2-7函数的连续性1

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第四节 函数的连续性一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、 小结一、函数的连续性1.函数的增量 设函数 f ( x )在U? ( x0 )内有定义,?x?U?(x0),?x?x?x0, 称为自变量在点 x 0 的增量.yy?f(x)?yyy?f(x)?y?x?x0 x 0 x0 ??x x 0 x 0 x0 ??x x? y?f(x )?f(x 0),称为函数 f ( x )相应于 ? x 的增量.2.连续的定义定义1 设函数 f ( x) 满足条件:(1) f ( x )在 U ( x 0 )有定义;(2)limx? x0f( x)存在;(3)xl? im x0 f(x)?f(x0).则称 f ( x ) 在 x ? x0 连续.注 定义中三条缺一不可.连续的等价定义: 定义 设函数 f ( x ) 在 U ( x 0 )内有定义,如果当自变量的增量? x 趋向于0时,对应的函数的 增量 ? y 也趋向于0, 即lim?y?0 或?x?0? lx ? i0 [m f(x 0? ? x )?f(x 0 )]那末就称函数f (x)在x0点连续,称x为0f (x)的连续点.设 x?x0?? x,? y?f(x )?f(x), 0? x? 0 就 x? 是 x 0 ,? y ? 0 就 f ( x ) ? 是 f ( x 0 )例1试证函数f(x)????xsin1x, x?0, 在 x ? 0处连续.?? 0, x?0,证 因为limxsin1 ?0, 又 f(0)?0,x?0xlimf(x)?f(0),x? 0由定义2知, 函数 f ( x )在 x ? 0处连续.一般来说, 分段函数在分界点处的连续性用定义判断.思考:函数f(x)???sin ?1, x?? 0,x ? 0, x ? 0,在分界 点处连续吗?3.左、右连续若 f (x)在(a, x0] 内有定义且 f(x 0? 0 )?f(x 0 )则称 f (x) 在 x 0 左连续.若 f (x)在 [x0,b)内有定义且 f(x 0? 0 )?f(x 0 )则称 f (x) 在 x 0 右连续.定理 f (x)在 x 0 连续 ? f (x)在 x 0 处既左连续又右连续.即:xl? im x0 f(x)?f(x0)? f ( x 0 ? 0 ) ? f ( x 0 ? 0 ) ? f ( x 0 )此定理常用来判断函数在某点的连续性.例2 当 a取何,值时函数 f(x)?? ?ex, x?0, 在 x?0处连 .解 因 f(0 为 )?a ? ,a?x, x?0,lim f(x)?lim ex? 1,x? 0?x? 0?lifm (x )? li(a m ? x )?a,x ? 0 ?x ? 0 ?要使 f ( 0 ? 0 ) ? f ( 0 ? 0 ) ? f ( 0 ) , ? a?1 ,故当且 a?仅 1时 ,当 函 f(x 数 )在 x? 0处连续.4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间 上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续.如果函数在开区间 (a, b )内连续, 并在左端点a处 右连续, 在右端点 b 处左连续,则称函数在闭区 间[ a , b ] 连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.二、函数的间断点1. 定义 函数f ( x )在点x 0 处连续必须满足的三个 条件: (1) f (x)在 x 0 有定义;(2) lim f(x)存在;要(3 有)x l一? im x0条f(不x)? 成f立(x0 ,).则如果称上f ( x述)在三点个x? x条0x0处件不中连只续(或间断);而称点 x 0 为函数的不连续点 (或间断点).函

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