2-5极限存在准则两个重要极限0926

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第五节 极限存在准则 两个重要极限极限存在准则 两个重要极限 小结 思考题 作业第二章 极限1 与连续一、极限存在准则1. 夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 {xn}{,yn}及 {zn}满足下列条件:( 1 )y n ? x n ? z n (n ? 1 ,2 ,3 ? ),(2)ln? im ?yn?a, ln? i ?mzn ?a,那末数列 {xn}的极限存在,且 ln? i?mxn ?a.证 ?yn?a, zn?a,???0, ?N1?0,N2?0,使得2(1)yn?xn?zn当 n ? N 1 时恒 y n? a? 有 ? , 当 n ?N 2 时恒 zn? a? 有 ? , 取 N ? mN a 1 ,N x 2 }上{ ,两式同时成立,即 a ? ? ? y n ? a ? ? ,a ? ?? zn? a ? ? ,当n?N时 , 恒有 a???yn?xn?zn?a??,即 xn?a??成,立 ?ln? i? m xn?a.上述数列极限存在的准则可以推广到函数 的极限.3准则Ⅰ’ 如果 (1)当 x?U??(x0) (或| x|?M),有 g(x)?f(x)?h (x)(2) lim g(x) ? A, lim h(x) ? A,x?x0(x??)x? x0(x??)那末 lim f ( x ) 存在, 且等于A. (xx??x?0)准则Ⅰ和 准则Ⅰ’ 称为 夹逼准则.利用夹逼准则 键求 是极 构限 yn造 与关 zn出 , 并且 yn与zn的极限是容 . 易求的4例 求 li(m 1 ?1 ? ? ? 1).n ? ?n 2? 1 n 2? 2n 2? n解 ? n ? 1 ??? 1 ? n ,n 2 ? n n2?1n2?n n2 ? 1又lim n ?lim 1 n?? n2 ?n n?? 1?1?1,nn1lim n?? n2?lim ?1 n?? 1?n12?1,由夹逼定理得li(m 1?1 ? ? ?1)? 1 .n ? ?n 2? 1 n 2? 2n 2? n5例 求lx? i0mx???1x????1解: 当 x?0,有1 x?1????1 x????1 x,当 x?0,有 1?x?x???1x????1,由夹逼准则limx?0_x?1? ?? x???1当x?0,有 1?x?x???1x????1,由夹逼准则limx?0?x?1? ?? x???1?limx?0x? ??1? x ???162. 单调有界准则 数列有界对{数 y n }的 列 一 y n ,( n 切 ? 1 ,2 ,3 ? 项 ) ,若?常数M,使得:?1?yn?M ,称?数 n y?有 列 上界; ?2 ?yn?M ,称?数 n y ?有 列 下界; ?3? yn?M ,称 ?yn 数 ?有列 界;7如果数{x列 n}满足条件 x 1 ? x 2 ? ? x n ? x n ? 1 ? ? ,单调增加 单调数列 x 1 ? x 2 ? ? x n ? x n ? 1 ? ? ,单调减少准 则 Ⅱ 单调有界数列必有极限. 即 单调增加且有上界的数列必有极限.单调减少且有下界的数列必有极限. 几何解释:x 1 x 2 x 3x n xn?1 A M x8极限存在准则1. 夹逼准则准( 1 则)y Ⅰn ? 如准x (1果n )则? 数当 Ⅰz 列xn ’? {g 如U x(n x ??果}( )(n {x ? ,y0? n )f}1 (及 (,或 x 2 {,)3 z|? n ? x}h |满) ?(x 足M ),下),有列条件:(2)ln? im ?yn(2?) ali,mgln(? ix?m ) z?n?a, A, limh( x)?A,x?x0x? x0那末数列那{x(末xn? }? 的li)m极f限( x存) 在存,在且(x,?

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