第14章 整式的乘除与因式分解 教案

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分解因2113式,也正如分解质因数,分解质因数,是要把整数变成一个5261个质数的乘积4102,在因数中去掉合数;分解因式,就是1653把整式变成一个个因式的乘积,尽量降低各个因式的次数,具体方法,【第一步,提取公因式】这也是最简单的方法,公因式不仅有:系数、字母、单项式(这些相信我们都熟悉了),而且,公因式还可能是一个式子,例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b),公因式是 (a+b)原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )= ( a + b )( 5m + 5n ) ——这样再提取系数 5= 5( a + b )( m + n )【第二步,公式法】就是把整式乘法的公式倒过来用,a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差,a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和,a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差,a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和,a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差,熟悉公式,熟悉平方数、立方数是关键,www.07swz.com防采集请勿采集本网。

第14章:整式乘除与因式分解

人教版八年级数学上册《第十四章整式的乘除与分解因式》知识点总结 1.基本运算: ⑴同底数幂的乘法:⑵幂的乘方:⑶积的乘方:2.整式的乘法: ⑴单项式单项式:系数系数,同字母同字母,不同字母为积的因式. ⑵单项式多项式:用单项式乘以多项式的每

一、基础知识

=-(5x²-4y²)² =-(25x的4次方-40x²y²+16y的4次方) =-25x的4次方+40x²y²-16y的4次方

1.因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这就叫做把这个多项式因式分解,也可称为将这个多项式分解因式,它与整式乘法互为逆运算。

http://www.12999.com/html3/2035.html

2.常用的因式分解方法:

教学目标 1.单项式、单项式的定义. 2.多项式、多项式的次数. 3、理解整式概念. 教学重点 单项式及多项式的有关概念. 教学难点 单项式及多项式的有关概念.

(1)提公因式法:把73b9c528327071927e39bf6f0e95af66.png,分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式31d157cb73e26e9aa710360ea27c1901.png是73b9c528327071927e39bf6f0e95af66.png除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法。

十四章 整式的乘除与因式分解 14.1.1同底数幂的乘法 教学目标 1.知识与技能 在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则,并掌握“法则”的应用. 2.过程与方法 经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程,感受幂的意义,发展推理能力和表达能力,提高

多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。

公因式的构成:①系数:各项系数的最大公约数;

②字母:各项都含有的相同字母;

③指数:相同字母的最低次幂。

(2)公式法:

(1)常用公式 平 方 差: 730ee787f03ad52bfd730f532087aca6.png

完全平方: d881641ff01c806a8251b794674d75f3.png

(2)常见的两个二项式幂的变号规律:

①c58389c0096bfb04cb1c9e882b474f7e.png;②6c3ced596898647fc9446c5aece59bd3.png.(7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为正整数)

(3)十字相乘法

ⅰ 二次项系数为1的二次三项式c19a0cca2cc48ddaba00aaa46b111f50.png中,如果能把常数项7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png分解成两个因式b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png的积,并且65c884f742c8591808a121a828bc09f8.png等于一次项系数中83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png,那么它就可以分解成

12371555310d9bb1900624ba925d96eb.png

ⅱ 二次项系数不为1的二次三项式5b7bc9adb96a6ee1dc17b024f1ddab74.png中,如果能把二次项系数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png分解成两个因数1c44e38d0349f6c9ed3313d4de3ec29e.png的积,把常数项4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png分解成两个因数1127377e55105135240a547c85296789.png的积,并且a9c3eebb1e71df2c0e9da2e61c983cab.png等于一次项系数92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png,那么它就可以分解成:ca3f93801397a480837fccc6e32edea6.pngaf59851c87d8764ac1acd39a3ee0c055.png。

(4)分组分解法

ⅰ 定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如137baa6a5a2c3b1fc75c633eb224f1a3.png没有公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把原多项式分成两组。再提公因式,即可达到分解因式的目的。例如:

137baa6a5a2c3b1fc75c633eb224f1a3.png=cbf16686bc009a93966f7162fbc78172.png,

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

ⅱ 原则:分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间能继续分解。

ⅲ 有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只要能将多项式正确分解即可。

二、经典例题

第二部分:因式分解

例:将下列各式分解因式:

(1)

_______; (2)5b030161ef647dcfe047ad25e2caff8d.png; (3)138c06155bc3217c6fb5454aad625ca6.png_______;

(4)512f72ad2b43c19584739a2d99ace3d9.png_______。 (5)c500be8cef647d243ce9f7ef4da00bd3.png=_______。

(6)2d770ce1e8ff90bd16e560e592f57d72.png=_______。 (7)a6293837c807e8caac1e6d9fd5e43875.png =_______。

(8)aeca7002f2b14bbbfbfb9c60df3a250c.png=_______。

[答案](1)ce1332a78cacdd1974772669c9b7ac36.png (2)7394df0edb280c6d8a2d6239cfe79c19.png (3)b902b6ddd390014b293d480decc88873.png

(4)c6726460d0362d3139acb05879ff97dc.png (5)4(12a + b)(a + 12b) (6)(8m + 3n)2

(7)5876bae4c0ed28fa7878aa9e719aff94.png397caba91c92d528c1dc40568883585f.png (8)03b056db1f6831006cdc08c7a4bbc464.png

[错因透视]

因式分解是中考中的热点内容,有关因式分解的问题应防止出现一下常见错误:①公因式没有全部提出,如10fae32506bbcb656fe1693e57fb88bb.png7b2393417d2732e558dd9726327c480a.png;②因式分解不彻底,如3a0fe682457699aae240341d7b1d9beb.png;③丢项,如138c06155bc3217c6fb5454aad625ca6.pngbc97b527b2aec725fb52fb4847eb1a88.png;④分组不合理,导致分解错误,如512f72ad2b43c19584739a2d99ace3d9.png1e3bb7672c21de42d55435ec81446ce4.png,无法再分解下去。

三.适时训练y=(x-2)2+3等

(一)精心选一选

1.计算648868e4b6f70a5e02bffeae5785e66a.png的最终结果为 ( ).

A.85e974ca2a625cb27ec89ab75e93cadd.png B.08a28f534c66cc7c63020ea86b87354a.png C.a434aeaece41df7b99cfd12ec829611d.png D.4d76e868a5c147c21de30a48ed4fd698.png

2. 已知fb43a0eca3368abd765812e3d088bae1.png,则 ( ).

A.5870bb658ee9e8a6900c138365d64c80.png B.a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png C.9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png为任意数 D.6b825c66b23f97c20abe9af1c474fd3f.png

3.若9965f3346f12514fddecdafb9afcb80d.png,deaac8d5e9936d7e57e67794c3899404.png,则cbc1fecf6bc248c8a185242f027fc75b.png等于 ( ).

A.2f30450a2ddd29e451756b033079b678.png B.6 C.21 D.20

6.(2007山东德州)下列算式中,正确的是(  )

A.a73190c907adff9055d266d748dff5d6.png B.dd5125e4e25fed2b8426565ff78c3f9b.png C.8d4c60691fb5203db7c54560367984d9.png D.adf253a9b9daa538b9551088623c55b4.png

12.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )

A.6bbe1d8a3f3659ea777c40a0719052f1.png B.107e99ab88f11c725abdbd1db52deae1.png C.349355f37f585da3c06c8af0f849e41d.png D.4afdab3cced1f99a678e4106c2b45b8a.png

15.下列因式分解中,正确的有

①4a-a3b2=a(4-a2b2);②x2y-2xy+xy=xy(x-2);③-a+ab-ac=-a(a-b-c);④9abc-6a2b=3abc(3-2a);⑤6ca8c824c79dbb80005f071431350618.pngx2y+6ca8c824c79dbb80005f071431350618.pngxy2=6ca8c824c79dbb80005f071431350618.pngxy(x+y)

A.0个 B.1个 C.2个 D.5个

17.把多项式e54b8cf8731a60852d7510ea5be36e2b.png(n为大于2的正整数)分解因式为( )

A.33c5c74e537e8da2f9aafc4109754688.png B.dd910e7ff2bb57de1e6a0d78e6971a84.png C.8fec0df711d9556feb9d1bd61fa3e8f7.png D.6f5a96ae3ec910582ccd5efc73244c07.png

20.(2007云南)已知x+y = –5,xy = 6,则

的值是( )

A.

B. c51ce410c124a10e0db5e4b97fc2af39.png C. 70efdf2ec9b086079795c442636b55fb.png D. 8e296a067a37563370ded05f5a3bf3ec.png

(二)细心填一填

26.B要使16c66452631491acdbf8e5ed69dfd19681.png+1成为完全平方式,应加上的式子是___________________;

27.一个正方形的边长增加了2cm,面积相应增加了32cm2,则这个正方形的边长为_______.

28.计算:2f58b95bc1e75c32322700ba24567bce.png;

33. 已知实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png满足135a710ad71665955dd733e59cb4ad12.png,d69292bc3341d74db9aef48c9ed5e540.png,则代数式4bbacb376166696c47dfa6baa1ebd8b1.png的值为    .

34.B(2007年潍坊市)在实数范围内分解因式:43c6ce66b97df108c4f8d7e06ac01fe7.png .

37.B若b23ee968b05b05585188f2f958270e36.png无意义,则b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png的关系是___________________;

三、认真答一答

39.B-A (2007江苏徐州)已知9fe4d4c0034fc57228b2bdc3156659d6.png,求bfcb1b10571284f37486402590f4d90d.png的值。

49. (2007年衢州)下面的图(1)是由边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形.把图(1)剪开后,再拼成一个四边形,可以用来验证公式730ee787f03ad52bfd730f532087aca6.png.

(1)请你通过对图(1)的剪拼,画出三种不同拼法的示意图.要求:

①拼成的图形是四边形;

②在图(1)上画剪切线(用虚线表示);

③在拼出的图形上标出已知的边长.

(2)选择其中一种拼法写出验证上述公式的过程.

50. 已知△ABC三边长分别为a、b、c,且a、b、c满足等式3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2,试判断△ABC的形状.参考答案

(一)精心选一选

1.B 2.D 3.A 6.C

12.D(点拨:判断是不是因式分解必须满足两点,一是等式左边是多项式,二是等式的整式积的形式) 15.B 17.D 20. B

26.-1或±89dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png或-16c66452631491acdbf8e5ed69dfd19681.png或64bf0c8ff90b875a8678a9f61f6ef6105c.png;

27.设正方形的边长为02b55e4f52388520bfe11f959f836e68.png,则9a473cf219957dbcf19cdc0b2e27702a.png=32,则40cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png+4=32,所以0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png=7,即这个正方形的边长为7cm.

28.a26747f22baad2552fba4186f357719c.png;

33.将所给的两个等式拆开后运用等式的性质相加可得

8b09700060cb08d1c7c64c7e0d313d14.png,所以c1b048f8234aaabd89194a4f24c1e10c.png;

再将两个等式相减可得,

6ed21bc9f42aa337ebbd593b0326dd12.png,所以3d630ea6649dd94cb255443ac52bd308.png.

故4bbacb376166696c47dfa6baa1ebd8b1.png=13+(-6)=7.

34. 875713c8cf280adbf3b5384f71c359c08.png

(解析:原式=4(m+1)

-8=4(m+1-

)(m+1+

))

37.ba9b2ecac3549041884c6c7ae21cc556.png;

39.因为9fe4d4c0034fc57228b2bdc3156659d6.png,79cd9a0bd11cb89070dec61fa65481b2.png,

即b1f8e6d80bec42dc83cfe8b0a5a3a01e.png,

5f758b37ef527d7db6a561aa37a1b1b3.png且d6d562caa6ecf457e3f32a0608ecbd30.png,3f283f93ecbf43ce948c1aa4bfe7dea0.png且19bf9442bea375a24abb4c22e9951a92.png,

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png原式1a4219be46d71ac3d05e19b87ce714a5.png.

49. 如图可以拼成一个两边长分别为(a+b)和(a-b)的矩形.

50 (中)解:因3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2展开后可变为:2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ac),

即2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ac)=0,所以该式进一步可变为:

(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,由此可得:a=b=c,所以该三角形为等边三角形.

第十四章 整式 XTZ 拓展

测试1 整式的乘法

拓展、探究、思考

28.通过对代数式进行适当变形求出代数式的值.

(1)若2x+y=0,求4x3+2xy(x+y)+y3的值;

(2)若m2+m-1=0,求m3+2m2+2008的值.

29.若x=2m+1,y=3+4m,请用含x的代数式表示y.

测试2 乘法公式

拓展、探究、思考

32.巧算:1ae343f632d117bb9218c0acc820d2e3.png

33.计算:(a+b+c)2.

34.若a4+b4+a2b2=5,ab=2,求a2+b2的值.

35.若x2-2x+10+y2+6y=0,求(2x+y)2的值.

36.若△ABC三边a、b、c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca.试问△ABC的三边有何关系?

测试3 整式的除法

拓展、探究、思考

33.已知x2-5x+1=0,求17014bec9614cacd20f1f8339ff44918.png的值.

34.已知x3=m,x5=n,试用m、n的代数式表示x14.

35.已知除式x-y,商式x+y,余式为1,求被除式.

测试4 提公因式法

拓展、探究、思考

25.因式分解:

(1)ax+ay+bx+by; (2)2ax+3am-10bx-15bm.

测试5 公式法(1)

拓展、探究、思考

24.分别根据所给条件求出自然数x和y的值:

(1)x、y满足x2+xy=35;(2)x、y满足x2-y2=45.

测试6 公式法(2)

拓展、探究、思考

22.(m2+n2)2-4m2n2 23.x2+2x+1-y2

24.(a+1)2(2a-3)-2(a+1)(3-2a)+2a-3

25.x2-2xy+y2-2x+2y+1

26.已知x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)称为立方和公式,x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)称为立方差公式,据此,试将下列各式因式分解:

(1)a3+8 (2)27a3-1

测试7 十字相乘法

拓展、探究、思考

21.B因式分解:4a2-4ab+b2-6a+3b-4.

(解析:(2a-b)

-3(2a-b)-4=(2a-b+1)(2a-b-4))

22.观察下列各式:1×2×3×4+1=52;2×3×4×5+1=112;3×4×5×6+1=192;判断是否任意四个连续正整数之积与1的和都是某个正整数的平方,并说明理由.

分解因式,也正如分解质因数21135261,分解质因数,是要把整数变成一个个质数的乘积,在因4102数中去掉合数;分解因1653式,就是把整式变成一个个因式的乘积,尽量降低各个因式的次数,具体方法,【第一步,提取公因式】这也是最简单的方法,公因式不仅有:系数、字母、单项式(这些相信我们都熟悉了),而且,公因式还可能是一个式子,例如 (a + b)(3m + 2n) + (2m + 3n)(a + b),公因式是 (a+b)原式 = ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )= ( a + b )( 5m + 5n ) ——这样再提取系数 5= 5( a + b )( m + n )【第二步,公式法】就是把整式乘法的公式倒过来用,a" - b" = (a - b)(a + b) ——平方差,a" + 2ab + b" = (a + b)" ——完全平方和,a" - 2ab + b" = ( a - b )" ——完全平方差,a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b") ——立方和,a"' - b"' = ( a - b )(a" + ab + b") ——立方差,熟悉公式,熟悉平方数、立方数是关键,内容来自www.07swz.com请勿采集。

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