2-6函数的连续性与间断点

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上节回顾:1、两个重要极限:(1)limsi?n(x) ? ?(x)?0 (x)?1(0 ) 0(2) ?l(xi)? m ?(1??(1x))?(x)?e (1? )1或 lim(1??(x))?(x) ?e ?(x)?0? lim (1? 1 )?(x)?e?1?(x)? ?(x)2. 无穷小的比较设? ,? 对同一自变量的变化过程为无穷小,且? ? 00,? 是 ? 的高阶无穷小lim ? ? ??,C(?0),1,? 是 ? 的低阶无穷小 ? 是 ? 的同阶无穷小 ? 是 ? 的等价无穷小3、常用等价无穷小:当x?0时,s inx ~ x , tanx~ x , arcsinx~ x ,1?coxs~1 2x2,n 1?x?1~1 nxex ?1~ x,ln1? (x)~x.4.等价无穷小替换定理第六节第二章函数的连续性与间断点一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点一、 函数连续性的定义定义: 设函数 y? f(x)在 x 0 的某邻域内有定义 , 且xl? ix0 m f(x)?f(x0),则称函数 f(x)在x0连 续 .可见,函数 f (x) 在点 x 0 连续必须具备下列条件: (1) f ( x) 在点 x 0有定义 ,即 f ( x0 ) 存在 ,(2) 极 限 limf(x)存 在 , x?x0(3) xl? ix0 m f(x)?f(x0).对自变量的增量 ?x?x?x0,有函数的增量?y?f(x)?f(x0)?f(x0?? x)?f(x0)函数 f ( x) 在点 x 0 连续有下列等价命题:xl? ix0m f(x)?f(x0)? lx? i0m f(x0?? x)?f(x0)l i m?y?0?x?0y y? f(x)?y思考:连续与极限的关系??xo x 0 xx定义21)设 函 f(x)数 在 (a,x0]有 定 , 义 若 f(x 0? 0 )? x l? x i0 ? m f(x )? f(x 0 ), 则 f(x 称 )在 x 0 处 点 左连续 ;2)设 函 f(x)数 在 [x0,b)有 定 , 义若 f(x 0? 0 )? x l? x i0 ?m f(x )?f(x 0 ),则 f(x 称 )在 x 0处 点 右连续 .定理1: 函f数 (x)在 x0处连 ? 函 续 f数 (x)在 x0处左右 . 都连续( x l ? x 0 if( m x )? f( x 0 )? x l ? x 0 i ?f m ( x )? f( x 0 )? x l ? x 0 i ? f m ( x ))例1:判断函数? x2 f(x)??,x?2在x ? 2处 是 否 连 续?x?2, x?2解:?limf(x)?lim x2 ? 4,x?2-x?2?limf(x)?lim (x?2)?4,x?2?x?2??limf(x)?4 x?2又 ?f(2)?4?lim f(x)?f(2) x? 2?函 数x?在 2处 连. 续例2:判断函数f(x)????sin2x x,x?0 在x ?0处 是 否 连 续?? x?1, x?0解: limf(x)? lim sin2x ? 2,x?0-x x?0?limf(x)?lim(x?1)?1,x?0?x?0?? lim f(x)?lim f(x)x? 0?x? 0??l i mf (x)不存在, x?2所以,函 x?0数 处在 不连续例3 试证函 f(x数 )????xsin1x, x?0, 在x?0?? 0, x?0, 处连.续证 ?limf (x) x?0? limxs in1x?0x? 0 ? f(0).? 函数 f(x)在 x?0处连 . 续例4:设?2x , f(x)??x?0 a为何值时 x?, 0处在 连续? a, x?0解: limf(x)? lim2x ?1,x?0-x?0?limf(x)? li ma?a,x?0?x?0??函数x在 ?0处连续?l i mf (x)

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