2-7直纹二次曲面

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§7 直纹二次曲面7.1 双曲抛物面的直纹性 7.2 单叶双曲面的直纹性上页 下页 结束§7 直纹二次曲面定义: 由一族直线构成的曲面称为直纹面, 这些 直线称为它的直母线. 例如: 平面、柱面、锥面以及旋转单叶双曲面 都是直纹面, 因为它们都可由一条直线绕另一条 直线旋转而得到. 下面我们讨论二次曲面中的直纹面.上页 下页 结束§7 直纹二次曲面直纹曲面模型上页 下页 结束§7 直纹二次曲面直纹曲面模型上页 下页 结束§7 直纹二次曲面非空二次曲面有下面这 14 种类型(五大类):(一) 椭球面 [1] 椭球面:[2] 点: (二) 双曲面 [3] 单叶双曲面:[4] 双叶双曲面:x2 a2?by22?cz22?1;x2 y2 z2 a2 ?b2 ?c2 ?0;x2 y2 z2 a2 ?b2 ?c2 ?1;x2 a2?by22?cz22??1;上页 下页 结束§7 直纹二次曲面(三) 抛物面 [5] 椭圆抛物面:[6] 双曲抛物面: (四) 二次锥面 [7] 二次锥面: (五) 二次柱面[8] 椭圆柱面:x2 a2?y2 b2?2z;x2 a2?y2 b2?2z;x2 a2?by22?cz22?0;x2 a2?y2 b2?1;上页 下页 结束§7 直纹二次曲面[9] 一条直线:[10] 双曲柱面: [11] 一对相交平面: [12] 抛物柱面:x2 a2?y2 b2?0;x2 a2?y2 b2?1;x2 a2?y2 b2? 0;x2 ?2py;[13] 一对平行平面: x2?a,a?0.[14] 一张平面:x2 ?0.上页 下页 结束§7 直纹二次曲面其中所有二次柱面和二次锥面都是直纹面. 椭球面和点都是有界二次曲面, 容不下直线, 故它们都不是直纹面. 双叶双曲面不是直纹面, 因为当它由方程[4] 给 出时, 它的图像在平面z = c上方或z = ?c下方, 因此平行于xy面的直线和与xy面相交的直线 都不可能全在曲面上. 椭圆抛物面也不是直纹面, 因为当它由方程[5] 给出时, 它的图像完全在xy面上方, 因此平行于 xy面的直线和与xy面相交的直线都不可能全在 曲面上.上页 下页 结束7.1 双曲抛物面的直纹性? 双曲抛物面的直纹性 双曲抛物面上有直线, 这是已经知道的. 例如xy平面的截线就是一对相交直线. 事实上有定理: 双曲抛物面是直纹面.证明: 设双曲抛物面S 的方程为x2 y2 a2 ?b2 ?2z,改写为(x?y)(x?y)?2z, a ba b上页 下页 结束7.1 双曲抛物面的直纹性容易看出, 对任何实数c,平面x a?y b?c 与S 的交线是直线lc:????cax(?xy b ??c y) ?; 2z平面x?y? ? c 与Sab 的交线是直线abl c?:????cax(?xy b ??c y) ?2z.?a b上页 下页 结束7.1 双曲抛物面的直纹性于是, 得到S 上的两族直母线 I = { lc | c ? R } 和 I ? = { lc? | c ? R }, z yx上页 下页 结束7.1 双曲抛物面的直纹性上页 下页 结束7.1 双曲抛物面的直纹性先

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