高一数学人教A版必修2课后练习4.2.3直线与圆的方程的应用及解析

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课后导练

基础达标

1以点(-3,4)为圆心,且与x 轴相切的圆的方程是( )

A.(x-3)2+(y+4)2=16

B.(x+3)2+(y-4)2=16

C.(x-3)2+(y+4)2=9

D.(x+3)2+(y-4)2=9

解析:设圆半径为r,由于圆心到切线之距等于圆半径,所以r=4.

∴圆方程为(x+3)2+(y-4)2=16.

答案:B

2k 为任意实数,直线(k+1)x-ky-1=0被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的弦长为( )

A.8

B.4

C.2

D.与k 有关的值

解析:圆心(1,1)到直线的距离为 d=22)1(|

1)1(|k k k k ++--+=0,

∴直线过圆心,弦长为直径4.

答案:B

3过原点的直线与圆(x+2)+y 2=1相切,若切点在第三象限,则该直线方程为( ) A.y=3x B.y=3-x C.y=

33x D.y=3

3-x 解析:如图连结圆心A 和切点B,则AB ⊥OB,

∵|OA|=2,|AB|=1,

∴∠AOB=30°,

∴直线斜率k=3

3. 答案:C

4已知两直线l 1:mx+y-2=0和l 2:(m+2)x-3y+4=0与两坐标轴所围成的四边形有外接圆,则实数m 的值是( )

A.1或-3

B.-1或3

C.2或2

 D.21或-2 解析:由于圆内接四边形对角互补,所以l 1⊥l 2,则(-m)·

=-1,即m 2+2m-3=0.得m=1或m=-3.

答案:A

5过点(5,12)且与圆x 2+y 2=169相切的直线的方程是___________-.

解析:∵52+122=169,

∴点在圆上. ∵该点与圆心连线斜率为

512, ∴切线斜率为k=5

∴切线方程为y-12=5

-5). 答案:5x+12y-169=0

6以原点为圆心,在直线3x+4y+15=0上截得的弦长为8的圆的方程是___________-. 解析:圆心到直线3x+4y+15=0之距离为d=5

15=3, ∴圆半径r=2243+=5.∴圆方程为x 2+y 2=25.

答案:x 2+y 2=25

7与直线x+y=4平行且与圆x 2+y 2=8相切的直线方程是____________.

解析:设所求直线方程为x+y+d=0,则由222

||=d ,得d=4或d=-4(舍), ∴所求直线方程为x+y+4=0.

答案:x+y+4=0

8若圆x 2+(y-1)2=1上任意点(x,y)都使不等式x+y+m≥0恒成立,则实数m 的取值范围为_________.

解析:x+y+m≥0恒成立?m≥-(x+y)的最大值,令-x-y=d,即

x+y+d=0,由于直线x+y+d=0与圆x 2+(y-1)2=1有公共点, ∴2

|10|d ++≤1, ∴-1-2≤d≤2-1.

∴d 的最大值为2-1,

∴m≥2-1.

答案:m≥2-1

综合运用

9若直线ax+by-3=0与圆x 2+y 2+4x-1=0切于点P(-1,2),则ab 的积为__________.

解析:将圆方程配方得(x+2)2+y 2=5.由条件知点P 在直线上,

∴-a+2b-3=0.①

又圆心(-2,0)与点P(-1,2)的连线与直线垂直, ∴)()2(102b

a -?----=-1,即b=2a.② 由①②联立解得???==.

2,1b a

∴ab=2.

答案:2

10已知四边形ABCD 是平行四边形.

求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).

证明:设AC 与BD 交点为O,以O 为原点,以与AB 平行的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,b),B(c,b),则C(-a,-b),D(-c,-b),

∴|AC|2+|BD|2=(a+a)2+(b+b)2+(c+c)2+(b+b)2=4a 2+4c 2+8b 2=4(a 2+c 2+2b 2).

又|AB|2=(a-c)2=a 2+c 2-2ac,

|AD|2=(a+c)2+(b+b)2=a 2+c 2+2ac+4b 2,

∴|AB|2+|AD|2=2(a 2+c 2+2b 2).

故|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).

11过点P(6,8)作两条互相垂直的直线PA,PB,分别交x 轴正半轴于A,y 轴正半轴于B.

(1)求线段AB 中点轨迹方程.

(2)若S △AOB =S △APB ,求PA 与PB 所在直线方程.

解析:(1)设线段AB 中点为M(x,y)(x >0,y >0),由中点坐标公式得A(2x,0),B(0,2y), ∵PA ⊥PB,

∴k PA ·k PB =-1,即x 268-6

?=-1. 得3x+4y-25=0.

当PA 斜率不存在时,A(6,0),B(0,8).

则AB 中点M(3,4)也在直线3x+4y-25=0上,

∴AB 中点轨迹方程为3x+4y-25=0(x >0,y >0).

(2)设A(a,0),B(0,b)(a >0,b >0),则直线AB 方程为

b y a x +=1,即bx+ay-ab=0.由S △AOB =S △APB 知点O,P 到直线AB 距离相等,即

?86|b a ab a b b a ab +-+=+. ∴ab=4a+3b.①

又由PA ⊥PB 得,

桨 a -?-=-1得 3a+4b=50.②

由①②得a=6,b=8或a=325,b=4

25, ∴所求直线PA,PB 方程分别为

x=6,y=8或24x-7y-200=0,7x-24y-150=0.

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