2017版高考数学北师大版(理)一轮复习第11章统计与统计案例11.1随机抽样文档

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1.抽样调查

(1)抽样调查

通常情况下,从调查对象中按照一定的方法抽取一部分,进行调查或观测,获取数据,并以此对调查对象的某项指标作出推断,这就是抽样调查.

(2)总体和样本

调查对象的全体称为总体,被抽取的一部分称为样本.

(3)抽样调查与普查相比有很多优点,最突出的有两点:

①迅速、及时;

②节约人力、物力和财力.

2.简单随机抽样

(1)简单随机抽样时,要保证每个个体被抽到的概率相同.

(2)通常采用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数法.

3.分层抽样

(1)定义:将总体按其属性特征分成若干类型(有时称作层),然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本.这种抽样方法通常叫作分层抽样,有时也称为类型抽样.

(2)分层抽样的应用范围:

当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

4.系统抽样

系统抽样是将总体中的个体进行编号,等距分组,在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本,然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本.这种抽样方法有时也叫等距抽样或机械抽样.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)简单随机抽样是一种不放回抽样.( √ )

(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关.( × )

(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.( √ )

(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.( × )

(5)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( × )

1.(教材改编)某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人,35~49岁的有280人,50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为(  )

A.33人,34人,33人 B.25人,56人,19人

C.20人,40人,30人 D.30人,50人,20人

答案 B

解析 因为125∶280∶95=25∶56∶19,

所以抽取人数分别为25人,56人,19人.

2.(2015·四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是(  )

A.抽签法 B.系统抽样法

C.分层抽样法 D.随机数法

答案 C

解析 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法.

3.将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002,…,999,从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组编号为000,001,002,…,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个编号为(  )

A.700 B.669

C.695 D.676

答案 C

解析 由题意可知,第一组随机抽取的编号l=15,

分段间隔数k=

=20,则抽取的第35个编号为a35=15+(35-1)×20=695.

4.(教材改编)某公司共有1000名员工,下设若干部门,现采用分层抽样方法,从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本,已告知广告部门被抽取了4个员工,则广告部门的员工人数为________.

答案 50

解析 

,x=50.

5.某高中共有1200人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽样的方法从中抽取48人,那么高二年级被抽取的人数为________.

答案 16

解析 设高一、高二、高三年级的人数分别为a-d,a,a+d,则有3a=1200,所以a=400,则高二年级被抽取的人数为48×

=16.

题型一 简单随机抽样

例1 (1)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(  )

7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A.08B.07C.02D.01

(2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________.

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本;

②盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;

③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验;

④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.

答案 (1)D (2)①②③④

解析 (1)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.

(2)①不是简单随机抽样.

②不是简单随机抽样.由于它是放回抽样.

③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取.

④不是简单随机抽样.因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样.

思维升华 应用简单随机抽样应注意的问题

(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.

(2)在使用随机数法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.

 下列抽样试验中,适合用抽签法的有(  )

A.从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验

答案 B

解析 A,D中的总体中个体数较多,不适宜抽签法,C中甲、乙两厂的产品质量有区别,也不适宜抽签法,故选B.

题型二 系统抽样

例2 (1)(2015·湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示

若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是(  )

A.3B.4C.5D.6

(2)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为(  )

A.11B.12C.13D.14

答案 (1)B (2)B

解析 (1)由题意知,将1~35号分成7组,每组5名运动员,成绩落在区间[139,151]的运动员共有4组,故由系统抽样法知,共抽取4名.选B.

(2)由

=20,即每20人抽取1人,所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为

=12.

引申探究

1.本例(2)中条件不变,若第三组抽得的号码为44,则在第八组中抽得的号码是________.

答案 144

解析 在第八组中抽得的号码为(8-3)×20+44=144.

2.本例(2)中条件不变,若在编号为[481,720]中抽取8人,则样本容量为________.

答案 28

解析 因为在编号[481,720]中共有720-480=240人,又在[481,720]中抽取8人,

所以抽样比应为240∶8=30∶1,又因为单位职工共有840人,所以应抽取的样本容量为

=28.

思维升华 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.

(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.

(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定.

 将参加夏令营的600名学生编号为001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为(  )

A.26,16,8 B.25,17,8

C.25,16,9 D.24,17,9

答案 B

解析 由题意及系统抽样的定义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N+)组抽中的号码是3+12(k-1).

令3+12(k-1)≤300得k≤

,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25;

令300<3+12(k-1)≤495得

题型三 分层抽样

命题点1 求总体或样本容量

例3 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n等于(  )

A.9 B.10

C.12 D.13

答案 D

解析 ∵

,∴n=13.

命题点2 求某层入样的个体数

例4 (2015·福建)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为________.

答案 25

解析 由题意知,男生共有500名,根据分层抽样的特点,在容量为45的样本中男生应抽取人数:45×

=25.

思维升华 分层抽样问题类型及解题思路

(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.

(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.

(3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.

 (1)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(  )

A.200,20 B.100,20

C.200,10 D.100,10

(2)(2014·湖北)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.

答案 (1)A (2)1800

解析 (1)该地区中小学生总人数为

3500+2000+4500=10000,

则样本容量为10000×2%=200,其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%=20,故选A.

(2)设乙设备生产的产品总数为x件,则甲设备生产的产品总数为(4800-x)件.由分层抽样特点,结合题意可得

,解得x=1800.

五审图表找规律

典例 (12分)某单位有2000名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如下表所示:

人数

管理

技术开发

营销

生产

共计

老年

40

40

40

80

200

中年

80

120

160

240

600

青年

40

160

280

720

1200

共计

160

320

480

1040

2000

(1)若要抽取40人调查身体状况,则应怎样抽样?

(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人?

(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解,则应怎样抽样?

抽取40人调查身体状况

↓(观察图表中的人数分类统计情况)

样本人群应受年龄影响

↓(表中老、中、青分类清楚,人数确定)

要以老、中、青分层,用分层抽样

要开一个25人的座谈会

↓(讨论单位发展与薪金调整)

样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响

↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚,人数确定)

要以管理、技术开发、营销、生产人员分层,用分层抽样

要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解

可认为亚运会是大众体育盛会,一个单位人员对情,况了解相当

将单位人员看作一个整体

↓(从表中数据看总人数为2000人)

人员较多,可采用系统抽样

规范解答

解 (1)按老年、中年、青年分层,用分层抽样法抽取,[1分]

抽取比例为

.[2分]

故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人.[4分]

(2)按管理、技术开发、营销、生产分层,用分层抽样法抽取,[5分]

抽取比例为

,[6分]

故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人.[8分]

(3)用系统抽样,

对全部2000人随机编号,号码从0001~2000,每100号分为一组,从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码,然后将这个号码分别加100,200,…,1900,共20人组成一个样本.[12分]

温馨提醒 (1)本题审题的关键有两点,一是对图表中的人员分类情况和数据要审视清楚;二是对样本的功能要审视准确.

(2)本题易错点是,对于第(2)问,由于对样本功能审视不准确,按老、中、青三层分层抽样.

[方法与技巧]

1.简单随机抽样的特点:总体中的个体性质相似,无明显层次;总体容量较小,尤其是样本容量较小;用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性;个体间无固定间距.

2.系统抽样的特点:适用于元素个数很多且均衡的总体;各个个体被抽到的机会均等;总体分组后,在起始部分抽样时,采用简单随机抽样.

3.分层抽样的特点:适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;分层后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.

[失误与防范]

进行分层抽样时应注意以下几点:

(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是层内样本的差异要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠.

(2)为了保证每个个体等可能入样,所有层中每个个体被抽到的可能性相同.\\

A组 专项基础训练

(时间:30分钟)

1.为了了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(  )

A.简单随机抽样

B.按性别分层抽样

C.按学段分层抽样

D.系统抽样

答案 C

解析 不同的学段在视力状况上有所差异,所以应该按照学段分层抽样.

2.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为(  )

A.6 B.8

C.10 D.12

答案 B

解析 设样本容量为N,则N×

=6,∴N=14,

∴高二年级所抽学生人数为14×

=8.

3.某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270,使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段,如果抽得号码有下列四种情况:

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250

②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265

③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254

④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270

关于上述样本的下列结论中,正确的是(  )

A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样

C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样

答案 D

解析 因为③为系统抽样,所以选项A不对;因为②为分层抽样,所以选项B不对;因为④不为系统抽样,所以选项C不对,故选D.

4.从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是(  )

A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43

C.1,2,3,4,5 D.2,4,6,16,32

答案 B

解析 间隔距离为10,故可能的编号是3,13,23,33,43.

5.(2015·北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为(  )

类别

人数

老年教师

900

中年教师

1800

青年教师

1600

合计

4300

A.90 B.100\\

C.180 D.300

答案 C

解析 由题意得,抽样比为

,∴该样本的老年教师人数为900×

=180(人).

6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名学生.

答案 15

解析 抽取比例与学生比例一致.

设应从高二年级抽取x名学生,则x∶50=3∶10.解得x=15.

7.某校共有学生2000名,各年级男、女学生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为________.

一年级

二年级

三年级

女生

373

x

y

男生

377

370

z

答案 16

解析 依题意可知二年级的女生有380人,那么三年级的学生人数应该是2000-373-377-380-370=500,即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×

=16.

8.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1~160编号,按编号顺序平均分成20组(1~8号,9~16号,…,153~160号),若第16组抽出的号码为123,则第2组中应抽出个体的号码是________.

答案 11

解析 由题意可知,系统抽样的组数为20,间隔为8,设第1组抽出的号码为x,则由系统抽样的法则可知,第n组抽出个体的号码应该为x+(n-1)×8,所以第16组应抽出的号码为x+(16-1)×8=123,解得x=3,所以第2组中应抽出个体的号码为3+(2-1)×8=11.

9.将某班的60名学生编号为01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是______________.

答案 16,28,40,52

解析 编号组数为5,间隔为

=12,

因为在第一组抽得04号:

4+12=16,16+12=28,28+12=40,40+12=52,

所以其余4个号码为16,28,40,52.

10.某政府机关有在编人员100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人.上级机关为了了解政府机构改革意见,要从中抽取一个容量为20的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施抽取.

解 用分层抽样方法抽取.

具体实施抽取如下:

(1)∵20∶100=1∶5,∴

=2,

=14,

=4,

∴从副处级以上干部中抽取2人,从一般干部中抽取14人,从工人中抽取4人.

(2)副处级以上干部与工人的人数较少,他们分别按1~10编号与1~20编号,然后采用抽签法分别抽取2人和4人;对一般干部70人采用00,01,02,…,69编号,然后用随机数法抽取14人.

(3)将2人,4人,14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本.

B组 专项能力提升

(时间:25分钟)

11.某班共有52人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知3号、29号、42号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是(  )

A.15B.16

C.20D.55

答案 B

解析 因为29号、42号的号码差为13,所以3+13=16,即另外一个同学的学号是16.

12.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为(  )

A.7 B.9

C.10 D.15

答案 C

解析 由系统抽样的特点知:抽取号码的间隔为

=30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n项,显然有729=459+(n-1)×30,解得n=10.所以做问卷B的有10人.

13.200名职工年龄分布如图所示,从中随机抽取40名职工作样本,采用系统抽样方法,按1~200编号,分为40组,分别为1~5,6~10,…,196~200,第5组抽取号码为22,第8组抽取号码为________.若采用分层抽样,40岁以下年龄段应抽取________人.

答案 37 20

解析 将1~200编号分为40组,则每组的间隔为5,其中第5组抽取号码为22,则第8组抽取的号码应为22+3×5=37;由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%=100,设在40岁以下年龄段中应抽取x人,则

,解得x=20.

14.一个总体中有90个个体,随机编号0,1,2,…,89,依从小到大的编号顺序平均分成9个小组,组号依次为1,2,3,…,9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同,若m=8,求在第8组中抽取的号码是________.

答案 76

解 由题意知:m=8,k=8,则m+k=16,也就是第8组抽取的号码个位数字为6,十位数字为8-1=7,故抽取的号码为76.

15.某公路设计院有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体,如果参会人数增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求n.

解 总体容量为6+12+18=36.

当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为

,分层抽样的比例是

,抽取的工程师人数为

×6=

,技术员人数为

×12=

,技工人数为

×18=

所以n应是6的倍数,36的约数,即n=6,12,18.

当样本容量为(n+1)时,总体容量是35人,系统抽样的间隔为

,因为

必须是整数,所以n只能取6.即样本容量n=6.

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