2014年北师大新版八年级下册数学期中考试知识点复习(1)

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2014年北师大新版八年级下册数学期末考试知识点复习

第一章 证明(二)

一. 等腰三角形

※1. 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).

※2. 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边).

※3. 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”).

※4. 等边三角形的性质及判定定理

  性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°;等边三角形是轴对 称图形,有3条对称轴.

  判定定理:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形.

※5. 含30°的直角三角形的边的性质

  定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

二.直角三角形

※1. 勾股定理及其逆定理

  定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.

  逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.

※2. 命题与逆命题

  命题包括题设和结论两部分;逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的;正确的逆命题就是逆定

※3. 直角三角形全等的判定定理

定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)

 要点诠释:

 ①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意,不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”,应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.

 ②直角三角形的全等判定方法,还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法.

三. 线段的垂直平分线

※1. 线段垂直平分线的性质及判定

  性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

  判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

※2.三角形三边的垂直平分线的性质

  三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.

※3. 如何用尺规作图法作线段的垂直平分线

 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线.

  要点诠释:

  ①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围;

  ②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.

四. 角平分线

※1. 角平分线的性质及判定定理

  性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;

  判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上.

※2. 三角形三条角平分线的性质定理

  性质:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.

※3. 如何用尺规作图法作出角平分线

  要点诠释:

  ①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围;

  ②几何语言的表述,这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时,要构造全等三角形

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组

一. 不等关系

※1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.

¤2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.

※3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.

非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0

非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0

二. 不等式的基本性质

※1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:

(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:

如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.

(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即

如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,.

(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:

如果a>b,并且c<0,那么ac

※2. 比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式)

一般地:

如果a>b,那么a-b是正数;反过来,如果a-b是正数,那么a>b;

如果a=b,那么a-b等于0;反过来,如果a-b等于0,那么a=b;

如果a即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a a-b<0

(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.

三. 不等式的解集:

※1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.

※2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.

¤3. 不等式的解集在数轴上的表示:

用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:

①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;

②方向:大向右,小向左

四. 一元一次不等式:

※1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.

※2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.

※3. 解一元一次不等式的步骤:

①去分母; ②去括号; ③移项; ④合并同类项; ⑤系数化为1(不等号的改变问题)

※4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax①当a>0时,解为;②当a=0时,且b<0,则x取一切实数;当a=0时,且b≥0,则无解;

③当a<0时, 解为;

¤5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)

列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:

①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;

②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;④解: 解出所列的不等式的解集;

⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.

五. 一元一次不等式与一次函数

六. 一元一次不等式组

※1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.

※2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解.

几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.

※3. 解一元一次不等式组的步骤:

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;

(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.

两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a一元一次不等式

解集

图示

叙述语言表达

x>b

两大取较大

x>a

两小取小

a

大小交叉中间找

无解

在大小分离没有解

(是空集)

第三章 平移和旋转

一.图形的平移

※1. 概念:在平面内,将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,这样的图形运动叫做平移。

※2. 性质:(1)平移前后图形全等;?(2)对应点连线平行或在同一直线上且相等。

※3. 平移的作图步骤和方法:?

(1)分清题目要求,确定平移的方向和平移的距离;(2)分析所作的图形,找出构成图形的关健点;(3)沿一定的方向,按一定的距离平移各个关健点;(4)连接所作的各个关键点,并标上相应的字母;(5)写出结论

二.图形的旋转

※1. 概念:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动叫做旋转。?说明:(1)图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的;(2)旋转过程中旋转中心始终保持不动.(3)旋转过程中旋转的方向是相同的.(4)旋转过程静止时,图形上一个点的旋转角度是一样的.⑤旋转不改变图形的大小和形状.

※2. 性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前、后的图形全等.

※3. 旋转作图的步骤和方法:(1)确定旋转中心及旋转方向、旋转角;(2)找出图形的关键点;(3)将图形的关键点和旋转中心连接起来,然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数,得到这些关键点的对应点;(4)按原图形顺次连接这些对应点,所得到的图形就是旋转后的图形.?说明:在旋转作图时,一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角.

三.中心对称

※1.概念:把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称,也称这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心,两个图形中的对应点叫做对称点。

※2. 基本性质:?

(1)成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。?

(2)成中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。

※3. 中心对称图形?

(1)中心对称图形的有关概念:中心对称图形、对称中心?

把一个平面图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。?

(2)中心对称与中心对称图形的区别与联系??如果将成中心对称的两个图形看成一个图形,那么这个整体就是中心对称图形;反过来,如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形,那么这两个图形成中心对称。

(?3)图形的平移、轴对称(折叠)、中心对称(旋转)的对比?

第四章 分解因式

第四章 因式分解

一. 分解因式

※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.

※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.

因式分解与整式乘法的区别和联系:

(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

二. 提公共因式法

※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

如:

※2. 概念内涵:

(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;

(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:

※3. 易错点点评:

(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;

(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.

三. 运用公式法

※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.

※2. 主要公式:

(1)平方差公式:

(2)完全平方公式:

¤3. 易错点点评:

因式分解要分解到底.如就没有分解到底.

※4. 运用公式法:

(1)平方差公式:

①应是二项式或视作二项式的多项式;

②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.

(2)完全平方公式:

①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方; ③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.

※5. 因式分解的思路与解题步骤:

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

第五章 分式

一. 分式

※1. 两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.

整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.

※2. 整式和分式统称为有理式,即有:

※3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:

分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.

※4. 一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.

二. 分式的乘除法

※1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.

即:,

※2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方.

即:

逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.

※3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.

三. 分式的加减法

※1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.

※2. 分式的加减法:

分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.

(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;

上述法则用式子表示是:

(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;

上述法则用式子表示是:

※3. 概念内涵:

通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.

四. 分式方程

※1. 解分式方程的一般步骤:

①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;

②解这个整式方程;

③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.

※2. 列分式方程解应用题的一般步骤:

①审清题意;

②设未知数;

③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;

④解方程,并验根;

⑤写出答案.

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