2-5微分--经济数学--赵树嫄

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第二章一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用2019/6/12蚌埠学院 高等数学1恩格斯在《自然辩证法》中,对微分作了一个 形象的解释:硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气,取一块正方 形硫磺薄板,放入容器,立刻降低容器内的温度,则 硫磺气凝固为硫磺,一部分附着于薄板,设薄板的一 对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的物质遮 盖,再设另一对相邻两边的那一层硫磺分子,而误差 就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条直线上的 分子很多,误差的这一个分子和它们相比,是微不足 道的。2019/6/12蚌埠学院 高等数学2一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其边长由x 0 变到 x0??x,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A? x2, 当 x 在 x 0 取得增量?x 时, 面积的增量为? A ?(x0?? x)2?x2 ?2x0?x?(?x)2关于△x 的 ?x?0时为线性主部 高阶无穷小?x x0?xx 0 A ? x02(?x)2x0?x故 ?A?2x0?x 称为函数在 x 0 的微分2019/6/12蚌埠学院 高等数学3定义:若函数 y?f(x)在点 x 0 的增量可表示为 ? y ? f( x 0 ? ? x ) ? f( x 0 )?A ? x?o (? x)( A 为不依赖于△x 的常数)则称函数 y?f(x)在点 x 0 可微,而 A?x 称为 f (x) 在 点 x0 的微分,记作 d y 或 d f , 即dy?A?x注1: A 是? x 与 无关,但 的 f(与 x 常 )和 x0有 数 ;关注2: dy是自变量的?改 x的变线量性函 ; 数2019/6/12蚌埠学院 高等数学4定理:函数 y?f(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 y?f(x) 在点 x 0处可导, 且 A?f?(x0), 即 d y?f?(x0)? x证:“必要性”已知 y?f(x)在点 x 0 可微,则 ? y ? f( x 0 ? ? x ) ? f( x 0 )?A ? x?o (? x)?lim ?y?lim (A?o(? x))?A ? x? 0? x ? x? 0 ? x故 y?f(x)在点 x 0 的可导,且 f?(x0)?A2019/6/12蚌埠学院 高等数学5定理:函数 y?f(x) 在点 x 0 可微的充要条件是 y?f(x) 在点 x 0 处可导,且 A?f?(x0), 即 d y?f?(x0)? x“充分性” 已知 y?f(x)在点 x 0 的可导,则lim?y? ?x?0?xf?(x0)?? ?xy?f?(x0)??( lim??0) ?x?0? 故 ? y? f?(x 0 )? x ?? x? ?f??(?x 0 ?)?? x ? o ( ? x )即 dy?f?(x0)? x线性主部 (f?(x0)?0时 )2019/6/12蚌埠学院 高等数学6? 可 ? 可 . 导 A ? 微 f ? ( x 0 ).注1:函数 y?f(x)在任x意 的点 微 , 称 分为函数 微,分 记作 d或 yd(fx),即 dy?f?(x)d.x注 2:函数的 d与 y微 自 分 变量 d之 的 x 商 微等 分该函数.的 导导 数数 \

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