2019版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课学案苏教版选修1 - 437

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第二章 圆锥曲线与方程

学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用,会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质,会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.

知识点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质

椭圆

双曲线

抛物线

定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹

平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹

平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹

标准

方程

=1或

=1

(a>b>0)

=1或

=1

(a>0,b>0)

y2=2px或y2=-2px或x2=2py或x2=-2py

(p>0)

关系式

a2-b2=c2

a2+b2=c2

图形

封闭图形

无限延展,但有渐近线y=±

x或y=±

x

无限延展,没有渐近线

变量

范围

|x|≤a,|y|≤b或|y|≤a,|x|≤b

|x|≥a或|y|≥a

x≥0或x≤0或y≥0或y≤0

对称性

对称中心为原点

无对称中心

两条对称轴

一条对称轴

顶点

四个

两个

一个

离心率

e=

,且0e=

,且e>1

e=1

决定形状的因素

e决定扁平程度

e决定开口大小

2p决定开口大小

知识点二 焦点三角形

1.椭圆的焦点三角形

设P为椭圆

=1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上),F1,F2为焦点且∠F1PF2=α,则△PF1F2为焦点三角形(如图).

(1)焦点三角形的面积为S=b2tan

.

(2)焦点三角形的周长为L=2a+2c.

2.双曲线的焦点三角形

焦点三角形的面积为S=

.

知识点三 求圆锥曲线方程的一般步骤

一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.

1.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.

2.定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0).

3.定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小.

知识点四 离心率

1.定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=

,已知其中的任意两个参数,可以求其他的参数,这是基本且常用的方法.

2.方程法:建立参数a与c之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的十分重要的思路及方法.

3.几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问题更形象、直观.

知识点五 直线与圆锥曲线的位置关系

1.直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况:一是相切;二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行.

2.直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合,以形辅数的方法;还要多结合圆锥曲线的定义,根与系数的关系以及“点差法”等.

类型一 圆锥曲线的定义及应用

例1 设F1,F2为曲线C1:

=1的左,右两个焦点,P是曲线C2:

-y2=1与C1的一个交点,则△PF1F2的面积为________.

反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决.

跟踪训练1 已知椭圆

+y2=1(m>1)和双曲线

-y2=1(n>0)有相同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点,则△F1PF2的形状是____________.

类型二 圆锥曲线的性质及其应用

例2 (1)已知a>b>0,椭圆C1的方程为

=1,双曲线C2的方程为

=1,C1与C2的离心率之积为

,则C2的渐近线的斜率为______________.

(2)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线

-y2=1交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则该双曲线的离心率是________.

反思与感悟 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题,只要掌握基本公式和概念,并且充分理解题意,大都可以顺利求解.

跟踪训练2 已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆

=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且

·

=c2,则此椭圆离心率的取值范围是____________________________________.

类型三 直线与圆锥曲线的位置关系

例3 已知椭圆

=1(a>b>0)上的点P到左,右两焦点F1,F2的距离之和为2

,离心率为

.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点,若y轴上一点M(0,

)满足MA=MB,求直线l的斜率k的值.

 

 

 

反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似,一般有两种方法:

(1)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数值域的方法求解.

(2)不等式法:根据题意建立含参数的不等关系式,通过解不等式求参数范围.

跟踪训练3 如图,焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A,B,且

与n=(

,-1)共线.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q,且原点O总在以PQ为直径的圆的内部,求实数m的取值范围.

 

 

 

1.已知F1、F2是椭圆

=1的左、右焦点,弦AB过F1,若△ABF2的周长为8,则椭圆的离心率为________.

2.设椭圆

=1 (m>n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为

,则此椭圆的方程为__________.

3.以抛物线y2=4x的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为2的双曲线的标准方程为____________.

4.若抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点的距离的和是5,则线段AB的中点P到y轴的距离是________.

5.过椭圆

=1内一点P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是____________.

在解决圆锥曲线问题时,待定系数法,“设而不求”思想,转化与化归思想是最常用的几种思想方法,“设而不求”思想,在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具,很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题.

提醒:完成作业 第2章 章末复习课

答案精析

题型探究

例1 

跟踪训练1 直角三角形

例2 (1)±

 (2)

跟踪训练2 

例3 解 (1)由题意知,

PF1+PF2=2a=2

所以a=

.

又因为e=

所以c=

×

=1,

所以b2=a2-c2=2-1=1,

所以椭圆的标准方程为

+y2=1.

(2)已知椭圆的右焦点为F2(1,0),直线斜率显然存在,

设直线的方程为y=k(x-1),

两交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).

联立直线与椭圆的方程,

化简得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,

所以x1+x2=

y1+y2=k(x1+x2)-2k=

.

所以AB的中点坐标为(

).

①当k≠0时,AB的中垂线方程为y-

=-

(x-

),

因为MA=MB,

所以点M在AB的中垂线上,

将点M的坐标代入直线方程,得

即2

k2-7k+

=0,

解得k=

或k=

②当k=0时,AB的中垂线方程为x=0,满足题意.

所以斜率k的取值为0,

.

跟踪训练3 解 (1)因为2c=2,

所以c=1.

=(-a,b),且

∥n,

所以

b=a,所以2b2=b2+1,

所以b2=1,a2=2.

所以椭圆E的标准方程为

+y2=1.

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