广西南宁市届高三第一次适应性测试文数试题Word版含答案

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2017届普通高中毕业班第一次适应性测试

数学试卷(文科)

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合

,则

等于( )

A.

B.

C.

D.

2.复数

的虚部为( )

A.

B.-1 C.

D.

3.某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测.如图是根据抽样检测后零件的质量(单位:克)绘制的频率分布直方图,样本数据分8组,分别为

,则样本的中位数在( )

A.第3组 B.第4组 C.第5组 D.第6组

4.已知函数

的最小正周期为

,则函数

的图象( )

A. 可由函数

的图象向左平移

个单位而得

B.可由函数

的图象向右平移

个单位而得

C. 可由函数

的图象向左平移

个单位而得

D.可由函数

的图象向右平移

个单位而得

5.已知数列

满足:

,且

,则

等于( )

A.

B.23 C.12 D.11

6.已知角

的终边过点

,若

,则实数

等于( )

A.

B.

C.

D.

7.执行如图的程序框图.若输入

的值为3,则输出

的值为( )

A.10 B.15 C. 18 D.21

8.已知抛物线

的焦点为

,点

是抛物线

上一点,圆

轴相切且与线段

相交于点

.若

,则

等于( )

A.1 B.2 C.

D.4

9.已知非零向量

满足

,且

的夹角的余弦值为

,则

等于( )

A.

B.

C.

D.2

10.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

A.12 B.15 C. 18 D.21

11.已知双曲线

的左焦点为

在双曲线

上,

是坐标原点,若四边形

为平行四边形,且四边形

的面积为

,则双曲线

的离心率为( )

A.

B.2 C.

D.

12.已知函数

,设

表示

二者中较大的一个.函数

.若

,且

,使得

成立,则

的最小值为( )

A.-5 B.-4 C.

D.-3

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将正确答案填在答题卡中的横线上.

13.如果实数

满足约束条件

,则

的最大值为 .

14.在区间

上任取一个实数

,则曲线

在点

处切线的倾斜角为钝角的概率为 .

15.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金蕃,长五尺.斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细.在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由细到粗是均匀变化的,其重量为

.现将该金杖截成长度相等的10段.记第

段的重量为

,且

,若

,则

= .

16.在正方体

中,

,点

在棱

上,点

在棱

上,且平面

平面

.若

,则三棱锥

外接球的表面积为 .

三、解答题 (本大题共6小题,满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 在

中,角

所对的边分别为

,且

.

(1)求

的值;

(2)若角

为锐角,

,求

的面积.

18. 某中学是走读中学,为了让学生更有效率利用下午放学后的时间,学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室,以便让学生在自习室自主学习、完成作业,同时每天派老师轮流值班.在本学期第二次月考后,高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数,得到如下

列联表:

(1)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效;

(2)从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中,按分层抽样随机抽取5个成绩,再从这5个成绩中随机抽取2个,求这2个成绩来自同一次月考的概率;

下面的临界值表供参考:

(参考公式:

,其中

19. 如图,在四棱锥

中,

底面

.

(1)若

的中点,求证:

平面

(2)

是棱

的两个三等分点,求证:

平面

.

20. 已知

分别是椭圆

的左、右焦点,点

是椭圆

上一点,且

.

(1)求椭圆

的方程;

(2)设直线

与椭圆

相交于

两点,若

,其中

为坐标原点,判断

到直线

的距离是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

21. 已知函数

.

(1)讨论函数

的单调性;

(2)若

,求证:函数

有且只有一个零点.

请考生在22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线

的极坐标方程为

,以极点为原点,极轴为

轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线

的参数方程为

为参数).

(1)求曲线

的直角坐标方程与直线

的普通方程;

(2)设曲线

与直线

相交于

两点,以

为一条边作曲线

的内接矩形,求该矩形的面积.

23.选修4-5:不等式选讲

设实数

满足

.

(1)若

,求

的取值范围;

(2)若

,求证

.

2017届普通高中毕业班第一次适应性测试

数学试卷参考答案(文科)

一、选择题(每小题5分,共60分)

1-5:CABDD 6-10:BBBDC 11、12:DA

二、填空题(每小题5分,共20分)

13.7 14.

15.6 16.

三、解答题

17.解:(1)由余弦定理得:

.

.

(2)

为锐角,

,即

的面积

.

18.解:(1)根据

列联表可求得

的观测值

能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效.

(2)按分层抽样应从第一次月考数学优良成绩中抽取

个,

应从第二次月考数学非优良成绩中抽取

个,

记第一次月考抽取的3个成绩分别为

,第二次月考抽取的2个成绩分别为

则从中抽取2个的基本事件有:

共10个,

其中抽取的2个成绩来自同一次月考的基本事件有4个,

则所求概率为

.

19.解:(1)取

的中点为

,连接

的中点,

的中位线,即

到直线

的距离相等,则

平面

平面

,则

平面

.

(2)

,

是棱

的两个三等分点,

是正三角形,即

中,

,即

,则

平面

平面

平面

.

20.解:(1)

,化简得

,得

,则

椭圆

的方程为

.

(2)由题意知,直线

不过原点,设

(i)当直线

轴时,直线

的方程为

解得

,故直线

的方程为

原点

到直线

的距离为

.

(ii)当直线

不垂直于

轴时,

设直线

的方程为

,联立直线和椭圆方程消去

.

,故

①,

原点

到直线

的距离为

②,将①式代入②式得:

.

综上,点

到直线

的距离为定值

.

21.解:(1)

时,

,则

上单调递增;

时,由

,由

在区间

上单调递减,在区间

上单调递增.

(2)证明:由已知得

,则

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