主要通过复数乘方,加减运算,最后通过分母实数化,从而化得结果.

解:∵z==1+i,

∴z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(2+a)i,

由已知z2+az+b=1+i,∴∴实数a、b的值分别为-1,2.

【例11】 已知f(z)=2z+-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.

思路分析:需要先利用已知式求出z,再将-z代入f(z)=2z+-3i中计算.

解:∵f(z)=2z+-3i,∴f(+i)=2(+i)+ -3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i,又知f(-3i,∴2+z-2i=6-3i,即2+z=6-i,设z=a+bi,则=a-bi,于是有2(a-bi)+a+bi=6-i,所以,解得a=2,b=1,∴z=2+i,

∴f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.

【例12】 计算:( i)12+()8.

思路分析: i=i(+i),1-i=(-2)( + i),由此,原式可以化简.

解:原式=i12(+i)12+

=1·1+

=1+16(+i)

=-7+8i.

【例13】 已知复数z1=i(1-i)3.(1)求|z1|;(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.

思路分析:(1)求模应求出复数的实部与虚部,再利用|a+bi|= 得出.(2)是考查复数几何意义的应用.

解:(1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i),

∴|z1|=.

(2)|z|=1可看成半径为1、圆心为(0,0)的圆,而点Z1可看成在坐标系中的点(2,-2),

∴|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上点距离的最大值,由右图可知|z-z1|max=2+1.

【例14】 证明:在复数范围内,方程|z|2+(1-i)-(1+i)z= (i为虚数单位)无解.

思路分析:将已知条件化简后再由复数相等来解.

证明:原方程化简为|z|2+(1-i)z-(1+i)z=1-3i.

设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2-2xi-2yi=1-3i.

将(2)代入(1),整理得8x2-12x+5=0.

∵Δ=-16<0,

∴方程f(x)无实数解,

∴原方程在复数范围内无解.

高手支招5思考发现

1.利用某些特殊复数的运算结果,如(1±i)2=±2i,(±i)3=1, =-i, =i, =-i,i的幂的周期性,对于简化复数的运算大有好处,在计算上经常用的结论最好能熟记,以便加快解题速度.

2.在化简运算中,要注意运用i、ω的性质,如当ω=+i时有:

=ω2,ω3=1, =,ωn+ωn+1+ωn+2=0(n∈N*),in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*

3.在解题过程中,若能充分利用共轭复数的性质对问题进行等价变形、化简,可使复杂问题简单化,事半功倍.

扩展阅读,根据您访问的内容系统为您准备了以下扩展内容,希望对您有帮助。

复数的乘法和除法怎样计算?

复数相乘本回答被网友采纳

复数的运算法则

1、加法法则

复数的加法按照以下规定的法则进行:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,

则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。

两个复数的和依然是复数,它的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和。

2、减法法则

复数的减法按照以下规定的法则进行:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,

则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。

两个复数的差依然是复数,它的实部是原来两个复数实部的差,它的虚部是原来两个虚部的差。

3、乘法法则

规定复数的乘法按照以下的法则进行:

设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。

其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,展开得: ac+adi+bci+bdi2,因为i2=-1,所以结果是(ac-bd)+(bc+ad)i 。两个复数的积仍然是一个复数。

4、除法法则

复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法:可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭.。所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数。

扩展资料

复数的加法就是自变量对应的平面整体平移,复数的乘法就是平面整体旋转和伸缩,旋转量和放大缩小量恰好是这个复数对应向量的夹角和长度。

二维平移和缩放是一维左右平移伸缩的扩展,旋转是一个至少要二维才能明显的特征,*在一维上,只剩下旋转0度或者旋转180度,对应于一维导数正负值(小线段是否反向)。

参考资料来源:百度百科-复数运算法则

复数乘除法的几何意义是怎么样的

可以将复数看作复平面上的一个向量

复数的乘除会使得这个向量伸缩且旋转

伸缩的倍数与乘或除的那个复数的模长有关

旋转的角度以及是顺时针还是逆时针旋转与乘或除的那个复数的辐角有关

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