2-6多元函数的泰勒公式

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第九节 二元函数的泰勒公式一、问题的提出 二、 二元函数的泰勒公式 三、 极值充分条件的证明 四、 小结 习题课一、问题的提出一元函数的泰勒公式:f(x)? f(x )? f?(x )(x?x )000? f??(2x0)(x?x0)2 ??? f(nn)(!x0)(x?x0)n? f(n?1)?x(0n???1()x!?x0)?(x?x0)n?1 (0???1).意 义 : 可 用 n次 多 项 式 来 近 似 表 达 函 数 f(x),且 误 差 是 当 x? x0时 比 (x?x0)n高 阶 的 无 穷 小 .问题: 能否用多个变量的多项式来近似 表达一个给定的多元函数,并能具体地 估算出误差的大小.即 设z ? f ( x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内连续且有直到n ?1阶的连续偏导数, (x0 ? h, y0 ? k)为此邻域内任一点,能否把函数 f ( x0 ? h, y0 ? k) 近似地表达为h ? x ? x0 ,k ? y ? y0的 n次多项式,且误差是当? ? h2 ? k 2 ? 0时比?n高阶的无穷小.二、二元函数的泰勒公式定理 设z ? f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某一邻域 内连续且有直到 n?1阶的连续偏导数, ( x0 ? h, y0 ? k)为此邻域内任一点,则有? ? ?? f(x0 ?h, y0 ?k)? f(x0, y0)???h?x?k?y?? f(x0, y0)1 ? ? ? ?21 ? ? ? ?n?2!??h?x?k?y?? f(x0, y0)? ?n!??h?x?k?y?? f(x0, y0)?(n?11)!???h??x? ?n?1 ?k?y??f(x0??h,y0??k),(0?? ?1)其中记号???h??x?k??y???f(x0,y0)表示 h x (x f 0 ,y 0 )? ky (x f0 ,y 0 ),??h??k???2 ? ?x ?y?f(x,y) 00表示h 2 f x x ( x 0 , y 0 ) ? 2 h x ( x 0 y , k y 0 ) ? k 2 f y ( x y 0 , y 0 )一般地,记号???h??x?k??y???mf(x0,y0)表示m?Chk ?x??yp . p?0p p m ?p mm p m ?p (x0,y0)证 引入函数? ( t ) ? f ( x 0 ? h , y 0 ? k t ) ( 0 ? , t ? 1 ). 显然 ? (0 )?f(x 0,y0),? ( 1 )? f(x 0 ? h ,y 0 ? k ).由?(t) 的定义及多元复合函数的求导法则,可得 ? ?(t)?hx(fx0?h,y t0?k)t?ky(fx0?h,y t0?k)????h? ? x?k? ?y???f(x0?h,y t0?k)t,? ??(t)? h 2fx(x x 0? h ,y 0 t? k)t ? 2 hx( k y x 0? fh ,y 0 t? k)? tk 2fy(y x 0? h ,y 0 t? k)t? ? ? ?? (t)??C hk ?x??yp (n?1)n?1 p?0p p n?1?p n?1n?1 p n?1?p (x0?ht,y0?kt)???h? ?k???n?1 ? ?x ?y?f(x0?h,ty0?k)t .利用一元函数的麦克劳林公式,得 ?(1)??(0)???(0)?1???(0)??2!?1?(n)(0)? 1 ?(n?1)(?),(0???1).n!(n?1)!将?(0)?f(x0,y0),?(1)?f(x0?h,y0?k)及 上面求得的?(t)直到 n阶导数在t?0的值,以及?(n?1)(t)在t??的值代入上式.即得f(x0?h,y0?k)?f(x0,y0)???h ? ? ?x?k ? ?? ?y?f(x0,y0)

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