函数定义域与值域经典类型总结 练习题 含答案

来源:互联网 编辑: 张倩 手机版

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳

一、基础知识整合

1.函数的定义:设集合A和B是非空数集,按照某一确定的对应关系f,使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A到B的一个函数。

2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f),②集合A的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x∈A}。

3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是:

(1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。

(2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域:是由定义域和对应关系(f)共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

(1)明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合:{y|y=f(x),x∈A}。

(2)明白定义中集合B是包括值域,但是值域不一定为集合B。

二、求函数定义域

(一)求函数定义域的情形和方法总结

1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

(1)常见情况简总:

①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0;

②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。

③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0.

④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0.

⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1)

⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于1.(

注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。

(2)求定义域时,尽量不要对函数解析式进行变形,以免发生变化。(形如:)

练习

1、求下列函数的定义域:

1、(1)

(2)

(3)

2.抽象函数(没有解析式的函数)

解题的方法精髓是“换元法”,根据换元的思想,我们进行将括号为整体的换元思路解题,所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为:

(1)给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围;

(2)在同一个题中x不是同一个x;

(3)只要对应关系f不变,括号的取值范围不变。

(4)求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围,及括号的取值范围。

例1:已知f(x+1)的定义域为[-1,1],求f(2x-1)的定义域。

解:∵f(x+1)的定义域为[-1,1];(及其中x的取值范围是[-1,1])

; (x+1的取值范围就是括号的取值范围)

∴f(x)的定义域为[0,2];(f不变,括号的取值范围不变)

∴f(2x-1)中

∴f(2x-1)的定义域为

练习

2、

设函数的定义域为,则函数的定义域为_、; _______;函数的定义域为________;

3、若函数的定义域为,则函数的定义域是 ;函数的定义域为

3.复合函数定义域

复合函数形如:,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数,或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。

例2:

分析:由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算,所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域,再根据求函数定义域要所有式子同时满足,即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。

解:由f(x)的定义域为(-2,3),则

f(x+1)的定义域为(-3,2),f(x-2)的定义域为(0,4);

,解得0所以,g(x)的定义域为(0,2).

(一)求函数值域方法和情形总结

1.直接观察法(利用函数图象)

一般用于给出图象或是常见的函数的情形,根据图象来看出y值的取值范围。

练习

(1)

求值域。

2.配方法

适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数,此时注意对称轴的位置,在定义域范围内(以a<0为例),此时对称轴的地方为最大值,定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值;对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。总结为三个要点:(1)含参数的二次型函数,首先判断是否为二次型,即讨论a;(2)a不为0时,讨论开口方向;(3)注意区间,即讨论对称轴。

例1:求

解:配方:

f(x)的对称轴为x=2在[1,5]中间

(端点5离x=2距离较远,此时为最大值)

所以,f(x)的值域为[2,11].

练习

(2)

求值域。

3.分式型

(1)分离常量法:应用于分式型的函数,并且是自变量x的次数为1,或是可以看作整体为1的函数。具体操作:先将分母搬到分子的位子上去,观察与原分子的区别,不够什么就给什么,化为

例2:

解:

由于分母不可能为0,则意思就是函数值不可能取到

即:函数f(x)的值域为.

练习

求值域

(3)

(2)利用来求函数值域:适用于函数表达式为分式形式,并且只出现形式,此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数,显然用分离常量法是行不通,只有另想它法(有界变量法)。

例3:求函数的值域.

解:由于不等于0,可将原式化为

(由于

只需,则有

所以,函数值域.

练习

(4) 求值域

(3)方程根的判别式法:适用于分式形式,其中既出现变量x又出现混合,此时不能化为分离常量,也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形,可以使用根的判别式法。

例4:求函数的值域

解:由于函数的定义域为R,即

原式可化为

(由于x可以取到任意的实数,那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根,即方程有根那么判别式大于或等于0,注:这里只考虑有无根,并不考虑根为多少)

所以,

所以,函数值域为

练习:求值域

(5)

4.换元法

通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域,一般函数特征是函数解析式中含有根号形式,以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路,注重换元思维的培养,并不是专一的去解答某类问题,应该多加平时练习。注:换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。

例5:求函数的值域

解:令,带入原函数解析式中得

因为,

所以,函数的值域为.

练习:求值域

(6)

一.选择题(共10小题)

1.(2007?河东区一模)若函数f(x)=的定义域为A,函数g(x)=的定义域为B,则使A∩B=?的实数a的取值范围是(  )

 

A.

(﹣1,3)

B.

[﹣1,3]

C.

(﹣2,4)

D.

[﹣2,4]

 

2.若函数f(x)的定义域是[﹣1,1],则函数f(x+1)的定义域是(  )

 

A.

[﹣1,1]

B.

[0,2]

C.

[﹣2,0]

D.

[0,1]

 

3.(2010?重庆)函数的值域是(  )

 

A.

[0,+∞)

B.

[0,4]

C.

[0,4)

D.

(0,4)

 

4.(2009?河东区二模)函数的值域是(  )

 

A.

(0,+∞)

B.

C.

(0,2)

D.

(0,

 

5.已知函数y=x2+4x+5,x∈[﹣3,3)时的值域为(  )

 

A.

(2,26)

B.

[1,26)

C.

(1,26)

D.

(1,26]

 

6.函数y=在区间[3,4]上的值域是(  )

 

A.

[1,2]

B.

[3,4]

C.

[2,3]

D.

[1,6]

 

7.函数f(x)=2+3x2﹣x3在区间[﹣2,2]上的值域为(  )

 

A.

[2,22]

B.

[6,22]

C.

[0,20]

D.

[6,24]

 

8.函数的值域是(  )

 

A.

{y|y∈R且y≠1}

B.

{y|﹣4≤y<1}

C.

{y|y≠﹣4且y≠1}

D.

R

 

9.函数y=x2﹣2x(﹣1<x<2)的值域是(  )

 

A.

[0,3]

B.

[1,3]

C.

[﹣1,0]

D.

[﹣1,3)

 

10.函数的值域为(  )

 

A.

[2,+∞)

B.

C.

D.

(0,2]

二.填空题 

11.(2013?安徽)函数y=ln(1+)+的定义域为 _________ .

 

12.(2012?四川)函数的定义域是 _________ .(用区间表示)

 

13.求定义域:

 

 

14.函数y=x2+2x﹣1,x∈[﹣3,2]的值域是 _________ .

 

15.函数y=10﹣的值域是 _________ .

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