函数定义域、值域求法的总结

来源:互联网 编辑: 张倩 手机版

函数定义域、值域求法总结

一、定义域是函数中的自变量x的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手:

(1)分母不为零

(2)偶次根式的被开方数非负。

(3)对数中的真数部分大于0。

(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1

(5)y=tanx中x≠kπ+π/2;y=cotx中x≠kπ等等。

( 6 )中x

二、值域是函数中y的取值范围。

常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法

(4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法)

(7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法

(10)不等式法 (11)平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析

1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域:

;② ;③

解:①∵x-2=0,即x=2时,分式无意义,

时,分式有意义,∴这个函数的定义域是.

②∵3x+2<0,即x<-时,根式无意义,

,即时,根式才有意义,

∴这个函数的定义域是{|}.

③∵当,即时,根式和分式 同时有意义,

∴这个函数的定义域是{|}

另解:要使函数有意义,必须:

例2 求下列函数的定义域:

解:①要使函数有意义,必须: 即:

∴函数的定义域为: []

②要使函数有意义,必须:

∴定义域为:{ x|}

③要使函数有意义,必须:

∴函数的定义域为:

④要使函数有意义,必须:

∴定义域为:

⑤要使函数有意义,必须:

即 x< 或 x> ∴定义域为:

例3 若函数的定义域是R,求实数a 的取值范围

解:∵定义域是R,∴

例4 若函数的定义域为[

1,1],求函数的定义域

解:要使函数有意义,必须:

∴函数的定义域为:

例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x-1)的定义域。

分析:法则f要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x-1上必也要求2x-1在 [-1,1]内取值,即-1≤2x-1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x-1)中2x-1与f(x)中的x位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x-1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。

(注意:f(x)中的x与f(2x-1)中的x不是同一个x,即它们意义不同。)

解:∵f(x)的定义域为[-1,1],

∴-1≤2x-1≤1,解之0≤x≤1,

∴f(2x-1)的定义域为[0,1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x2)的定义域。

答案:-1≤x2≤1 x2≤1-1≤x≤1

练习:设的定义域是[

3,],求函数的定义域

解:要使函数有意义,必须: 得:

≥0 ∴

∴ 函数的定域义为:

例7已知f(2x-1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域

因为2x-1是R上的单调递增函数,因此由2x-1, x∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。

已知f(3x-1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。

(提示:定义域是自变量x的取值范围)

练习:

已知f(x2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域

的定义域是,则函数的定义域是 (  )

A. C. D.

已知函数的定义域为A,函数的定义域为B,则 (  )

A. B.B C. D.

2、求值域问题

利用常见函数的值域来求(直接法)

一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;

反比例函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0};

二次函数的定义域为R,

当a>0时,值域为{};当a<0时,值域为{}.

例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1x1) ②

(记住图像)

解:①∵-1x1,∴-33x3,

∴-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1,5]

②略

③ 当x>0,∴=

当x<0时,=-

∴值域是[2,+).(此法也称为配方法)

函数的图像为:

二次函数在区间上的值域(最值):

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:

; ②;

; ④

解:∵,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.

①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,

∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y-3 }.

②∵顶点横坐标2[3,4],

当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;

∴在[3,4]上,=-2,=1;值域为[-2,1].

③∵顶点横坐标2 [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,

∴在[0,1]上,=-2,=1;值域为[-2,1].

④∵顶点横坐标2 [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6,

∴在[0,1]上,=-3,=6;值域为[-3,6].

注:对于二次函数,

⑴若定义域为R时,

①当a>0时,则当时,其最小值

②当a<0时,则当时,其最大值.

⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若[a,b],则是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,

再比较的大小决定函数的最大(小)值.

②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内,只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值.

注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;

②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

练习:1、求函数y=3+√(2-3x)的值域

解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,

   故3+√(2-3x)≥3。

   ∴函数的值域为  .

2、求函数 的值域

解: 对称轴

例3 求函数y=4x-√1-3x(x≤1/3)的值域。

  解:法一:(单调性法)设f(x)=4x,g(x)= -√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x)+g(x)= 4x-√1-3x

在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,

所求的函数值域为{y|y≤4/3}。

  小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。

练习:求函数y=3+√4-x  的值域。(答案:{y|y≥3})

法二:换元法(下题讲)

例4 求函数 的值域

解:(换元法)设,则

   点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习:求函数y=√x-1 –x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}

例5 (选)求函数 的值域

解:(平方法)函数定义域为:

例6 (选不要求)求函数的值域

解:(三角换元法)

小结:(1)若题目中含有,则可设

(2)若题目中含有则可设,其中

(3)若题目中含有,则可设,其中

(4)若题目中含有,则可设,其中

(5)若题目中含有,则可设

其中

y

例7 求 的值域

解法一:(图象法)可化为 如图,

观察得值域

解法二:(零点法)画数轴 利用可得。

3

解法三:(选)(不等式法)

同样可得值域

练习:的值域呢? ()(三种方法均可)

例8 求函数 的值域

解:(换元法)设 ,则 原函数可化为

y

例9求函数 的值域

解:(换元法)令,则

由指数函数的单调性知,原函数的值域为

例10 求函数 的值域

解:(图象法)如图,值域为

例11 求函数 的值域

解法一:(逆求法)

解法二:(分离常数法)由 ,可得值域

小结:已知分式函数,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域。

例12 求函数 的值域

解法一:(逆求法)

小结:如果自变量或含有自变量的整体有确定的范围,可采用逆求法。

解法二:(换元法)设

练习:y=;(y∈(-1,1)).

例13 函数 的值域

解法一:(逆求法)

2解法二:(换元法)设 ,则

解法三:(判别式法)原函数可化为

1)时 不成立

2)时,

综合1)、2)值域

解法四:(三角换元法),则

原函数的值域为

0例14 求函数的值域

5解法一:(判别式法)化为

1)时,不成立

2)时,

综合1)、2)值域

解法二:(复合函数法)令,则

所以,值域

例15 函数的值域

解法一:(判别式法)原式可化为

解法二:(不等式法)1)当时,

2)时,

综合1)2)知,原函数值域为

例16 (选) 求函数的值域

解法一:(判别式法)原式可化为

解法二:(不等式法)原函数可化为

当且仅当时取等号,故值域为

例17 (选) 求函数的值域

解:(换元法)令 ,则原函数可化为。。。

小结:已知分式函数 ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为

(选)的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数的单调性去解。

练习:

1 、

解:∵x0,,∴y11.

另外,此题利用基本不等式解更简捷:(或利用对勾函数图像法)

2 、

05.

3 、求函数的值域

; ②

解:①令0,则,

原式可化为,

∵u0,∴y,∴函数的值域是(-].

②解:令 t=4x

0 得 0x4

在此区间内 (4x

)=4 ,(4x

) =0

∴函数的值域是{ y| 0y2}

4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解法1:将函数化为分段函数形式:,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{y|y3}.

解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+]. 如图

5、求函数的值域

解:设 则 t0 x=1

代入得

∵t0 ∴y4

6、(选)求函数的值域

方法一:去分母得 (y

1)+(y+5)x

6y

6=0 ①

当 y

1时 ∵x

R ∴△=(y+5)+4(y

1)×6(y+1)0

由此得 (5y+1)0

检验 (有一个根时需验证)时 (代入①求根)

∵2

定义域 { x| x

2且 x

3} ∴

再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y

1

综上所述,函数的值域为 { y| y

1且 y

}

方法二:把已知函数化为函数 (x

2)

由此可得 y

1,∵ x=2时∴函数的值域为 { y| y

1且 y

}

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