函数的定义域与值域复习讲义与习题

来源:互联网 编辑:王志 手机版

第五讲 函数的定义域与值域

一、知识归纳:

(一)函数的定义域与值域的定义:

函数y=f(x)中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y的值叫做函数值。函数值的集合{f(x)│x∈A}叫做函数的值域。

(二)求函数的定义域一般有3类问题:

1、已知解析式求使解析式有意义的x的集合常用依据如下:

分式的分母不等于0; 偶次根式被开方式大于等于0;

对数式的真数大于0,底数大于0且不等于1; 指数为0时,底数不等于0

2、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义,其包含两类:

已知f[g(x)]的定义域为x∈(a,b)求f(x)的定义域,方法是:利用a已知f(x)的定义域为x∈(a,b)求f[g(x)]的定义域,方法是:由a3、实际意义的函数的定义域,其定义域除函数有意义外,还要符合实际问题的要求。

(三)确定函数的值域的原则

1、当数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合。

2、当函数y=f(x)图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。

3、当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

常见函数的值域:

函数

y=kx+b

y=ax2+bx+c

y=ax

y=logax

值域

R

a>0

a<0

{y|y∈R且y≠0}

{y|y>0}

R

4、当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。

(四)求函数值域的方法:

1、观察法,2、配方法,3、判别式法,4、反函数法,5、换元法,6、图象法等

二、例题讲解:

【例1】求下列函数的定义域

(1) (2)

(3)y=lg(ax-kbx) (a,b>0且a,b≠1,k∈R)

[解析] (1)依题有

∴函数的定义域为

(2)依题意有

∴函数的定义域为

(3)要使函数有意义,则ax-kbx>0,即

①当k≤0时,定义域为R

②当k>0时,(Ⅰ)若a>b>0,则 定义域为{x|}

(Ⅱ)若0, 定义域为{x|}

(Ⅲ)若a=b>0,则当0 [评析]把求定义域的问题等价转化为关于x的不等式(组)的求解问题,其关键是列全限制条件(组)。

【例2】设y=f(x)的定义域为[0,2],求

(1)f(x2+x); (2)f(|2x-1|); (3)f(x+a)-f(x-a) (a>0)的定义域

分析:根据若f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]的定义域为a≤g(x)≤b的解集,来解相应的不等式(或不等式组)

解:(1)由0≤x2+x≤2得 ∴定义域为[-2,-1]∪[0,1]

(2)由│2x-1│≤2,得 -2≤2x-1≤2 所以定义域为

(3)由

又因a>0, 若2-a≥a,即0<a≤1时,定义域为{x|a≤x≤2-a}

若2-a<a,即a>1时,x∈,此时函数不存在

变式:已知函数f(x+1)的定义域是[0,1],求函数f(x)的定义域。 [1,2]

【例3】求下列函数的值域

(1) (2) (3)

(分析)(1)可分离常数后再根据定义域求值域,也可反解x求值域

(2)常数后再利用配方法求解,也可采用判别式法

(3)可以用换元法或者单调性法

解:(1)方法一:分离常数法

,得

∴函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞)

方法二:反函数法

,整理得:(y-2)x=3y+1,

若y-2=0,有3y+1=0 ,与y-2=0矛盾

若y-2≠0,有,∴y≠2 ∴函数的值域为{y| y≠2}

(2) 方法一:配方法

∴函数的值域为

方法二:判别式法

变形得(y-1)x2-(y-1)x+y-3=0

当y=1时,此方程无解

当y≠1时,∵x∈R ∴△=(y-1)2—4(y-1)(y-3) ≥0,解得 1≤y≤

又∵y≠1, ∴, ∴函数的值域为

(3)方法一:换元法

,则t≥0且

∴函数的值域为

方法二:单调性法

函数的定义域

上均是增函数

上是增函数

∴函数的值域为

变式1:已知函数f(x)的的值域是,求的值域。

解:∵, ∴, ∴

, 则

,∴函数y=F(t)在区间上递增

∴函数的值域为

变式2:已知,求的值域

【例4】(1)求 的值域。

(2)求函数的值域。

(分析)(1)分段函数的值域的求法从局部研究,把握局部和整体的关系

(2)属复合函数y=f[g(x)]的值域问题,先由函数定义域求出u=g(x)的值域,再在此值域上求出y=f(u)的值域

解:(1)若x≤1,则x-1≤0,0<3x-1≤1,有-2<3x-1-2≤-1,

若x>1,则1-x<0, 0<31-x<1, 有-2<31-x-2<-1,

综上有:(2)函数的定义域为R

设u=x2-4x+5=(x-2)2+1 则当x∈R时,u∈[1,+∞),

又∵是减函数,∴ ∴函数的值域是(-∞,0]

点评:求复合函数值域的一般步骤:

(1)正确分析函数的复合过程,抓住中间变量

(2)由x 的取值范围确定中间变量u=g(x)的值域,并逐层确定

(3)最后确定原函数的值域,整个过程是由内向外逐层解脱。

变式:函数的值域 (-∞,0]

【例5】(1)已知函数的值域是R,求实数a的取值范围

(2)若函数,当x∈(-∞,2]时有意义,求实数a的取值范围

(3)函数的定义域和值域都是[1,b] (b>1),求b的值

解:(1)只要u=ax2+(2a+1)x+3能取到(0,+∞)上的所有实数,则f(x)的值域为R,

∵当a=0时 u=x+3能取到(0,+∞)上的所有实数。

当a≠0时应有解得

(2)由题意得,当x∈(-∞,2)时,1+2x+a4x>0,

∴x∈(-∞,2)时,

在(-∞,2)上是增函数。最大值是

(3)∵在[1,b]上是增函数,∴f(x)在[1,b]上的值域是[1,f(b)],

由题意知f(x)在[1,b]上的值域是[1,b],∴f(b)=b,即

解得b=1(舍去)或b=3

点评:在熟练掌握求函数值域的几种常规方法的基础上要对具体题目做具体分析,应选择最优的方法

求函数的值域不但要重视对应法则的作用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

变式:设的值域为[-1,4],求a,b的值 (a=±4,b=3)

5.函数的定义域与值域复习题

一、选择题:

1、已知函数f(x)的定义域为[0,1],那么函数f(x2-1)的定义域为( )

A.[0,1] B.[1,2] C.[1,] D.[-,-1]∪[1,]

2、函数y=2-x+1(x>0)的反函数是 ( )

A B

C D

3、函数y=logx+3(x≥1)的值域是( )

A. B.(3,+∞) C. D.(-∞,+∞)

4、函数y=2-的值域是( )

A.[-2,2] B.[1,2] C.[0,2] D.[-]

5、值域是(0,+∞)的函数是( )

A.y=5-2 B.y=( C.y= D.

6、函数的值域是( )

A.[-1,1] B.[0,1] C.[-1,0] D.[1,2]

7、函数y=|x+1|+|x-2|的值域是( )

A. B. C. D.

8、若,则M∩P( )

A. B. C. D.

9、函数的定义域为( )

A、 B、

C、 D、

二、填空题:

10.函数的定义域为__________________

11.设,则f(x)的定义域是________________

12.函数y=2的值域为______________________

13.函数y=x+的值域为____________________

14.函数的反函数的定义域是

______________

三、解答题:

15.若函数的定义域为R,求实数a的取值范围。

16.若f(x+1)的定义域是,求的定义域。

17.函数的定义域是,求a的取值范围。

18.记函数的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)] (a<1)的定义域为B。

(1)求A; (2)若,求实数a的取值范围。

19.某公司有价值a万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值。假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足:

y与a-x和x的乘积成正比; x=时y=a2; 其中t为常数,且t∈[0,1]

(1)设y=f(x),求出f(x)的表达式,并求出y=f(x)的定义域;

(2)求出附加值y的最大值,并求出此时的技术改造投入的x的值

5.函数的定义域与值域复习题参考答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

D

B

C

C

B

A

A

C

A

二、填空题、

10、 11、 12、

13、 14、{x|-1三、解答题

15、

16、

17、

18、(1)A=(-∞,-1)∪[1,+∞ )

(2)(-∞,-2]∪[,1)

19、(1)y=4(a-x)x 定义域为

(2)当,x=a/2时,ymax=a2

时,

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