吸收边界条件局域ABC

来源:互联网 编辑:李元芳 手机版

第5讲(续) 理想匹配层(PML)

对于FDTD模拟中通常遇到的情况,上节讨论的局域吸收边界条件提供的等效外边界反射系数的范围是0.5%到5.0%。

通常希望FDTD法能够模拟的动态范围与无反射暗室动态范围相比拟,以便理论值可以与测量结果相比较。一般暗室可以获得低于-70dB的有效无反射区。对于任何计算电磁学模型,这都是非常困难的。没有ABC理论的新进展,这一点是无法做到的。

Berenger的“理想匹配层”法正是这种新进展。1994 Berenger对于二维FDTD网格提出的这种方法获得了比以前任何方法都要好的吸收特性。这种方法属于媒质吸收ABC,其根本是构造了一种非物理的吸收媒质与FDTD网格外部边界相连,该吸收媒质具有与外向散射波的入射角和频率均无关的波阻抗。

5.2.1 Maxwell方程的场分裂修正

— 二维TE情形

我们只考虑二维TE情况,对于二维TM和三维情况,可采用类似方法进行分析。有耗媒质中二维TE情况的场量满足的Maxwell方程为

(5-20a)

(5-20b)

(5-20c)

式中,分别表示自由空间中的电导率和磁阻率。如果将满足(5-20)式的有耗媒质层加在FDTD网格外边界的外层,设平面波沿方向传播,则,(5-20)变为

如果 (5-21)

(5-22)

式中,分别为自由空间中的光速和波阻抗。

于是,,可见,有耗自由空间媒质的波阻抗就等于无耗自由空间的波阻抗,所以当平面波垂直穿过真空和有耗自由空间媒质的交界面时将不会发生反射。但是,当斜入射时,反射将增加。所以,这样构造的ABC其复合的吸收特性最好也不过与局域ABC的量级相同。

Berenger为了引入规定损耗和阻抗匹配的新自由度,将分裂为两个分量,即

(5-23)

同时引入了新的电导率和磁损耗,并规定TE情形的四个场分量(而不是通常的3个)由下列方程耦合在一起:

(5-24a)

(5-24b)

(5-25a)

(5-25b)

换句话说,Berenger构造了一般新的非物理媒质(称为PML媒质),在该媒质中场满足的方程为(5-24)和(5-25)(并不一定是Maxwell方程)。而这些场分量中电场分量与FDTD网格的自由空间中的电场分量一致,磁场分量用(5-23)相联系。

可以看出,(5-24)和(5-25)(称为PML公式)代表了通常模拟的物理媒质的推广。

5.2.2 TE波在PML媒质中的传播

考虑平面波在PML媒质中传播。令电场与轴交角为,则

(5-26)

(5-27)

已知(与激励大小有关),则(5-26)和(5-27)中包含四个特定量。将(5-26)和(5-27)代入(5-24)和(5-25),则

(5-28a)

(5-28b)

(5-29a)

(5-29b)

从(5-29a)和(5-29b) 中提取,然后分别代入(5-28a)和(5-28b)中,得

(5-30a)

(5-30b)

两式相除,得 (5-31)

然后从(5-31)和(5-30b)可得,(5-31)和(5-30a)可得。于是得到两组符号相反的,对应于沿相反方向传播,选取正号:

(5-32)

式中,   (5-33a)

 , (5-33b)

表示任何一个场分量,为其振幅,为光速,则由(5-26)和(5-27),得 (5-34)

代入(5-29)得

(5-35)

于是 (5-36)

(5-37)

如果满足

(5-38)

则在任何频率和入射角,于是(5-34)和(5-37)变为

(5-39)

(5-40)

(5-39)第一个指数项表明在PML媒质中波以光速沿与电场垂直的方向传播,剩余的两个指数项表明波沿方向指数衰减。(5-40)表明PML媒质中的波阻抗与入射角无关,与真空中波阻抗相同,这意味着从真空中的任意角度入射到PML媒质交界面时将会无反射地进入PML媒质中,并在PML媒质中衰减地传播。(5-38)称为无反射匹配条件。

5.2.3TE波在两种PML媒质交界面上的传播特性

  假设两种PML媒质的交界面位于x=0处。如图5-2所示,一TE模平面波从媒质1入射到交界面上,入射波和透射波电场与y轴的夹角分别为。电场和磁场分量的入射波、反射波和透射波的变化形式均为(5-34)。根据交界面上切向场连续的条件,可以得到

于是

这样反射系数为

(5-41)

如果两种PML媒质具有相同的横向电导率和磁阻率,即

,以及满足匹配条件,则

因此

可见,如果交界面两侧PML媒质具有相同的横向电导率和磁阻率且满足满足匹配条件,则任意角度任何频率的平面波都可以无反射地通过交界面。

如果媒质之一是真空,上述结论依然成立,因为真空可以看作参数的PML媒质。

图5-2 平面波进入通过PML媒质交界面的传播

5.2.4PML设置

对于二维TE FDTD网络,Berenger提出了图5-3所示的吸收边界结构。在PML的外边界设置为理想电壁。为了减少离散造成的反射,Berenger建议PML中的损耗应当随PML媒质层深度适度地增加,如,其中为PML厚度。这样产生地反射为

(5-42)

当垂直入射时,当相切入射时。在实际模拟时这并不是个问题,因为这样的波与PML边界几乎是垂直的并且被吸收。

图5-3 二维FDTD网格的PML吸收边界结构

5.2.5PML区域的指数时间步算法

由于波在PML媒质中衰减太快,标准地Yee时间步进可能无法使用,因此,Berenger建议采用指数时间步进。考虑一个典型导电媒质中的Maxwell方程

(5-43)

把上式看作为的一阶常微分方程,它具有齐次解和特解。齐次解为 (5-44)

(5-45)

特解为

(5-46a)

,得

(5-46b)

而在现时间步

(5-46c)

于是

(5-47)

对于其他场分量可以得到类似的公式。

习 题5 (续)

5.4采用Berenger PML ABC重复题2.3。

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