人教版数学七年级培优和竞赛教程15整数的分类

来源:互联网 编辑: 张倩 手机版

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(15)整数的分类

孩子,早日回头,靠自己吧!不然你的高中都会成问题咯!!!!

【知识精读】1.余数的定义:在等式A=mB+r中,如果A、B是整数,m是正整数,

这两个实质上都一样。不过章节顺序变了变,出题的顺序变了变。大部分题两本都有的。你选什么都一样,我觉得还是选新思维吧。新方法虽说有很多题和新思维一样,但有的题还是偏简单。个人觉得新思维会好一些。 还有这本书,很经典的: http://item

r为小于m的非负整数,那么我们称r是A 除以m的余数。

据我所知,培优和竞赛是两个概念。选哪个,要看你的成绩属于哪个水平线。一般来说,成绩优等选培优,智商超常选竞赛。如果是作为课堂学习的辅助,就一定不要选竞赛,不管你属于哪个层级。

即:在整数集合中  被除数=除数×商+余数 (0≤余数<除数)

先做竞赛培优教程的一试 高一课程可以与竞赛培优教程的一试配套的,既可以面对竞赛,又可以高屋建瓴解决高考 等到自己自学到解析几何导数后,可以做专题课程 高二参加竞赛之前好好做题典 建议可以高一先参加一次竞赛,热热身 你很有志向,祝你成

例如:13,0,-1,-9除以5的余数分别是3,0,4,1 

试卷五的答案 1.A 2.B 3.空缺 4.A 5.C 6.29 7.1/1004 8.1或-9 9.169 10.8 11.最大值是7,最小值是3 12.(1).2003003 (2).1/2003001 13. 空缺 14.空缺

(∵-1=5(-1)+4。  -9=5(-2)+1。)2.显然,整数除以正整数m ,它的余数只有m种。

例如 整数除以2,余数只有0和1两种,除以3则余数有0、1、2三种。3.整数的一种分类:按整数除以正整数m的余数,分为m类,称为按模m分类。例如:

m=2时,分为偶数、奇数两类,记作{2k},{2k-1} (k为整数)

m=3时,分为三类,记作{3k},{3k+1},{3k+2}.

或{3k},{3k+1},{3k-1}其中{3k-1}表示除以3余2。

m=5时,分为五类,{5k}.{5k+1},{5k+2},{5k+3},{5k+4}

或{5k},{5k±1},{5k±2},  其中5k-2表示除以5余3。4.余数的性质:整数按某个模m分类,它的余数有可加,可乘,可乘方的运算规律。

举例如下:

①(3k1+1)+(3k2+1)=3(k1+k2)+2   (余数1+1=2)

②(4k1+1)(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3  (余数1×3=3)

③(5k±2)2=25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4  (余数22=4)

以上等式可叙述为:1两个整数除以3都余1,则它们的和除以3必余2。 2两个整数除以4,分别余1和3,则它们的积除以4必余3。3如果整数除以5,余数是2或3,那么它的平方数除以5,余数必是4或9。

余数的乘方,包括一切正整数次幂。

如:∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 (26=64)5.运用整数分类解题时,它的关鍵是正确选用模m。

【分类解析】

例1. 今天是星期日,99天后是星期几?

分析:一星期是7天,选用模m=7, 求99除以7的余数

解:99=(7+2)9,它的余数与29的余数相同,29=(23)3=83=(7+1)3它的余数与13相同,

∴99天后是星期一。

又解:设{A}表示A除以7的余数,

{99}={(7+2)9}={29}={83}={(7+1)3}={13}=1

例2. 设n为正整数,求43 n+1 除以9的余数。

分析:设法把幂的底数化为9k+r形式

解:43 n+1=4×43n=4×(43)n=4×(64)n=4×(9×7+1)n

∵(9×7+1)n除以9的余数是1n=1

∴43 n+1 除以9的余数是4。

例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数

解:设三个连续整数为n-1,n,n+1

M=(n-1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2)

把整数n按模3,分为三类讨论。

当n=3k (k为整数,下同)时,M=3×3k[(3k)2+2]=9k(9k2+2)

当n=3k+1时, M=3(3k+1)[(3k+1)2+2]=3(3k+1)(9k2+6k+3)

=9(3k+1)(3k2+2k+1)

当n=3k+2时, M=3(3k+2)[(3k+2)2+2]=3(3k+2)(9k2+12k+6)

                    =9(3k+2)(3k2+4k+2)

∴对任意整数n,M都是9的倍数。

例4. 求证:方程x2-3y2=17没有整数解

证明:设整数x按模3分类讨论,

①当x=3k时,   (3k)2-3y2=17,    3(3k2-y2)=17

⑵当x=3k±1时,  (3k±1)2-3y2=17 3(3k2±2k-y2)=16

由①②左边的整数是3的倍数,而右边的17和16都不是3的倍数,

 ∴上述等式都不能成立,因此,方程x2-3y2=17没有整数解

例5. 求证:不论n取什么整数值,n2+n+1都不能被5整除

证明:把n按模5分类讨论,

当n=5k时,n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1

当n=5k±1 时,n2+n+1=(5k±1)2+5k±1+1

=25k2±10k+1+5k±1+1=5(5k2±2k+k)+2±1

当n=5k±2时,n2+n+1=(5k±2)2+5k±2+1

=25k2±20k+4+5k±2+1=5(5k2±4k+k+1)±2

综上所述,不论n取什么整数值,n2+n+1都不能被5整除

又证:n2+n+1=n(n+1)+1

∵n(n+1)是两个连续整数的积,其个位数只能是0,2,6

 ∴n2+n+1的个位数只能是1,3,7,故都不能被5整除。

【实战模拟】1.已知a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k都是整数)

填写表中各数除以3的余数。a+ba+cabac2a2ba2b2b3b5a+b)5

2.  376÷7的余数是_____3.今天是星期日,第2天是星期一,那么第2111天是星期几?4.已知m,n都是正整数,求证:32128515b8f6322820de7ef03b585de57.pngnm(n2+2)5. 已知a是奇数但不是3的倍数,求证:242128515b8f6322820de7ef03b585de57.png(a2-1)

(提示a可表示为除以6余1或5,即a=6k±1)一二三四五123487659101112161514136.把正整数按表中的规律排下去,问100

将排在哪一列?答:___7.已知正整数n不是4的倍数

求证:1n+2n+3n+4n是10的倍数8. 任给5个整数,必能从中找到3个,

其和能被10整除,这是为什么?9对任意两个整数,它们的和、差、积中

至少有一个是3的倍数,试说明理由。10.任意10个整数中,必有两个,它们的差是9的倍数。这是为什么?如果改为任意n+1个,则必有两个,它们的差是n的倍数,试说明理由。11.证明 x2+y2-8z=6没有整数解 12.从1开始的正整数依次写下去,直到第198位为止 即d390345f789da08b5717f28de1b6cddb.png

那么这个数用9除之,余数是___练习2. 1  3. 日  4. 设n=3k, 3k+1, 3k-1讨论 6.100除以8余数为4,故在第五列7.可列表说明n=4k+3, 4k+2, 4k+1, 4k时,其和均为08. 整数除以3,余数只有0,1,2三种,按5个整数除以3的余数各种情况讨论………10. 整数除以9余数只有9类,而10个………11. ∵x2+y2=8z+6, ∴右边除以8,余数 是6,左边整数x,y按除以4的余数,分为4类,4k,4k+1,4k+2,4k-1, 则x2+y2除以8的余数………8. 6

内容来自用户:一线专家教师初中数学竞2113赛精品标准教程及练习(16)整数的一种分类5261一、内容提要41021.余数的定义:在等式A=mB+r中,如果1653A、B是整数,m是正整数,r为小于m的非负整数,那么我们称r是A除以m的余数。即:在整数集合中  被除数=除数×商+余数(0≤余数<除数)例如:13,0,-1,-9除以5的余数分别是3,0,4,1 (∵-1=5(-1)+4。  -9=5(-2)+1。)2.显然,整数除以正整数m ,它的余数只有m种。例如整数除以2,余数只有0和1两种,除以3则余数有0、1、2三种。3.整数的一种分类:按整数除以正整数m的余数,分为m类,称为按模m分类。例如:m=2时,分为偶数、奇数两类,记作{2k},{2k-1} (k为整数)m=3时,分为三类,记作{3k},{3k+1},{3k+2}.或{3k},{3k+1},{3k-1}其中{3k-1}表示除以3余2。m=5时,分为五类,{5k}.{5k+1},{5k+2},{5k+3},{5k+4}或{5k},{5k±1},{5k±2},  其中5k-2表示除以5余3。4.余数的性质:整数按某个模m分类,它的余数有可加,可乘,可乘方的运算规律。举例如下:①(3k1+1)+(3k2+1)=3(k1+k2)+2  (余数1+1=2)②(4k1+1)(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3  (余数1×3=3)③(5k±2)2=25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4  (余数22=4)以上等式可叙述为:分析:一星期是当6内容来自www.07swz.com请勿采集。

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