人教A版高中数学选修23:2.3+离散型随机变量的均值与方差(配套课件+同步检测试题,4份)2.3.1

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这个题目是求数2113学期望.++,--,+-,-+1.一次猜对同正,5261或者同负,概率1/4得分4102期望=10*1/4-1*3/4=7/42.猜对一正一负得分期望=6*1/2-2*1/2=2显然1653后一种期望值大,更优。再看看别人怎么说的,令事件A为:2113出现两个正面令事件B为:出现5261两个负面4102令事1653件C为:出现一正一反则p{A}=0.25p{B}=0.25P{C}=0.5所以E{A}=p{A}*10+{1-p{A}}*{-1}=7/5E{B}=p{B}*10+{1-p{B}}*{-1}=7/5E{C}=p{C}*6+{1-p{C}}*{-2}=2因为令事件C的数学期望最高,所以甲同学应猜一正一反www.07swz.com防采集请勿采集本网。

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KETANG HEZUO TANJIU学习目 标重点难 点1.能记住离散型随机变量的均值的意义,会根据离散型随机变量的分 布列求出均值. 2.能记住离散型随机变量的均值的性质,能记住两点分布、二项分布 的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平,解 决一些相关的实际问题. 重点:离散型随机变量的均值的概念与计算;离散型随机变量的性质 以及两点分布与二项分布的均值. 难点:离散型随机变量的性质与应用. 目标导航 预习导引

鼎尖高中数学教案选修2-3(人教A版)五

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KETANG HEZUO TANJIU1.离散型随机变量的均值或数学期望 (1)定义:一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为

X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn

则称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学 期望.

(2)意义:离散型随机变量 X 的均值或数学期望反映了离散型随机 变量取值的平均水平.

(3)性质:如果 X 为离散型随机变量,则 Y=aX+b(其中 a,b 为常数)也 是随机变量,且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 目标导航 预习导引

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预习交流 1

(1)随机变量的均值与样本平均值有何联系与区别? 提示:①随机变量的均值是常数,而样本的均值随样本的不同而变 化; ②对于简单随机样本,随着样本x容量的增加,样本均值就越来越接 近总体的均值. 目标导航 预习导引

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(2)(2013 广东高考,理 4)已知离散型随机变量 X 的分布列为X12 3

33 1 P 5 10 10

则 X 的数学期望 E(X)=( ).A.32B.2C.52D.3答案:Ax

解析:E(X)=1×35+2×130+3×110=151x0=32. 目标导航 预习导引

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KETANG HEZUO TANJIU2.两点分布、二项分布的均值

(1)若随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)=p(p 为成功概率).

(2)若 X~B(n,p),则 E(X)=np.

预习交流 2

若随机变量 X~B(5,0.3),则 E(X)=.

提示:E(X)=5×0.3=1.5. 问题导学 当堂检测

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一、求离散型随机变量的均值(数学期望)

活动与探究

问题:某商场要将单价分别为 18 元/kg、24 元/kg、36 元/kg 的 3 种

糖果按 3∶2∶1 的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?

提示:由于在1kg

的混合糖果中,3

种糖果的质量分别是12kg、13kg和16kg,所以混合糖果的合理价格应该是18×12+24×13+36×16=23(元/kg).

这里的 23 元/kg 就是混合糖果价x 格的均值. 问题导学 当堂检测

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例 1 从装有 2 个红球,2 个白球和 1 个黑球的袋中逐一取球, 已知每个球被抽到的可能性相同.若抽取后不放回,设取完红球所需的 次数为 X,求 X 的分布列及数学期望.

思路分析:先确定好抽取次数 X 的取值,再求出对应的概率,从而得 到 X 的分布列及数学期望.x 问题导学 当堂检测

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解:由题意知 X 的取值为 2,3,4,5. 当 X=2 时,表示前 2 次取的都是红球, ∴P(X=2)=2252 = 110;

当 X=3 时,表示前 2 次中取得一红球,一白球或黑球,第 3 次取红球, ∴P(X=3)=21315322 = 15; 问题导学 当堂检测

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当 X=4 时,表示前 3 次中取得一红球,2 个不是红球,第 4 次取红球, ∴P(X=4)=21325433 = 130;

当 X=5 时,表示前 4 次中取得一红球,3 个不是红球,第 5 次取红球, ∴P(X=5)=21335544 = 25. ∴X 的分布列为

X2 34 51132 P10 5 10 5

∴数学期望 E(X)=2×110+3×15+4×130+5×25=4. 问题导学 当堂检测

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迁移与应用 1.随机变量 X 的分布列为

X -1 0 11 11 P2 44

则 E(X)等于( ).

A.-14

B.-12C.16D.1答案:Ax

解析:由 E(X)=(-1)×12+0×14+1×14=x-14,可知选 A. 问题导学 当堂检测

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KETANG HEZUO TANJIU2.在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单 位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出 顺序(序号为 1,2,…,6),求:

(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率; (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数 ξ 的分布列与数学期望. 解:只考虑甲、乙两单位的相对位置,故可用组合计算基本事件数. (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则A表示“甲、 乙的演出序号均为偶数”,由等可能性x 事件的概率计算公式得 P(A)=1-P(A)=1-3262=1-15 = 45. 问题导学 当堂检测

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(2)ξ 的所有可能值为 0,1,2,3,4,且 P(ξ=0)=562 = 13,P(ξ=1)=462 = 145,P(ξ=2)=362 = 15,P(ξ=3)=262 = 125,P(ξ=4)=162 = 115. 从而知 ξ 的分布列为

ξ 01 23 41412 1 P 3 15 5 15 15

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故 E(ξ)=0×13+1×145+2×15+3×125+4×115 = 43. 问题导学 当堂检测

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求离散型随机变量 ξ 的均值的步骤: (1)根据 ξ 的实际意义,写出 ξ 的全部取值; (2)求出 ξ 取每个值的概率; (3)写出 ξ 的分布列; (4)利用定义求出均值. 问题导学 当堂检测

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二、离散型随机变量的期望的性质

活动与探究

问题:若 X 是随机变量,且 Y=aX+b,其中 a,b 为常数,试分析随机变量 Y 的均值 E(Y)和 E(X)的关系.

提示:由随机变量均值的意义,设 P(X=xi)=pi,则 P(Y=yi)=pi, 所以 E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2x+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn =a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b. 即 E(Y)=aE(X)+b. 问题导学 当堂检测

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例 2 已知随机变量 ξ 的分布列为

ξ -1 0 111Pm23

若 η=aξ+3,E(η)=73,则 a=( ).A.1B.2C.3D.4

思路分析:先由分布列的性质求出 m,从而可求 E(ξ),利用期望的性

质 E(η)=aE(ξ)+3 求出 a.x 问题导学 当堂检测

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答案:B 解析:∵由分布列的性质得12 + 13+m=1,∴m=16.

∴E(ξ)=-1×12+0×13+1×16=-13.x

∴E(η)=E(aξ+3)=aE(ξ)+3=-13a+3=73,

∴a=2. 问题导学 当堂检测

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迁移与应用1.设 E(ξ)=10,则 E(3ξ+5)=( ).A.35B.40C.30D.15答案:Ax

解析:∵E(ξ)=10,∴E(3ξ+5)=3E(ξx)+5=3×10+5=35. 问题导学 当堂检测

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KETANG HEZUO TANJIU2.设 ξ 的分布列为

ξ 12341111 P6633,又设 η=2ξ+5,则 E(η)=.答案:332x

解析:∵E(ξ)=1×16+2×16+3×13+4×13=1 6+2 6+6 6+8 6=167,

∴E(η)=E(2ξ+5)=2E(ξ)+5=2×167+5=x332. 问题导学 当堂检测

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若给出的随机变量 ξ 与 X 的关系为 ξ=aX+b,a,b 为常数.一般思路是 先求出 E(X),再利用公式 E(aX+b)=aE(X)+b 求 E(ξ). 问题导学 当堂检测

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三、二项分布的均值及其应用

活动与探究

问题 1:若随机变量 X~B(n,p),怎样证明 E(X)=np?n

提示:E(X)=k∑=0knk

pk(1-p)n-k,又∵knk=nnk--11,

故 E(X)=k∑=n 0npnk--11pk-1(1-p)n-1-(k-1x)n-1=k∑=0npnk-1 pk(1-p)n-1-k=np. 问题 2:若随机变量 X 服从两点分布,怎样计算 E(X)? 答案:两点分布是二项分布中 n=x 1 的情况,E(X)=p. 问题导学 当堂检测

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例 3 某商场为刺激消费,拟按以下方案进行促销:顾客每消

费 500 元便得到抽奖券一张,每张抽奖券的中奖概率为12,若中奖,商场返

回顾客现金 100 元.某顾客现购买价格为 2 300 元的台式电脑一台,得到 奖券 4 张.每次抽奖互不影响.

(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 ξ,求 ξ 的分布列; (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为 η(元),用 ξ 表示 η,并求 η 的数学期望. 思路分析:由题意知抽奖券 4 次,相当于独立重复试验 4 次,每次中

奖的概率为12,所以 ξ 服从二项分布,x从而求解相应的问题. 问题导学 当堂检测

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解:(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的,

因此 ξ~B4,1 2.

于是 P(ξ=0)=40 ×1 24 = 116,P(ξ=1)=41 ×1 24 = 14,P(ξ=2)=42 ×1 24= 38,P(ξ=3)=43 ×1 24= 14,P(ξ=4)=44 ×1 24= 116.

其分布列为

ξ 0 1234 1 131 1P 16 4 8 4 16 问题导学 当堂检测

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(2)∵ξ~B4,1 2,∴E(ξ)=4×12=2.

又由题意可知 η=2 300-100ξ, ∴E(η)=E(2 300-100ξ)=2 300-100E(ξ)=2 300-100×2=2 100(元). 即所求变量 η 的数学期望为 2 100 元. 问题导学 当堂检测

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迁移与应用

某俱乐部共有客户 3 000 人,若俱乐部准备了 100 份小礼品,邀请客 户在指定时间来领取.假设任一客户去领奖的概率为 4%.问俱乐部能否 向每一位客户都发出领奖邀请?

解:设来领奖的人数 ξ=k(k=0,1,…,3 000),

∴P(ξ=k)=3k 000 (0.04)k(1-0.04)3 000-k,x

则 ξ~B(3 000,0.04),那么 E(ξ)=3 000×0.04=120(人)>100(人). ∴俱乐部不能向每一位客户都发送领奖邀请. 问题导学 当堂检测

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(1)如果随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)=p(p 为成功概率). (2)如果随机变量 X 服从二项分布即 X~B(n,p),则 E(X)=np,以上两 特例可以作为常用结论,直接代入求解,从而避免了繁杂的计算过程. 问题导学 当堂检测

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四、数学期望的应用

活动与探究 例 4 某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依

次为 1,2,…,8,其中 X≥5 为标准 A,X≥3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A

生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该产品,产品 的零售价为 4 元/件.假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.

(1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:

X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1

且 X1 的数学期望 E(X1)=6,求 a,b 的值. 问题导学 当堂检测

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(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:

3533855634 6347534853 8343447567 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系 数 X2 的数学期望. (3)在(1)、(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产 品更具可购买性?说明理由.

注:(1)产品的“性价比”=产品的产等品级的系数 零的 售数 价学期望;

(2)“性价比”大的产品更具可购买性. 问题导学 当堂检测

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思路分析:(1)根据题意,结合均值的计算与概率分布列的性质列方

程组,解之即可;(2)将频率视为概率,先由数据得到样本的频率分布列,进

而可得其概率分布列,由均值公式可得答案;(3)由题意及(2)的结论,可得 两厂产品的均值,结合题意,计算可得他们产品的“性价比”,比较其大小,

可得答案.

解:(1)因为 E(X1)=6, 所以 5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,

即 6a+7b=3.2.

又由 X1 的概率分布列得 0.4+ax+b+0.1=1, 即 a+b=0.5.由6a a+ +

7bb==03.5.2, ,解得a b= =

0.3, 0.2. 问题导学 当堂检测

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(2)由已知得,样本的频率分布列如下:

X2 3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级 系数 X2 的概率分布列如下:

X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1

所以 E(X2)=3P(X2=3)+4P(X2=4)+5P(X2=5)+6P(X2=6)+7P(X2=7)+8P(X2=8)=3 ×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8.

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. 问题导学 当堂检测

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(3)乙厂的产品更具可购买性.理由如下: 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6,价格为 6 元/件,所以其 性价比为66=1. 因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以 其性价比为44.8=1.2. 据此,乙厂的产品更具可购买性. 问题导学 当堂检测

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迁移与应用 1.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X 表示甲车床生产 1 000 件产品中的次品数,Y 表示乙车床生产 1 000 件产品中的次品数,经一段 时间考察,X,Y 的分布列分别是:

X0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1

Y0 1 2 3P 0.5 0.3 0.2 0

据此判定( ).

A.甲比乙质量好

B.乙比甲质量好

C.甲与乙质量相同

D.无法判定 问题导学 当堂检测

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KETANG HEZUO TANJIU答案:A

解析:E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,

E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7.由于 E(Y)>E(X),

故甲比乙质量好.x 问题导学 当堂检测

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KETANG HEZUO TANJIU2.(2013 大纲全国高考)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两 人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各

局中双方获胜的概率均为12,各局比赛的结果相互独立,第 1 局甲当裁判. (1)求第 4 局甲当裁判的概率; (2)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望. 问题导学 当堂检测

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解:(1)记 A1 表示事件“第 2 局结果为甲胜”, A2 表示事件“第 3 局甲参加比赛时,结果为甲负”,A 表示事件“第 4 局甲当裁判”.

则 A=A1·A2. P(A)=P(A1·A2)=P(A1)P(A2)=14.

(2)X 的可能取值为 0,1,2.

记 A3 表示事件“第 3 局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,B1 表示事件 “第 1 局结果为乙胜丙”,B2 表示事件“第 2 局乙和甲比赛时,结果为乙胜 甲”,B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时,结果为乙负”.

则 P(X=0)=P(B1·B2·A3)=P(B1)P(B2)·P(A3)=18,P(X=2)=P(B1·B3)=P(B1)P(B3)=14,P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-18?1 4=

58,EX=0·P(X=0)+1·P(X=1)+2·P(X=2)=98. 问题导学 当堂检测

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(1)实际问题中的均值问题 均值在实际中有着广泛的应用,如在体育比赛的安排和成绩预测、 消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等,都可以 通过随机变量的均值来进行估计. (2)概率模型的解答步骤 ①审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所 用的公式有哪些. ②确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值. ③对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论. 问题导学 当堂检测 1 2 3 4 5

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KETANG HEZUO TANJIU1.设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=14,k=1,2,3,4,则 E(X)的值为( ).

A.2.5 答案:A

B.3.5

C.0.25D.2x

解析:E(X)=1×14+2×14+3×14+4×14=2.5.x 问题导学 当堂检测 1 2 3 4 5

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KETANG HEZUO TANJIU2.某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率 分别是 0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设 ξ 表示客人离 开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.则

E(ξ)=( ).A.1.48

B.0.76答案:A

解析:ξ 的分布列为

C.0.24D.1xξ1 3P 0.76x 0.24

E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48. 问题导学 当堂检测 1 2 3 4 5

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3.若随机变量 η~B(5,0.2),则 E(2η+1)的值为.答案:3x

解析:∵E(η)=np=5×0.2=1,

∴E(2η+1)=2E(η)+1=3.x 问题导学 当堂检测 1 2 3 4 5

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KETANG HEZUO TANJIU4.马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布列如下表:x123P(ξ=x) ? ! ?

请小牛同学计算 ξ 的数学期望,尽管“!”处无法完全看清,且两个“?”处字 迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案

E(ξ)=.答案:2x

解析:设 P(ξ=1)=P(ξ=3)=a,P(ξ=2)=b,则 2a+b=1.

于是,E(ξ)=a+2b+3a=2(2a+b)=2x. 问题导学 当堂检测 1 2 3 4 5

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5.(2013 天津高考)一个盒子里装有 7 张卡片,其中有红色卡片 4 张,编号 分别为 1,2,3,4;白色卡片 3 张,编号分别为 2,3,4.从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率; (2)在取出的 4 张卡片中,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 问题导学 当堂检测 1 2 3 4 5

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解:(1)设“取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片”为事件 A,则 P(A)=2153+742252 = 67.

所以,取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片的概率为67. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4. P(X=1)=3374 = 315,P(X=2)=4374 = 345, P(X=3)=5374 = 27,P(X=4)=6374 = 47. 所以随机变量 X 的分布列是

X1 2 34 1 4 24P 35 35 7 7

随机变量 X 的数学期望 EX=1×315+2×345+3×27+4×47 = 157.

高中数学选修教材目录2113 1-1 第一章5261常用逻辑语 1.1命题及其关系 1.2充分4102条件与必要条1653件 1.3简单的逻辑联结词 1.4全称量词与存在量词 小结 第二章圆锥曲线与方程 2.1椭圆 探究与发现 为什么截口曲线是椭圆 信息技术应用 用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆 2.2双曲线 探究与发现 为什么 是双曲线 的渐近线 2.3抛物线 阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用 小结 第三章导数及其应用 3.1变化率与导数 3.2导数的计算 探究与发现 牛顿法-用导数方法求方程的近似解 3.3导数在研究函数中的应用 信息技术应用 图形技术与函数性质 3.4生活中的优化问题举例 实习作业 走进微积分 小结 1-2 第一章统计案例 1.1回归分析的基本思想及其初步应用 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用 实习作业 小结 第二章推理与证明 2.1合情推理与演绎推理 阅读与思考科学发现中的推理 2.2直接证明与间接证明 小结 第三章数系的扩充与复数的引入 3.1数系的扩充与复数的概念 3.2复数代数形式的四则运算 小结 第四章框图 4.1流程图 4.2结构图 信息技术应用 用word2002绘制流程图 小结 2-1 第一章常用逻辑语 1.1命题及其关系 1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词 1.4全称量词与存在量词 小结 第二章圆锥曲线与方程 2.1椭圆 探究与发现 为什么截口曲线是椭圆 信息技术应用 用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆 2.2双曲线 探究与发现 为什么 是双曲线 的渐近线 2.3抛物线 探究与发现 为什么二次函数 的图像是抛物线2.4直线与圆锥曲线的位置关系 阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用 2.5曲线与方程 探究与发现 圆锥曲线的离心率与统一方程 小结 第三章空间向量与立体几何 3.1空间向量及其运算 阅读与思考 向量概念的推广与应用 3.2立体几何中的向量方法 小结 2-2 第一章导数及其应用 1.1变化率与导数 1.2导数的计算 探究与发现 牛顿法-用导数方法求方程的近似解 1.3导数在研究函数中的应用 信息技术应用 图形技术与函数性质 1.4生活中的优化问题举例 1.5定积分的概念 信息技术应用 曲边梯形的面积 1.6微积分基本定理 1.7定积分的简单应用 实习作业 走进微积分 第二章推理与证明 2.1合情推理与演绎推理 阅读与思考 平面与空间中的余弦定理 2.2直接证明与间接证明 2.3数学归纳法 小结 第三章数系的扩充与复数的引入 3.1数系的扩充与复数的概念 3.2复数代数形式的四则运算 阅读与思考 代数基本定理 小结 2-3 第一章计数原理 1.1分类加法计数原理与分部乘法计数原理 探究与发现 子集的个数有多少 1.2排列与组合 探究与发现 组合数的两个性质 1.3二项式定理 小结 第二章随机变量及其分布 2.1离散型随机变量及其分布列 2.2二项分布及其应用 阅读与思考 这样的买彩票方式可行吗? 探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大 2.3离散型随机变量的均值与方差 2.4正态分布 信息技术应用 µ,б对正态分布的影响 小结 第三章统计案例 3.1回归分析的基本思想及其初步应用 3.2独立性检验的基本思想及其初步应用 实习作业 小结 4-1 几何证明选讲 第一讲相似三角形的判定及有关性质 一平行线等分线段定理 二平行线分线段成比例定理 三相似三角形的判定及性质 1相似三角形的判定 2相似三角形的性质 四直角三角形的射影定理 第二讲直线与圆的关系 一圆周角定理 二圆内接四边形的性质与判定定理 三圆的切线的性质及判定定理 四弦切角的性质 五与圆有关的比例线段 第三讲圆锥曲线性质的探讨 一平行射影 二平面与圆柱面的截线 三平面与圆锥面的截线 4-4 坐标系与参数方程 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 二极坐标系 三简单曲线的极坐标方程 四柱坐标系与球坐标系 第二讲参数方程 一曲线的参数方程 二圆锥曲线的参数方程 三直线的参数方程 四渐开线与摆线 4-5 不等式选讲 第一讲不等式和绝对值不等式 一不等式 1不等式的基本性质 2基本不等式 3三个正数的算术-几何平均不等式 二绝对值不等式 1绝对值三角不等式 2绝对值不等式的解法 第二讲证明不等式的基本方法 一比较法 二综合法与分析法 三反证法与放缩法 第三讲柯西不等式与排序不等式 一二维形式的柯西不等式 阅读与思考 法国科学家柯西 二一般形式的柯西不等式 三排序不等式 第四讲数学归纳法证明不等式 一数学归纳法 二用数学归纳法证明不等式内容来自www.07swz.com请勿采集。

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