2-7函数的微分

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一、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.设边 x0变 长 x0 到 ? 由 ? x,?正方形A 面 ?x积 02, ? ? A ? (x 0? ? x )2? x 0 2?2x 0?? x?(? x)2.(1)(2)x0x0?x?x (?x )2?xA?x02x0?x x 0(1) : ?x的线,性 且? 函 为 A 的数 主;要部分 (2) : ?x的高阶,当 无 ?x很 穷小 小时. 可忽略再例如, 设函y数 ?x3在点 x0处的改变量 为?x时, 求函数的改 ?y.变量? y? (x 0? ? x )3? x 0 3? 3 x 0 2 ?? x ? 3 x 0 ?( ? x ) 2 ? ( ? x ) 3 .(1)(2)当?x很小,时(2)是?x的高阶无 o(?穷 x), 小? ?y?3x0 2??x.既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?二、微分的定义定义 设函数y ? f (x)在某区间内有定义, x0及 x0 ? ?x在这区间内, 如果 ?y ? f (x0 ? ?x) ? f (x0) ? A? ?x ? o(?x) 成立(其中A是与?x无关的常数), 则称函数 y ? f (x)在点x0可微, 并且称A? ?x为函数 y ? f (x)在点x0相应于自变量增量?x的微分, 记作dy x?x0 或df ( x0 ), 即dy x?x0 ? A? ?x.微d分 叫 y 做函 ? y的 数线 增 .(性 微量 分的主 实质)部由定义知:(1)d是 y 自变量的 ?x的 改线 变性 量 ; 函数(2)?y?d? yo(?x)是? 比 x高阶;无穷小(3)当 A?0时 ,d与 y?y是等价;无穷小??y dy?1? o(?x) ? 1(x? 0). A? ?x(4 )A 是 ? x 无 与关 ,但 f 的 (x ) 与 和 x 0 有 常 ; 关 数(5)当 ? x很小 ,? y?d时 y(线性 ). 主部三、可微的条件定理 函数 f(x)在点 x0可微的充要条件 数f(x)在点 x0处可, 导 且A?f?(x0).证 (1) 必要性 ?f(x)在x点 0可,微? ? y ? A ?? x ? o ( ? x ), ??y?A?o(?x),?x?x则 lim ? y?A ?lim o(? x)?A.? x? 0? x? x? 0 ? x即 f ( x ) 在 函 x 0 可 ,且 点 A 数 ? f ? 导 ( x 0 ).(2) 充分性 ? 函f(数 x)在x0 点 可,导?? lxi? m 0? ?xy?f?(x0),即? ?x y?f?(x0)??,从 ? y ? f ? ( x 而 0 ) ? ? x ? ? ? ( ? x )? ,? ? 0(? x ? 0 ),? f?(x 0 )?? x ? o ( ? x ),? 函 f ( x ) 在 x 数 0 可 ,且 点 f ? ( x 0 微 ) ? A .? 可 ? 可 . 导 A ? 微 f ? ( x 0 ). 函y数 ?f(x)在任x的 意微 点 , 称 分 为函数 微,分 记d作 或 yd(fx),即 d? yf?(x)?x.例1 求函 y?x 3当 数 x?2 ,? x?0 .0时 2 的 .解 ? d? y(x3)??x?3x2?x.?dyx?2 ?3x2?xx?2 ?0.2.4?x?0.02?x?0.02通常把自 x的变增量 ?x量 称为自变量 , 的微记作 dx, 即dx??x.? d? yf?(x)d.xdy? f?(x). dx即函数d的 与 y 微 自分 变量 d之 x的商 微等 分于该函数.的 导导 数数 \

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