2-5极限存在准则两个重要极限

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第五节 极限存在准则 两个重要极限? 一、极限存在准则 ? 二、两个重要极限 ? 三、小结 思考题一、极限存在准则1.夹逼准则准则Ⅰ 如果数列 xn , yn及 zn满足下列条件: (1) yn ? xn ? zn (n ? 1,2,3?)(2)limn??yn?a,limn??zn?a,那末数列 xn的极限存在,且lim n??xn? a.证 ? y n? a , zn? a ,? ? ? 0 ,? N 1? 0 ,N 2? 0 ,使得当 n ? N 1 时恒 y n? a? 有 ? , 当 n ?N 2 时恒 zn? a? 有 ? , 取 N ? mN a 1 ,N x 2 }{ ,上两式同时成立,即 a ? ? ? y n ? a ? ? , a ? ?? zn? a ? ? ,? ? 当n?N时 , 恒有 a ? ? y n ? x n ? z n ? a ? ,即 xn?a??成,立?ln? i? m xn?a.上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 x ?U (x0 ,? ) (或 x ? M )时,有(1) g( x) ? f ( x) ? h( x),(2) lim g( x) ? A, lim h( x) ? A,x? x0 ( x?? )x? x0 ( x?? )那末 lim f ( x)存在, 且等于 A. x? x0准则 I( x和??准) 则 I'称为夹逼准则.注意: 利用夹逼准则 键求 是极 构限 yn造 与关 zn出 , 并且 yn与zn的极限是容 . 易求的例1 求 li(m 1 ?1 ? ? ? 1).n ? ?n 2? 1 n 2? 2n 2? n解 ? n?1? ? ?1?n,n 2 ? nn 2 ? 1 n 2 ? nn 2 ? 1又lim n ?lim 1 n?? n2 ?n n?? 1?1?1,nn1lim n?? n2?lim ?1 n?? 1?n12?1,由夹逼定理得li(m 1?1 ? ? ?1)? 1 .n ? ?n 2? 1 n 2? 2n 2? n例2 证明: lim n a?1(a?0). n??证 当a=1时,结论显然成立.先设a>1,令 n a ?1?xn,则 xn>0, 由贝努利不等式,有a?(1?xn)n?1?nnx,从而有1?na?1?xn?1?an ?1,1由夹逼准则知lim nn??a?1成立.当00,结论成立.例3 求 lim n ! . n n ? ? n解因n! 1 2 n ?1 n 10 ? nn ? n n?, nn n而 lim 1 ? 0 , 所 以 n? ? nn!limn? ?nn=0.2.单调有界准则不等式为严格不等式时, 称为严格单调如果数 xn满 列足条件x 1 ? x 2 ? ? x n ? x n ? 1 ? ? ,单调增加 单调数列 x 1 ? x 2 ? ? x n ? x n ? 1 ? ? ,单调减少准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.几何解释:可利用确界存在定理 证明x 1 x 2 x 3x n xn?1 A M x例4 证明x数 n?列 3? 3? ? ? 3 (n重根 式 )的极限 . 存在证 显x n ? 然 1?x n , ??xn?是单调递 ; 增的又 ? x 1?3?3 ,假x 定 k?3, xk?1?3?xk? 3?3? 3,??xn?是有界 ; 的 ?ln? im ?xn 存在 .? x n ? 1?3?x n, xn 2?1?3?xn, ln ? i? x m n 2 ? 1?ln ? i? (m 3?xn),A2 ?3?A, 解A 得 ?1?1,3A ?1?1(3 舍去)22?ln? i? m xn?1? 13. 2

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