2-7微分中值定理

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第二章 一元微分学及其应用2-1 导数——瞬时变化率 2-2 导数的基本公式及运算法则 2-3 导数的应用 2-4 高阶导数及其应用 2-6 函数的微分及其应用 2-7 微分中值定理 2-8 洛必达法则2-7 微分中值定理一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理一、罗尔中值定理【引例1】f ( x)在[a , b ] 上连续,在( a , b ) 内可导,则该函数 的图像是一条光滑的曲线. 若 f(a)?f(b),能否在( a , b )内找到一点 ? ,使得f ( x)在 ? 点处的切线平行于AB? yf?(?)?0ABoa?bx一、罗尔中值定理【罗尔中值定理】若函数 f ( x) 满足: (1) 在[a, b]上连续(2) 在(a, b)上可导(3) f(a)?f(b)则 ???(a,b),使得 f?(?)?0.例如:f(x)?x2?x,在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理的条件. 【注】罗尔中值定理的三个条件缺一不可.反(例 1): f(x)?? ? ? ? ?1 0,?x x,?x 0?(0,1] 反 (2 )例 :f(x )? |x |,x ? [? 1 ,1 ] 反(3 ) 例 :f(x )?x ,x ? [0 ,1 ]一、罗尔中值定理2-7 微分中值定理一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理二、拉格朗日中值定理【引例2】 f ( x)在[a , b ]上的连续,在( a , b ) 可导,则该函数的图像是一条光滑的曲线. 能否在( a , b )内找到一点?,使 得 f ( x)在 ? 点处的切线平行于AB?yf?(?)?kAB ?f(bb)? ?af(a)BAoa ?bx二、拉格朗日中值定理【拉格朗日中值定理】若函数 f ( x) 满足: (1) 在[a, b]上连续(2) 在(a, b)上可导? 则 ???(a,b),使得 f( b )? f( a )? f?()b ( ? a ).【注】罗尔中值定理是拉格朗日中值定理当 f(a)?f(b)时 的特殊情况. 罗尔中值定?理拉格朗日中值定理罗拉二、拉格朗日中值定理?二、拉格朗日中值定理【例】若在区间I上恒有 f?(x)?0,则f(x)?C. 证明:? ? ?x1?x2?I, f(x)在 [x1, x2]上 满?中 足值 拉定 理 条? ? ( x 1 ,x 2 ) , 使 f ( x 2 ) ? f ( 得 x 1 ) ? f ? ( ) x 2 ? ( x 1 ),由已 , f知 ?(?)?0? f(x2)?f(x1),由x1与x2的任意性, 知 f(x)?C.2-7 微分中值定理一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理三、柯西中值定理【柯西中值定理】若函数 f (x), F(x)均满足:(1) 在[a, b]上连续(2) 在(a, b)上可导(3) F?(x)在(a, b)上恒不 0 为则 ???(a,b),使得f?(?)? f(b)?f(a) F?(?) F(b)?F(a).?X?F(x) ??Y? f(x)(a?x?b)dY?f?(x)dx?f?(x) dX F?(x)dx F?(x)B(F(b),f(b)) ?A(F(a),f(a))三、柯西中值定理小结罗拉柯罗尔中值? 定拉理格朗日中值 ? 定 柯西理中值定理

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