结构与设计专题知识讲座xg

来源:互联网 编辑:李元芳 手机版

1利用待定常数法(重点)例1 已知数列{n }中,若1=1,且n+1=3n-4(n=1,2,3,…).求数列的通项公式n.分析:若关系式是n+1=3n即为等比数列,因此考虑处理-4,若能化为n+1+x=3(n+x),则可构造等比数列{n+x}。解:设n+1=3n-4恒等变形为n+1+x=3(n+x),即n+1=3n+2x,比较系数得:x=-2n+1-2=3(n-2)数列{n-2}是以1-2=-1为首项,公比为3的等比数列n-2=(-1)3n-1 即n=-3n-1+2.说明:给出一阶递推关系式形如(n=1,2,…),A、B为常数,均可使用待定常数法,构造等比数列求出通项。例2 已知数列{n }中,前n项和sn=2n-3n,求数列的通项公式n.分析:已知等式中不是递推关系式,利用可转化为:n-2n-1=2,考虑3n-1是变量,引入待定常数x时,可设n-x=2(n-1-x),从而可构造等比数列。解:1=s1=21-3 则1=3,当n2时,=(2n-3n)-(2n-1-3n-1)即n-2n-1=2,设其可恒等变形为:n-x=2(n-1-x),(需要注意的是上面的指数,这是某种关系而不是固定的常数,故在恒等变形时需注意两边对应的关系,而不应该用X代替x,也可以不设“-”设“+”,结果是一样的。即 n-2n-1=x,比较系数得:x=2.n-2=2(n-1-2)数列{n-2}是以1-6=-3为首项,公比为2的等比数列。n-2=(-3)2n-1n=2-3.说明:对于型如n=An-1+f(n)(A为常数)的一阶递推关系式。可利用待定常数法,构造等比数列;但须体现新数列相邻两项的规律性,设其可恒等变形为:n-xg(n)=A[n-1-xg(n-1)],若x存在,则可构造等比数列{ n-xg(n)}。2 利用配方法有些递推关系式经“配方”后,可体现等差(比)的规律性。例3 设n0,1=5,当n2时,n+n-1=6,求数列的通项公式n。分析:给出的递推关系式不能反映规律性,因此考虑去分母得:2n-2n-1=7+6(n-n-1),为体现规律性,变形为:2n-2n-1-6n+6n-1=7,即(n-3)2-(n-1-3)2=7.解:由n+n-1=6(n2)变形为:2n-2n-1=7+6(n-n-1)即(n-3)2-(n-1-3)2=7(n2)数列{ }是以(1-3)2=4为首项,公差为7的等差数列4+7(n-1)=7n-3,而n0n=3说明:递推关系式中含有二次项、一次项时可考虑用配方法,揭示规律,构造等差(比)数列。3 利用因式分解有些递推关系式经因式分解后,可体现等差(比)的规律性。例4已知数列{n }是首项为1的正项数列,且2n+1+3n+1-22n+3n-nn+1=0求数列的通项公式n。分析:由已知递推关系式,若配方,则无法配成完全平方或完全平方项之和。因此考虑用因式分解化简,寻求更实质的关系。可变形为:n+1(n+1+3)+3n-nn+1+n(-2n)=0。解:由已知有:n+1(n+1+3)+3n-nn+1+n(-2 n)=0(n+1+n)[(n+1+3)-2n]=0,而n0n+1+3-2n=0,则利用待定常数法有(n+1-3)-2(n-3)=0数列{n-3}是以1-3=-2为首项,公比为2的等比数列。n-3=(-2)2n-1 即n=3-2n说明:因式分解能达到化简的目的,使递推关系式简化,凸显规律性。5 利用倒数有些数列的递推关系式,经取倒数变形后,显现出规律性,可构造等比(差)数列。例7 已知x1=1,x2=2,xn+2=,试求xn。分析:由递推关系式结构特征,易联想到倒数,即有 xn+2=,从而可构造等比数列。解:对递推关系式两边取倒数得:=可变形为=(-)()数列{}是以=-为首项,公比为-的等比数列(-)(-=(n2)()+()+…+()1+(-)+(-)2+…+(n2)(n2)而当n=1时亦满足。(n1)说明:递推关系式中含有相邻两项之积与相邻两项之和的关系,可考虑取倒数(或化为分式),揭示规律,构造等比(差)数列。例8已知数列{n }中,1=7,n2时,求数列的通项公式n分析:已知递推关系式右边为分式,取倒数后可化为:,未能反映规律,但若能化为的关系,则可揭示规律;结合待定常数法,可确定A值。解:由已知:(A0)即(2A+1≠0)令,解得:A=1已知关系式可恒等变形为,取倒数得:(n2)。数列{}是以=为首项,公差为的等差数列。(n-1),即(n1)说明:①例8中的递推关系式结构特征,亦易想到取倒数,但要灵活结合待定常数法,构造新数列,凸显等差的规律性。②引入待定常数A是为了揭示变化的一致性(规律性),若A值存在,则可反映此变化规律。若A值不存在,则考虑其它变形。6 利用换元有些数列的递推关系式看起来较为复杂,但应用换元和化归思想后,可构造新数列进行代换,使递推关系式简化,从而揭示等差(比)规律,求出通项。例9已知数列{an }中,求(1981年第22届IMO预选题)。分析:已知递推关系式中的较难处理,考虑用换元去掉根式,即令(0)。解:令,则=5,0,从而=由已知递推关系式有:化简得:=()22=,由待定常数法得:2(-3)=-3数列{-3}是以-3=2为首项,公比为的等比数列。3=2()n-1 即=3(n1)说明:对于递推关系式中较难处理的根式(比如不能反映相邻项的规律性),可采用换元去掉根式,化简递推关系式,揭示相邻项的变化规律,构造等比(差)数列。例10 设=1,=(nN),求证:(1990年匈牙利奥林匹克试题)。分析:比较已知与结论,应先求通项公式。待证的不等式中含有,且已知递推关系式中含有,据此两个信息,考虑进行三角代换,化简递推关系式。证明:由已知0,引入数列{}使=tan,(0,)由已知有:=即=,又=1,从而即数列{}是以为首项,公比为的等比数列而当x(0,)时,有tanxXtan说明:对于递推关系式中,型如可考虑采用三角代换,化简递推关系式,揭示规律性。总之,构造等比(差)数列关键在于抓住递推关系式的结构特征,选择恰当方法进行恒等变形,往往能揭示等比(差)规律,顺利求出通项。参考文献:⑴ 罗增儒.递推数列.?高考到竞赛?(数学),陕西师范大学出版社,2002,7。⑵ 陈传理、刘诗雄.递推数列.?高中数学竞赛名师讲座?,华中师范大学出版社,1993,4。⑶ 秦永.递推数列.中学数学教学参考(陕西师范大学),2003(4)。⑷ 樊友年.构造法解数列综合题.中学数学教学参考,2002(7)www.07swz.com防采集请勿采集本网。

因转码可能存在排版等问题,敬请谅解!以下文字仅供您参考:

Company Logo结构与设计专题知识讲座

主讲人:韩向东

北京教科院基教研中心 主要内容

? 一、载荷简介 ? 二、常见约束类型及其约束力 ? 三、杆件变形的基本形式 ? 四、三类结构的形态及受力特点 ? 五、结构(物体)的受力分析 ? 六、结构设计从技术层面应考虑的因素 ? 七、影响结构稳定性的主要因素 ? 八、影响结构强度的主要因素 ? 九、梁的强度 ? 十、压杆的稳定性 一、荷载简介

所谓作用,是指能使结构产生效应(内 力、位移、应力、应变、裂缝等)的各种 原因的总称。

它可归结为直接作用和间接 作用两种。

直接作用是指直接施加在结构 上的力,如结构自重、设备重量、风、雪 等;

间接作用是指能使结构产生外加变形 或约束的原因,如地震、温度变化、地基 变形、材料的收缩等。

直接作用通常又称为荷载。

按不同的依 据,荷载可有多种分类方式。 ? (1)按荷载随时间的变异分类

? 恒载(永久性荷载):指作用在结构上长 期不变的荷载,如结构自重等。

? 活载(可变性荷载):指作用在结构上可 变的荷载,如风荷载、雪荷载等。

? 偶然荷载:是指在设计基准期内出现的概 率很小,但一旦出现其量值很大且持续时 间很短的荷载,如爆炸力、撞击力、龙卷 风等。 ? (2)按荷载的分布形式分类 ? 集中荷载:施加在结构或构件某一点(力

的作用范围远小于构件时)上的力。如图 钉对物体的压力。

? 线荷载:施加在结构或构件某一长度上的 力。如从屋檐落到地面上兩滴的力。

? 面荷载:施加在结构或构件某一面积上的 力。如压力。

? 体荷载:施加在结构或构件某一体积上的 力。如重力。 ? (3)按荷载随位置的变异分类

? 固定荷载:是指在结构空间位置上具有固 定分布的荷载,如固定设备等。

? 可动荷载:是指在结构空间位置上的一定 范围内可任意分布的荷载,如吊车荷载等 。 ? (4)按荷载对结构的运动状态变异分类

? 静态荷载:是指不使结构产生加速度或产 生的加速度可忽略不计的荷载,如自重、 楼面活荷载等。

本书(技术与设计)主要 介绍静载作用下结构的受力问题。

? 动态荷载:是指使结构产生不可忽略的加 速度的荷载,如车辆荷载等。 ? (5)按荷载对结构产生的运动形式分类 ? 力:对物体有移动和转动两种作用的荷载。

? 力偶:对物体只有转动作用的荷载。 ? 力偶与力偶矩 ? 汽车司机用双手转动方向盘(图1-a),钳

工用铰杠丝锥攻螺纹(图1-b)等等,都作 用了一对等值、反向、不共线的平行力。图1 ? 我们把大小相等、方向相反、作用线平行 但不在同一直线上的两个力称为力偶(图1c)。图1 ? 力偶中,两力作用线间的垂直距离d称为力偶 臂,两个力所在的平面称为力偶的作用面。

在平面问题中,力偶使刚体转动的效应,可用 力偶中一个力的大小F与力偶臂d的乘积,并冠 以适应的正负号来度量,称为力偶矩,记为M 或M(F,F′)。

即M=±Fd=±F′d

? 力偶与力一样也有三要素,即力偶矩的大小、 力偶的转向及力偶作用面。 ? 力学基本要素的一元论和二元论简介

? 一元论:力偶对物体的转动效应,也属于 力对物体产生的效应范畴之内。

因此,力 偶只是两个力构成的一种特殊力系。

? 二元论:力偶无合力,力与力偶既不能互 相平衡,也不能互相替代。

因此,力和力 偶是力学研究中两个相互彼此独立的基本 要素。

这种观点被绝大多数人接受。 ? 力偶矩的正负规定与力矩的正负规定一样 ,即使物体逆时针转动的力偶矩为正(图1d);

反之为负(图1-e)。

? 力偶矩的单位与力矩的单位相同,即N·m或 kN·m。图1 ? 结构与构件不是孤立存在的。

它们总是与 其它物体连接在一起,结构和构件受荷载 作用后,可能产生运动。

为此,必须有物 体限制其运动,下面介绍对物体运动的限 制,以便对物体进行受力分析。 二、常见约束类型及其约束力

? 约束与约束力 ? 1、约束:我们把对物体运动起限制作用的

周围物体称为该物体的约束。

对结构整体 讲约束又是构件间的连接或结构的支撑。

? 2、约束力:约束施加在所研究物体上的力 称为约束力。 ? 1、柔体约束:绳索、链条、皮带等柔性体 对物体的约束称为柔体约束。

? 2、光滑面约束:不考虑摩擦的接触面约束 称为光滑面约束。

? 3、圆柱铰链约束:圆柱铰链是用一圆柱( 销钉)插入两个构件的圆孔中,且认为销 钉与圆孔的表面是完全光滑的,两个构件 都可绕销钉自由转动。

门、窗用的合页、 燃气灶盘上的爪联接等都是圆柱铰链约束 的实例。如图2所示。 ? 圆柱铰链约束的常见形式有:

? (1)固定铰支座约束:如果其中一个构件 固结于地面或机架上(图3a),这种约束 称为固定铰链支座,其简图如图3b。 ? (2)活动铰链支座约束:如果铰链支座的 座体,用几个圆柱形辊轴支承在光滑面上 (图4a),这种支座称为活动铰链支座, 其简图如图4b所示。 ? 4、固定端约束:物体的一部分固嵌于另一物 体内所构成的约束,称为固定端约束。

例如, 建筑中的阳台(图5a),车床刀架对车刀杆的 约束(图5b),插入地面中的电线杆所受的约 束,以及铆接、焊接构件所受的约束等,均可 视为固定端约束。 ? 5、链杆约束(二力杆):凡两端具有光滑 铰链,杆中间不受外力作用,又不计自身 重量的刚性杆,即二力杆。 三、杆件变形的基本形式

? 结构的本质是为了承受力和抵抗变形,因 此,有必要了解杆件变形的基本形式及其 受力特点。 变形 形式 拉伸 和压 缩工程实例剪切受力简图

受力特 变形点特点

外力沿 杆沿轴

杆的轴 线方向线作用 伸 长 或缩短

两个等 两平行 值 反 向 、力 间 截 作用线 面发生 相距很 相对错 近的平 动 行力作 用 变形 形式 扭转工程实例弯曲受力简图受力特点 变形 特点

两个力偶 相 邻 矩相等、 横 截 转向相反,面 发 作用面垂 生 相 直于杆的 对 转 轴线的力 动 偶作用

外力垂直 梁 的

于杆的轴 轴 线线,外力 由 直

偶与轴线 线 变共面成曲线 四、三类(按几何尺寸分)结构的形态及受力特点结构名称形态特点受力特点结构体是实心,几何特征 外力分布在整个体积

实体(实心) 是长、宽、高尺寸约为同 中,能承受较大压力结构一数量级

框架(杆系) 结构体外形较复杂,支撑 外力分布在一些点上,结构

空间而不充满空间,由细 能承受水平和垂直外

长构件组成,几何特征是 力

长度远大于宽度和高度

壳体内空、形态稳定,几 外力分布在结构表面,

壳体(板壳) 何特征是厚度远小于长度 材料直接受压,以减结构和宽度

小弯矩,受力均匀合理 五、结构(物体)的受力分析、变形分析

(一)、方法步骤

1、受力分析 (1)拆:把所研究的物体与周围其它物体从接触处,

联接处拆开。

(2)绕:绕所研究物体一周,顺时针或逆时针,上、 下、左、右均可确定与几个物体接触、连接。

(3)定:确定接触点及连接点——力的作用点。

根据 接触、连接的性能(柔索、光滑接触面、铰链、固定 铰支座,可动铰支座、二力杆、固定端)确定约束力 的方向、指向。

(4)画:把已知力和约束力按所确定的位置和方向画 在所研究物体的图上。 ? 2、变形分析 ? (1)分解或平移:

? 力的作用线与轴线斜交时,把力沿轴线方 向和垂直于轴线方向分解。

? 力的作用线与轴线不相交时,把力向轴线 平移,得到一个与轴线相交的力和一个力 偶。

再把与轴线相交的力沿轴线方向和垂 直于轴线方向分解。

? (2)根据杆件基本变形形式的受力特点判 断构件的变形形式。 ? 2、实例 (1)例1:三角架:不计杆重

销钉:重物拉力 AB杆的支撑力(压力) AC杆的拉力 AB杆:二力杆(压杆)

AC杆:二力杆(拉杆) 例2:三角架:不计杆重 销钉:重物拉力 AB杆的拉力 AC杆的支撑力(压力) AB杆:二力杆(拉杆)

AC杆:二力杆 (压杆) ? (2)剪刀受力分析

? F1、F3:手对剪刀的力 ? F2、F4:被剪物体对剪刀的反作用力 ? F5、F6:销钉对剪刀的力 ? 销钉:受剪切力

?力F′5、F′6 :两剪刀对销钉的力, ? 两个力反向平行不共线 (3)单杠(运动员静挂时,计构件自重) ? 杠体AB

? 自身重力向下

? 运动员的压力向下

? 主柱支撑力(压力)向上

? 立柱AC:压杆? 重力向下

? 杠体压力向下

? 地面支撑力(压力)向上

? 拉杆:不受力,增加立柱的牢固性 ? (4)单杠结构的受力分析:运动员作回环 动作,在杠体前方水平

名称 力的名称 施力物体 作用点 方向 效果受力图重力地球 重心 向下运动员

支撑力 (压力)杠体人手向上向心力 (拉力)杠体重心 指向杠体 回转运动 名称力的名称施力 物体作用点重力 地球 重心压力人

手杠接 触处

方向 向下 向上

效果 弯曲 弯曲杠体

离心力 (拉力)人

手杠接 触处

与向心力 反向弯曲

支撑力 (压力)主柱立柱 体接触点

方向不定 正交分解弯曲受力图 名称 力的名称 施力物体 作用点方向 效果重力地球重心向下 压缩压力杠体立柱杠体 接触点

与对杠体 支撑力反向弯曲 压缩立柱 拉力拉杆拉杆立柱 连接点

沿拉轩轴 线压弯

支撑力 地基 地基处 方向不定 压弯力偶地基地基处

与杠体压 力产生的 弯曲 力矩反向受力图 名称 力的名称 施力物体 作用点 方向 效果受力图拉杆 (二力杆)拉力拉力立柱立柱压 杆连接 拉力 拉伸处地面拉伸 六、结构设计从技术层面应考虑的因素

? 1、强度:结构抵抗破坏的能力称为强度, (地质版25页定义错)这里“破坏”的含 义与日常生活中的含义不完全一样。

对于 抗拉与抗压性能相同的材料,破坏是指在 外力作用下,构件发生变形,外力去除后 构件出现明显的不能恢复的变形,从而不 能正常工作,即称构件破坏。

对于抗压性 能远大于抗拉性能的材料,断裂即破坏。 ? 2、刚度:结构抵抗变形的能力称为刚度。

? 3、稳定性:结构在负载作用下维持其原有 平衡状态,即受力后恢复原有平衡状态的 能力。

稳定不是指物体状态绝对不变,而是指有 干扰时,状态允许改变(波动);

干扰消 失后能返回原有的平衡状态,否则称为不 稳定。

稳定与不稳定指的是原有的平衡状态,而 不是受力后的状态。 ? 补充知识 ? 应力与压强的区别 ? (1)应力作用于构件内部截面,压强作用

于物体表面。

? (2)应力与截面可成任意角度,压强垂直

于物体表面。

? 予应力:给构件加载到一定程度,再卸载

,以提高材料的强度,构件在承载之前就 已存在的应力。

? 危险截面:产生最大应力或最大变形的截 面(地质版17页定义不准确,该定义是在 同材料等截面梁时才成立)。 七、影响结构稳定性的主要因素

? 1、重心:重心越低稳定性越好 ? (1)降低结构高度 ? (2)增加底座重量 ? (3)减少底座上部质量,利用壳体结构,

薄钢板材制造汽车车体。 ? 2、支撑面

? (1)支撑面面积越大稳定性越好;

底座大 单脚支撑的自行车越倾斜越稳定。

金字塔 人造堤坝外形“A”字形而不是“ ”字形 。

? (2)支撑面形状:支撑面三角形稳定,照 相机支撑架三角形,双脚支撑的自行车, 电动自行车,摩托车的支撑。 ? (3)重心垂足位置:重心垂足在支撑面内 稳定,人字梯的支撑。

? 重心垂足离支撑面边界最短距离越大越稳 定。

10×10mm的正方形与5×100mm的矩 形底面,二者高度相同,前者稳定。 ? 3、结构形状:三角形框架比四边形稳定。

从 几何角度:三角形三个边对应相等,三角形 全等;

四边形四条边对应相等,四边形不一 定全等。

从结构力学理论解释:三角形是几 何不变体系,四边形是几何可变体系。

? 4、结构的长细比:长细比越小越稳定。

? 5、结构的连接方式:结构构件的连接方式越 牢固越稳定:刚性框架与柱子的刚性接头, 板凳榫卯连接。 八、影响结构强度的主要因素

? 1、形状 ?(1)结构形状 三角形结构强度高。如桁架

桥上、下梁用桁架连接成三角形,简易组态 试验。

带子一侧剪口拉伸时易断。

纸板受压 实验,鸡蛋受压实验,吊篮支撑架三角形, 支架结构等。

?(2)构件形状 空心优于实心,矩形竖放优 于平放,矩形优于正方形。

悬梁强度实验, 矿泉水瓶横向凸起花纹均为提高强度。 ? 2、材料 ? (1)容许应力:容许应力大,强度高。花

展架柱用铁优于木材,钢筋混凝土梁加钢 筋增加强度。

? (2)按材料特性选择截面: ? 抗拉性能相同的采用圆形、矩形、工字形

? 抗拉压性能不同的采用T字形。 ? 3、构件的连接方式 ? (1)连接牢固,强度高 ? 凳子榫卯联接、钢架桥焊接。

? 空调压缩机墙上固定方式 ?(2)增加连接点 加中间支座 ? 4、构件尺寸 ? (1)面积:纸绳拉伸。

粗的强度高 ? (2)高度:板条弯曲试验。

厚的强度高 九、梁的强度

?结构中的构件多数发生弯曲变形, 下面仅对弯曲变形构件——梁的强 度问题作一简单介绍 ? 1、梁的基本形式(单跨梁) ? (1)双支撑点梁。

有两个支撑点的梁。如

图(6-a)所示单双杠。

? (ⅰ)简支梁。

两端分别是固定铰支座和可

动铰支座的梁,如图(6-b)所示桥梁。图6 ? (ⅱ)外伸梁。

一端或两端都伸出支座的 梁,如图(6-c)所示火车轮轴。

? (2)单支撑梁(悬臂梁)。

一端为固定端 ,另一端为自由端的梁,如图(6-d)所示 跳水板。图6 ? 2、梁弯曲时的内力——剪力和弯矩(一般忽略 剪力作用)

? 3、梁的变形,中性层:当梁发生弯曲变形时, 从凸边纤维伸长,到凹边纤维缩短,变化是连 续的,因此其间必有一层纤维既不伸长也不缩 短,这层纤维称为中性层(图7)。图7 ? 梁的应力:正应力。

正应力分布规律,沿 截面高度,正应力按线性规律变化(图8) 。

沿截面宽度正应力相同。

中性层上各点 正应力为零。

离中性层最远的点正应力最 大。图8 4、影响弯曲强度及变形的主要因素 (1)横截面 A、形状:面积相同时,空心截面优于实心截面。

B、尺寸:梁的应力与高度时平方成反比,与宽度成反比。

梁的变形与高度立方成反比,与宽度成反比。

因 此把材料加在高度上更合理(图9)。图9 ? (2)梁的跨度,长度:在相同荷载作用下,梁越长 ,梁的变形越大。

强度越低。

(图10)

? (3)荷载的位置:荷载越靠近梁的中央,变形量就 越大,强度越低。

(图11) (4)梁的材料

梁抗变形能力和材料有 关。

木材和钢材,都能 够抵抗压力和拉力,适 合做梁。

混凝土和石材 ,较能抵抗压力,却无 法抗拉力。

因此,要在 混凝土梁上加钢筋,以 避免产生裂变,它们通 常被安排在拉力一侧。

(图12) ? 梁的变形和材料的弹性系数成反比。

铝的 弹性系数是钢的弹性系数的1/3。

(图13) 十、压杆的稳定性

除结构的稳定性外,还必须考虑结构中受 压细长杆件的稳定性。

下面,对这类构件 的稳定性作一介绍。 ? 工程结构和机械结构中有很多受压杆件,如图14-a所 示桥梁的立柱,如图14-b所示起重机或装载机中的液 压挺杆,如图14-c所示的螺旋千斤顶的螺杆等。

当压 力超过某一限度时,其直线平衡形式将不能保持,从 而使杆件丧失正常工作能力。

称为稳定失效。图14 压杆失稳与强度和刚度失效有着本质的区别,前者 失效时的载荷远低于后者,而且往往是突发性的, 因而常常造成灾难性后果。

历史上曾有过多次由于 压杆失稳造成灾难事故。

19世纪末,当一辆客车通过瑞士的一座铁路桥时 ,桥桁架压杆失稳,致使桥发生灾难性坍塌,大约 200人遇难。

类似事故在一些国家也曾发生过。

虽然科学家和工程师们早就面对着这类灾难,进行 了大量的研究,采取了很多有效的防范措施,但直 到现在还不能完全终止这种灾难的发生。 1983年10月4日,地处北京某科研楼建筑工地的 钢脚手架在距地面五六米处突然外弓,刹那间, 这座高达54.2m、长17.25m、总重565.4kN的大型 脚手架轰然坍塌。

造成5人死亡,七人受伤;

脚手 架所用材料大部分报废,经济损失4.6万元;

工期 推迟一个月。

现场调查结果表明,钢脚手架结构

本身存在严重缺陷,致使结构失稳坍塌,是这次

灾难性事故的直接原因。

脚手架由里、外层竖杆 和横杆绑结而成。 ? 调查中发现支搭技术上存在以下问题:

? ①钢管脚手架是在未经清理和夯实的地面上搭起的。

这 样在自重和外载荷作用下必然使某些竖杆受力大,另外 一些受力小。

? ②脚手架未设“扫地黄杆”,各大横杆之间的距离太大 ,最大达2.2m,比规定值大0.5m。

两横杆之间的竖杆 ,相当于两端铰支的压杆,横杆之间的距离越大,竖杆 的临界载荷便越小。

? ③高层脚手架在每一层均应设有与建筑物墙体相连的牢 固联接点,而这座脚手架竟有八层无与墙体的联接点。

? ④这类脚手架的稳定安全系数规定为3.0,而这座脚手 架的稳定安全系数里层杆为1.75,外层杆为1.11。

这些 便是导致脚手架失稳坍塌的必然因素。 ? 需要指出的是,对于单个细长压杆,虽然 发生弹性失稳后仍能继续承载,但对于结 构,由于其中的一根或几根压杆发生了失 稳,将可能导致整个结构发生坍塌。

因此 ,对于这种危害性必须给予重视。

减小压 杆的长细比,增加约束的牢固性等可有效 提高压杆的稳定性。 ? 除压杆会有失稳问题外,其它形式的构件也存在可 能的情况。

例如,蒸汽锅炉、圆柱形薄壁容器,在 内压作用下,壁内应力为拉应力,这是一个强度问 题。

但是,圆柱形薄壳在均匀外压作用下,壁内应 力变为压应力(图15-a),则当外压达到临界压力 时,薄壳的圆形平衡就变为不稳定,一旦受到扰动 后,会突然变成由双点划线所示的长圆形。图15-b 为薄壁梁弯曲时因翼缘受压部分丧失稳定而整个梁 扭转(这种现象称为侧弯失稳);图15-c薄壁管受 扭也会失稳。

? 弧形薄壁拱(图15-a)失稳后变成(图15-b)中虚 线所示的形状。

因此构件的臂不宜做得太薄。 图15 Company Logo谢谢!

1利用待定常数法(重点)例1 已知数列{n }中,若1=1,且n+1=3n-4(n=1,2,3,…).求数列的通项公式n.分析:若关系式是n+1=3n即为等比数列,因此考虑处理-4,若能化为n+1+x=3(n+x),则可构造等比数列{n+x}。解:设n+1=3n-4恒等变形为n+1+x=3(n+x),即n+1=3n+2x,比较系数得:x=-2n+1-2=3(n-2)数列{n-2}是以1-2=-1为首项,公比为3的等比数列n-2=(-1)3n-1 即n=-3n-1+2.说明:给出一阶递推关系式形如(n=1,2,…),A、B为常数,均可使用待定常数法,构造等比数列求出通项。例2 已知数列{n }中,前n项和sn=2n-3n,求数列的通项公式n.分析:已知等式中不是递推关系式,利用可转化为:n-2n-1=2,考虑3n-1是变量,引入待定常数x时,可设n-x=2(n-1-x),从而可构造等比数列。解:1=s1=21-3 则1=3,当n2时,=(2n-3n)-(2n-1-3n-1)即n-2n-1=2,设其可恒等变形为:n-x=2(n-1-x),(需要注意的是上面的指数,这是某种关系而不是固定的常数,故在恒等变形时需注意两边对应的关系,而不应该用X代替x,也可以不设“-”设“+”,结果是一样的。即 n-2n-1=x,比较系数得:x=2.n-2=2(n-1-2)数列{n-2}是以1-6=-3为首项,公比为2的等比数列。n-2=(-3)2n-1n=2-3.说明:对于型如n=An-1+f(n)(A为常数)的一阶递推关系式。可利用待定常数法,构造等比数列;但须体现新数列相邻两项的规律性,设其可恒等变形为:n-xg(n)=A[n-1-xg(n-1)],若x存在,则可构造等比数列{ n-xg(n)}。2 利用配方法有些递推关系式经“配方”后,可体现等差(比)的规律性。例3 设n0,1=5,当n2时,n+n-1=6,求数列的通项公式n。分析:给出的递推关系式不能反映规律性,因此考虑去分母得:2n-2n-1=7+6(n-n-1),为体现规律性,变形为:2n-2n-1-6n+6n-1=7,即(n-3)2-(n-1-3)2=7.解:由n+n-1=6(n2)变形为:2n-2n-1=7+6(n-n-1)即(n-3)2-(n-1-3)2=7(n2)数列{ }是以(1-3)2=4为首项,公差为7的等差数列4+7(n-1)=7n-3,而n0n=3说明:递推关系式中含有二次项、一次项时可考虑用配方法,揭示规律,构造等差(比)数列。3 利用因式分解有些递推关系式经因式分解后,可体现等差(比)的规律性。例4已知数列{n }是首项为1的正项数列,且2n+1+3n+1-22n+3n-nn+1=0求数列的通项公式n。分析:由已知递推关系式,若配方,则无法配成完全平方或完全平方项之和。因此考虑用因式分解化简,寻求更实质的关系。可变形为:n+1(n+1+3)+3n-nn+1+n(-2n)=0。解:由已知有:n+1(n+1+3)+3n-nn+1+n(-2 n)=0(n+1+n)[(n+1+3)-2n]=0,而n0n+1+3-2n=0,则利用待定常数法有(n+1-3)-2(n-3)=0数列{n-3}是以1-3=-2为首项,公比为2的等比数列。n-3=(-2)2n-1 即n=3-2n说明:因式分解能达到化简的目的,使递推关系式简化,凸显规律性。5 利用倒数有些数列的递推关系式,经取倒数变形后,显现出规律性,可构造等比(差)数列。例7 已知x1=1,x2=2,xn+2=,试求xn。分析:由递推关系式结构特征,易联想到倒数,即有 xn+2=,从而可构造等比数列。解:对递推关系式两边取倒数得:=可变形为=(-)()数列{}是以=-为首项,公比为-的等比数列(-)(-=(n2)()+()+…+()1+(-)+(-)2+…+(n2)(n2)而当n=1时亦满足。(n1)说明:递推关系式中含有相邻两项之积与相邻两项之和的关系,可考虑取倒数(或化为分式),揭示规律,构造等比(差)数列。例8已知数列{n }中,1=7,n2时,求数列的通项公式n分析:已知递推关系式右边为分式,取倒数后可化为:,未能反映规律,但若能化为的关系,则可揭示规律;结合待定常数法,可确定A值。解:由已知:(A0)即(2A+1≠0)令,解得:A=1已知关系式可恒等变形为,取倒数得:(n2)。数列{}是以=为首项,公差为的等差数列。(n-1),即(n1)说明:①例8中的递推关系式结构特征,亦易想到取倒数,但要灵活结合待定常数法,构造新数列,凸显等差的规律性。②引入待定常数A是为了揭示变化的一致性(规律性),若A值存在,则可反映此变化规律。若A值不存在,则考虑其它变形。6 利用换元有些数列的递推关系式看起来较为复杂,但应用换元和化归思想后,可构造新数列进行代换,使递推关系式简化,从而揭示等差(比)规律,求出通项。例9已知数列{an }中,求(1981年第22届IMO预选题)。分析:已知递推关系式中的较难处理,考虑用换元去掉根式,即令(0)。解:令,则=5,0,从而=由已知递推关系式有:化简得:=()22=,由待定常数法得:2(-3)=-3数列{-3}是以-3=2为首项,公比为的等比数列。3=2()n-1 即=3(n1)说明:对于递推关系式中较难处理的根式(比如不能反映相邻项的规律性),可采用换元去掉根式,化简递推关系式,揭示相邻项的变化规律,构造等比(差)数列。例10 设=1,=(nN),求证:(1990年匈牙利奥林匹克试题)。分析:比较已知与结论,应先求通项公式。待证的不等式中含有,且已知递推关系式中含有,据此两个信息,考虑进行三角代换,化简递推关系式。证明:由已知0,引入数列{}使=tan,(0,)由已知有:=即=,又=1,从而即数列{}是以为首项,公比为的等比数列而当x(0,)时,有tanxXtan说明:对于递推关系式中,型如可考虑采用三角代换,化简递推关系式,揭示规律性。总之,构造等比(差)数列关键在于抓住递推关系式的结构特征,选择恰当方法进行恒等变形,往往能揭示等比(差)规律,顺利求出通项。参考文献:⑴ 罗增儒.递推数列.?高考到竞赛?(数学),陕西师范大学出版社,2002,7。⑵ 陈传理、刘诗雄.递推数列.?高中数学竞赛名师讲座?,华中师范大学出版社,1993,4。⑶ 秦永.递推数列.中学数学教学参考(陕西师范大学),2003(4)。⑷ 樊友年.构造法解数列综合题.中学数学教学参考,2002(7)。知识还是靠一点一滴积累的,有时最笨的方法也可能是最简单的方法内容来自www.07swz.com请勿采集。

  • 数据结构与C语言综合训练_题目描述
  • 数据结构与C语言综合训练_题目描述
  • 《C语言程序设计》实验的.设计.习地训练题目.答案
  • 《C语言程序设计》实验的.设计.习地训练题目.答案
  • 英语语法独立主格结构讲解与习题
  • 英语语法独立主格结构讲解与习题
  • 钢筋结构设计原理课后题答案解析赵根田主编
  • 钢筋结构设计原理课后题答案解析赵根田主编
  • 2019年第十八讲C语言高级编程结构与习题课.pp
  • 2019年第十八讲C语言高级编程结构与习题课.pp
  • C语言上机题目——选择结构程序设计
  • C语言上机题目——选择结构程序设计
  • 2016天津教师招聘结构化:新人工作努力却得不到领
  • 2016天津教师招聘结构化:新人工作努力却得不到领
  • 中小学教师资格备考技巧:英语教学设计题的基本结构与
  • 中小学教师资格备考技巧:英语教学设计题的基本结构与
  • 东大工程结构设计原理课件14预应力结构的基本概念-
  • 东大工程结构设计原理课件14预应力结构的基本概念-
  • 结构专业设计院笔试试题集锦与答案解析
  • 结构专业设计院笔试试题集锦与答案解析
  • 求那种大学里的却可以在高中使用快速解题的公式或者方法(不需要理解那种)
  • 求高中数列的全部解题方法,公式
  • 结构设计知识讲座
  • 结构设计中构造问题
  • 专题五结构与设计
  • 其他结构设计相关问题
  • 结构设计中的几个问题
  • 最新推荐
    热门推荐