2-7函数的连续性

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第七节 函数的连续性函数的连续(continuity) 函数的间断点(discontinuous point)1一、函数的连续性1. 函数的增量自变量 x 0 ?x, 称差 ?x?x?x0为自变量在 x 0 的增量;函数随着从 f ( x0 )?f ( x), 称差?y?f(x)?f(x0)?f(x0?? x)?f(x0)为函数的增量. y 如图:x?x0??xy?f(x)?y?xf (x0)yf (x0)?yy?f(x)?xO x0x0 ??x x Ox 0 x0 ??x x22. 连续的定义定义1 设函数 f (x)在U? (x0)内有定义, 若l i m?y ?0?x?0则称函数f(x)在x0处 连续,并称x0为函数f(x)的 连续点.设 x?x0?? x,? y?f(x )?f(x 0), ?x?0即为 x?x0,?y?0即f为 (x)? f(x0). 定义2 若xl? im x0 f(x)?f(x0),则称函数f(x)在x0处 连续.3定义3 (? ??) ???0, ???0,使得 x?x 当 0??时 ,恒f有 (x)?f(x0)??.连续定义的 三要素:(1) f (x)在U? (x0)内有定义;(2) lim f (x)存在; x?x0(3) lim f (x) ? f (x0) x?x0极限与连续之间的关系:f (x)在x0点连续 ? ?f (x)在x0点存在极限4定义2 lim f (x) ? f (x0) x?x0例 试证函数 f(x)?? ? ?xsin 1 x, x?0, 在 x?0 ? ? 0, x?0,处连续.证 ?limxsin1 ? 0 ,x?0x又f(0)?0, lim f(x)?f(0), x? 0函f数 (x)在 x?0处连 . 续53. 左、右连续若 x l? ix0 ?m f(x)?f(x0)?f(x 0? 0 )? f(x 0 )?,则f称 (x)在x点 0处左连续(continuity from theleft).若 xl? ixm 0 ?f(x)?f(x0) ?f(x 0? 0 )?f(x 0 )?,则f称 (x)在x 点 0处 右连续(continuity from theright).yy左连. 续右连续Ox0xOx0x6函数 f(x)在x0处连的 续充要条件定理1 函数 f(x)在x0处连? 续函数f(x)在x0处既左连 又 右续连 续 .?f ( x 0 ? 0 ) ? f ( x 0 ? 0 ) ? f ( x 0 ) ?此定理常用于判定分段函数在分段点 处的连续性.7例 讨论 f(x 函 )?? ?数 x2, x?1, ?x?1, x?1, y在x?1处的连续. 性解 lim f (x)?limx2 ?1? f(1),x?1?x?1?O 1xlim f (x)?lim(x?1)?2 ? f(1),x?1?x?1?所以 f(x)在x?1左连续,在x ?1右不连续.故函 f(x 数 )在x 点 ?1处不.连续84. 连续函数(continous function)与连续区间在区间上每一点都连续的函数, 称为该区间上的 连续函数,或称函数在该区间上连续.这时也称该区间为 连续区间.continuousf (x)在开区间 (a, b) 内连续 f(x)? C (a,b) 左端点 x?a右连续 (lim f(x)?f (a))x? a?右端点 x?b左连续 (limf(x)?f (b)) x?b?f(x )在闭 [a ,b ]上 区 .连 f( 间 x )? C [ 续 a ,b ]9二、函数的间断点及其分类定义4 若 f(x)在 x0处出现如下三种情形之一: (1)f(x)在x点 0处 无定义;(2) limf(x)不存在; x?x0(3) limf(x) x?x0?f(x0).则x 称 0为 f(x)的 间断点.12间断点分为两类:第一类间断点(discontinuity point of the first kind):f(x0?0)及 f(x0

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