2-7函数的连续性与间断点

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第一类,重2113点是左右极限都存在,所谓5261存在就是有限4102;在x=0的左右,1/x的极限都无穷但方向相反,1653确实不等(方向不同嘛),但极限不存在(也就是无穷),所以属第二类。 在某点上有无定义,不是判断在该点间断点类型的要素,实际上定义就是一个规定,规定了一个映射值,无道理可讲,与连续性(连带了几类间断点)的性质没有关系,第一类间断点(左右2113极限都存在)5261有以下两种1跳跃间断点4102间断点两侧函数的极限不相等2可去1653间断点间断点两侧函数的极限存在且相等函数在该点无意义第二类间断点(非第一类间断点)也有两种1振荡间断点函数在该点处在某两个值比如-1和+1之间来回振荡2无穷间断点函数在该点极限不存在趋于无穷www.07swz.com防采集请勿采集本网。

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该点无定义,左右极限存在但不相等。则为跳跃间断点 例如函数 f(x)=|x|/x,x=0 就是其跳跃间断点。

第七节 函数的连续性? 一、函数的连续性 ? 二、函数的间断点 ? 三、小结 思考题 一、函数的连续性1.函数的增量

间断点是指:在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象,那么,xo就称为函数的不连续点。间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点,在非无穷间断点中,还分可去间断点和跳7a686964616fe58685e5aeb

设函 f(x)数 在 U ?(x0)内有,? 定 x? U 义 ?(x0),?x?x?x0, 称为自x 变 0的量 增 . 在 量点? y ? f ( x ) ? f ( x 0 )称 , f ( 为 x ) 相 ? 函 x 的 应 . 数yyy?f(x)y?f(x)?y?y?x?x0 x 0 x0 ??x x 0 x 0 x0 ??x x 注:1.增量可以是正的,也可以是负的,还可为0.

然后用左右极限判断是第4102一类间断点1653还是第二类间断点,第一类间断点包括第一类可去间断点和第一类不可去间断点,如果该点左右极限都存在,则是第一类间断点,其中如果左右极限相等,则是第一类可去

△x>0: 正增量;

分x的绝对值大于1小于1等于1三种情况讨论即可。

△x<0: 负增量.

2.函数 f(x) 相应于△x的增量也可以写成: △y=f(x0+△x) -f(x0) 2.连续的定义定义 1设函数f(x)在U?(x 0)内有定义,如

果当自变量的增量?x 趋向于零时,对应的函

数的增量?y也趋向于零,即 lim ?y ? 0 或 ?x ? 0lim[?x ? 0f (x0? ?x) ?f ( x0 )] ? 0,那末就称函数f ( x)在点 x0连续, x0称为 f ( x)的连续点.

设 x?x0?? x,? y?f(x )?f(x 0),? x ? 0 就 x ? 是 x 0 ,? y ? 0 就 f ( x ) ? 是 f ( x 0 ). 定义 1′设函数 f ( x)在U? ( x0 )内有定义,如果

函数 f ( x)当 x ? x0时的极限存在,且等于它在点x 处的函数值 0f(x 0),即limx? x0f (x) ?f(x ) 0

那末就称函数 f ( x)在点 x0连续.

连续 "?? ?的 "定:义? ??0,???0,使x当 ?x0??时 , 恒f有 (x)?f(x0)??. 例1 试证函 f(x数 )????xsin1x, x?0, 在x?0 ?? 0, x?0,处连. 续

证 ?limxsin1?0,x?0x

又f(0)?0, lim f(x)?f(0), x? 0

由定义1′知

函f数 (x)在 x?0处连 . 续 3.单侧连续

若f( 函 x )在 (a ,x 数 0 ] 内有 ,且 f(x 0? 定 0 )? f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点左 ; 连续

若f( 函 x )在 [x 0 ,b 数 ) 内有 ,且 f(x 0? 定 0 )? f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点右 . 连续

定理 函数 f(x)在x0处连? 续 是函f(数 x)在x0

处既左连续 . 又右连续 例2

讨论f函 (x)?数 ? ? ?x x? ?2 2,,x?0, 在 x?0处的 x?0,连续 . 性

解 lifm (x )? li(x m ? 2 )?2?f(0),x ? 0 ?x ? 0 ?

lifm (x )? li(x m ? 2 )??2? f(0),x ? 0 ?x ? 0 ?

右连续但不左连续 ,

故函 f(x)在 数x点 ?0处不 . 连续 例3.

设 f(x)?? ? ?xa2??x3,,x?0 x?0,

问a为何值时,f (x)在x=0连续.

解: f (0)=3f(0?0)?limf(x)?lim(x2?3)= 3x?0?x?0?f (x)在 x = 0右连续.f(0?0)?limf(x)?lim(a?x) = ax?0?x?0?

为使f (x)在x=0连续, 必须 f (0–0)=f (0)=f (0+0)

即, a=3.

故, a=3时, f (x)在x=0连续. 4.连续函数与连续区间

在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.

如果函数在(a开 ,b)内 区连 间 , 续 并且在左端 x?a处右连 , 在 续右端 x?点 b处左连 , 则 续称 函数 f(x)在闭区 [a,b间 ]上连. 续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 有理整函数 (?在 ? ,?? 区 )内间 是连.续的

若f (x)在区间I上连续,记作f ∈ C(I ). 例4证 函 明 y? s 数 x i在 n (? 区 ,? ? ) 内 ? 间 .连

证 任x? 取 (?,? ?)? ,? y ? six ? n ? x )( ? sx i? n 2si? nx?coxs?(?x)22?cosx(??x)?1, 则?y?2sin?x.22

对任?,意 当 ??的 0时 ,有sin? ?|?|,

故?y?2sin ?x??x, ? 当 ? x ? 0 时 ,? y? 0 . 2

即 函 y? 数 six 对 n x 任 ? (?,意 ? ? )都 ? 是 . 连 二、函数的间断点

函数 f(x)在点 x0处连续必须满条 足件 :的(1)f(x)在x点 0处有;定义 (2)limf(x)存在 ;x?x0(3)x l? ix0m f(x)?f(x0). 如果上述三个 要条 有件 一中 个只 ,不 则满 称足 函数 f(x)在点 x0处不连 (或续 间),断 并称x0点 为 f(x)的不连(或 续间 点断 ). 点 1.跳跃间断点 如果 f(x)在点 x0处,左 右极限

存,在 但 f(x?0)?f(x?0),则称 x为 点函数000f(x)的跳跃.间断点例5讨论f(函 x)?? ? ?1 数 ? ?x x ,,x?0,在 x?0处的.连 x?0,

解 f(0?0)?0, f(0?0)?1,y? f(0 ? 0 )? f( 0 ? 0 ),?x?0为函数的跳跃间.断点 ox 2.可去间断点 如果 f(x)在点 x0处的极限,存在

但limf(x)?A? x?x0f(x0),或f(x)在点 x0处无定

义,则称x点 0为函f数 (x)的可去间. 断点例6 讨论函数f(x)??? 2 ? 1,x,0 ? x ? 1, x?1??1 ? x , x ? 1,

在 x ? 1处的连续性 .y y?1?x2 y?2 x1o1x 解 ?f(1)?1,f(1?0)?2, f(1?0)?2,?lim f(x)?2? f(1), x? 1?x ?0为函数的可去间.断点

注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 如例6中, 令f(1)?2,

则f(x)????12?xx,,0?x?1, x?1,

在x?1处连.续y2 1o1x

跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点:函数在x0点 处的左、右极限 . 都存在 3.第二类间断点 如果 f(x)在点 x0处的左、

右极限至少有 在,一 则个 称x不 0点 为存 函数 f(x)的第二类.间断点例7 讨论函 f(x)? 数 ? ? ?1 x, x?0,在 x?0处的连 .? ?x, x?0,y

解 f(0?0)?0, f(0?0)??,??x?1为函数的第二类间. 断点 o x 这种情况称为无穷断间点. 例8 讨论f(函 x)?s数 i1 n在 x?0处的连 . 续 x

解 ?在x?0处没有,定义

且limsin1不存.在 x?0 xy ? sin 1 x?x?0为第二类间. 断点

这种情况称为振荡间断 点. 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.★ 狄利克雷函数y?D(x)????10,,

当x是有理,数时 当x是无理,数时

在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间 断点.★f(x)?????xx,,

当x是有理,数时 当x是无理,数时

仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. ★f(x)?????11,,

当x是有理,数时 当x是无理,数时

在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.

判断下列间断点类型:yy?f?x?x1 ox2x3x 例9 当 a取何,值时

函数 f(x)?? ? ?a c?ox xs,,x?0, x?0,

在 x?0处连 . 续

解 ? f(0)?a,lim f(x)?lic m o x?s1,x? 0?x? 0?

lifm (x )? li(a m ? x )?a,x ? 0 ?x ? 0 ?

要 f ( 0 ? 0 ) 使 ? f ( 0 ? 0 ) ? f ( 0 )? ,a?1 ,

故当且a仅 ?1时 当 , 函f数 (x)在 x?0处连 . 续 三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;间断点

第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.(见下图) 第y 一可去型类间断点o x0xy

第 二 类 间 断o 点x0x无穷型y 跳跃型ox0xyox振荡型 思考题

若 f(x)在 x0连 续 , 则 |f(x)|、 f2(x)在 x0是 否 连 续 ? 又 若 |f(x)|、 f2(x)在 x0连 续 , f(x)在 x0是 否 连 续 ? 思考题解答 ?f(x)在 x0连 续 ,? x l? ix0m f(x)?f(x0)

且 0 ? f ( x ) ? f ( x 0 ) ? f ( x ) ? f ( x 0 )? x l? ix0m f(x)?f(x0) x l? x i0fm 2 (x )? ? ? ?x l? x i0fm (x )? ? ??? ? ?x l? x i0fm (x )? ? ?? f2(x0) 故 |f ( x ) |、 f 2 ( x ) 在 x 0 都 连 续 . 但反之不成立.例f(x)????1?,1,x?0 x?0

在 x 0 ? 0 不 连 续

但 |f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 x 0 ? 0 连 续 练习题

一、填空题:1、指 出 y ? x 2 ? 1 在 x ? 1 是 第 _______类 间 x2 ? 3x ? 2断点;

在 x ? 2 是第_____类间断点 .2、指 出 y ? x 2 ? x 在 x ? 0 是 第 ________ 类 间 x ( x 2 ? 1)断点;

在 x ? 1 是第______类间断点;

在 x ? ?1

是第_____类间断点 .?x, x ? 1

二、研究函数 f (x) ? ?

的连续性,并画出函数?1, x ? 1的图形 . 三、指出下列函数在指定范围内的间断点,并说明这些间断点的类型,如果是可去间断点,则补充或改变

函数的定义使它连续 .1、f(x)??x? ?3? ?1, x x, x? ?1在 1x? R上.2、 f (x) ? x ,在 x ? R 上 . tan x

四 、 讨 论 函 数 f ( x ) ? lim 1 ? x 2 n 的 连 续 性 , 若 有 间 断 n? ? 1 ? x 2n点,判断其类型 .

五 、 试 确 定 a,b 的 值 ,使 f (x) ? e x ? b , ( x ? a )( x ? 1 )

( 1 ) 有 无 穷 间 断 点 x ? 0 ;

( 2 ) 有 可 去 间 断 点 x ? 1 . 练习题答案

一 、 1、 一 类,二 类 ;

2、 一 类,一 类 ,二类 .

二 、 f ( x )在 ( ?? ,? 1 )与 ( ? 1 ,?? )内连续 , x ? ? 1 为 跳 跃 间断点.

三、1、 x ? 1为第 一类间断点;2、 x ? k ? ? ? 为可去间断点 , 2x ? k?(k ? 0)为第二类间断点.f1( x )??? x ? tanx,x?

k?,k??? 2?? 1 , x ? 0(k ? 0,?1,?2,? ) , f2( x )??x ? tan ? ?0,x,x ? k?,k? x ? k? ? ??? 2(k?0 ,? 1,? 2 ,?).?2?x, x ? 1四、f(x)?? ?0,x?0x ? 1 和 x ? ?1 为 第 一 类 间 断 点 .? ??x, x?1

五 、 (1)a ? 0,b ? 1;(2)a ? 1,b ? e .

你的叙述不对,对函数f(x)=1,x属于Q,或者f(x)=-1,x属于Q的补集,而言,它的间断点是全体实数。而且所有的间断点都是第二类间断点内容来自www.07swz.com请勿采集。

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