2-7微分中值定理

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1、罗尔2113中值定理:若f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;5261(41022)在1653(a,b)上可导;(3)f(a)=f(b).则至少存在c∈(a,b),使f(c)'=02、拉格朗日中值定理:若f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导。则至少存在c∈(a,b),使f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)或f(a+h)-f(a)=f'(a+θh),其中h=b-a,0<θ<13、柯西中值定理:若f(x)与g(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)g'(x)≠0.则至少存在c∈(a,b),使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(c)/g'(c),罗尔定理内容:如果函数5261f(x)满足:在闭4102区间[a,b]上连续;1653在开区间(a,b)内可导;在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0.几何上,罗尔定理的条件表示,曲线弧 (方程为 )是一条连续的曲线弧 ,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明:弧上至少有一点 ,曲线在该点切线是水平的.。拉格朗日定理内容:如果函数 f(x) 满足:1)在闭区间[a,b]上连续;2)在开区间(a,b)内可导。那么:在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b),使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。柯西定理内容:如果函数f(x)及F(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)对任一x∈(a,b),F'(x)≠0那么在(a,b) 内至少有一点ξ,使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)成立[中值定理]分为: 微分中值定理和积分中值定理:以上四个为微分中值定理定积分第一中值定理为:f(x)在a到b上的定积分等于f(ξ)(b-a)(存在a<ξ<b使得该式成立)本回答被提问者采纳www.07swz.com防采集请勿采集本网。

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(1)构造函数 g(x)=e^x·f(x) 在[a,c]和[c,b]上应用罗尔中值定理即可。(2)构造函数 h(x)=e^(-x)·[f '(x)+f(x)] 在[ξ1,ξ2]应用罗尔中值定理。

第二章 一元微分学及其应用

从数学本身来讲,存在性的定理基本上是最重要的,中值定理无一例外的都是存在性定理,并且其技术价值也远不止表述几何直观那样简单,基本上可以说第一代微积分的大厦至少有一半是由各种中值定理(包括积分

2-1 导数——瞬时变化率 2-2 导数的基本公式及运算法则 2-3 导数的应用 2-4 高阶导数及其应用 2-6 函数的微分及其应用 2-7 微分中值定理 2-8 洛必达法则 2-7 微分中值定理

导数又称微商 这个学过高数的应该都知道 至于为什么要叫微分中值定理而不叫导数中值定理这跟定理的理论产生背景有关,在某些问题中当自变量x取得有限增量Δx而需要函数增量的准确表达式时,微分中值定理就

一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 一、罗尔中值定理

2、构造函数,用拉格朗日定理证明 如下图:

【引例1】f ( x)在[a , b ] 上连续,在( a , b ) 内可导,则该函数 的图像是一条光滑的曲线. 若 f(a)?f(b),能否在( a , b )

高数微分中值定理 选C 在【x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件。

内找到一点 ? ,使得f ( x)在 ? 点处的切线平行于AB? y

f?(?)?0ABoa?bx 一、罗尔中值定理

【罗尔中值定理】若函数 f ( x) 满足: (1) 在[a, b]上连续(2) 在(a, b)上可导(3) f(a)?f(b)

则 ???(a,b),使得 f?(?)?0.

例如:f(x)?x2?x,在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理的条件. 【注】罗尔中值定理的三个条件缺一不可.

反(例 1): f(x)?? ? ? ? ?1 0,?x x,?x 0?(0,1] 反 (2 )例 :f(x )? |x |,x ? [? 1 ,1 ] 反(3 ) 例 :f(x )?x ,x ? [0 ,1 ] 一、罗尔中值定理 2-7 微分中值定理

一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 二、拉格朗日中值定理

【引例2】 f ( x)在[a , b ]上的连续,在( a , b ) 可导,则该函数

的图像是一条光滑的曲线. 能否在( a , b )内找到一点?,使 得 f ( x)在 ? 点处的切线平行于AB?y

f?(?)?kAB ?f(bb)? ?af(a)BAoa ?bx 二、拉格朗日中值定理

【拉格朗日中值定理】若函数 f ( x) 满足: (1) 在[a, b]上连续(2) 在(a, b)上可导? 则 ???(a,b),使得 f( b )? f( a )? f?()b ( ? a ).

【注】罗尔中值定理是拉格朗日中值定理当 f(a)?f(b)时 的特殊情况. 罗尔中值定?理拉格朗日中值定理罗拉 二、拉格朗日中值定理? 二、拉格朗日中值定理

【例】若在区间I上恒有 f?(x)?0,则f(x)?C. 证明:? ? ?x1?x2?I, f(x)在 [x1, x2]上 满?中 足值 拉定 理 条? ? ( x 1 ,x 2 ) , 使 f ( x 2 ) ? f ( 得 x 1 ) ? f ? ( ) x 2 ? ( x 1 ),

由已 , f知 ?(?)?0? f(x2)?f(x1),

由x1与x2的任意性, 知 f(x)?C. 2-7 微分中值定理

一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 三、柯西中值定理

【柯西中值定理】若函数 f (x), F(x)均满足:

(1) 在[a, b]上连续(2) 在(a, b)上可导

(3) F?(x)在(a, b)上恒不 0 为

则 ???(a,b),使得

f?(?)? f(b)?f(a) F?(?) F(b)?F(a).?X?F(x) ??Y? f(x)

(a?x?b)

dY?f?(x)dx?f?(x) dX F?(x)dx F?(x)B(F(b),f(b)) ?A(F(a),f(a)) 三、柯西中值定理 小结罗拉柯

罗尔中值? 定拉理格朗日中值 ? 定 柯西理中值定理

对于连续函数f(x),若f(a)=f(b)=0,则必存在x属于(a,b),使得f'(x)=0;或若f(b)≠f(a),必有x属于(a,b),使得 f(b)-f(a)/b-a=f'(x)条件可能不是很严谨,可以参考《高等数学》同济版内容来自www.07swz.com请勿采集。

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