高中数学(人教A版,选修23)2.3 离散型随机变量的均值与方差 课件+同步练习(9份)23 2.3.1

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抛硬币会出现:(正正2113)、(正反)、(反5261正)、(反反)四种情况,且四种情况为等概4102率事件。 先分析猜(1653正正)的情况。此时的期望为E(正正)=0.25x10-0.75x1=1.75。(因为答错了是会扣分的,故需减去答错的情况下的扣分期望)。同理,E(反反)=1.75。再分析一正一反的情况。由于硬币不用排序,故投币时的(正反)与(反正)都是猜对的,猜对的概率是0.5。E=0.5x6-0.5x2=2(同样需要减去答错时扣分的期望)。因为(2>1.75),故甲同学应该才一正一反获胜的期望较高,令事2113件A为:出现两个正面令事件B为:出现两个5261负面令事件C为:出现一正4102一反则 p{A}=0.25 p{B}=0.25 P{C}=0.5所以1653E{A}=p{A}*10+{1-p{A}}*{-1}=7/5 E{B}=p{B}*10+{1-p{B}}*{-1}=7/5 E{C}=p{C}*6+{1-p{C}}*{-2}=2因为令事件C的数学期望最高,所以甲同学应猜一正一反,这个题目是求数学期望.++,--,+-,-+1. 一次猜对同正,或者同负,概率1/4得分期望=10*1/4-1*3/4=7/42. 猜对一正一负得分期望=6*1/2-2*1/2=2显然后一种期望值大,更优www.07swz.com防采集请勿采集本网。

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大边对大角应该知道吧 那么最大角就是8所对的角 最小角就是5所对的角 求这两个角的和不必分别求出,只需要求出7所对的角然后用π去减即可 根据余弦定理cosα=(5*5+8*8-7*7)/2*5*8=1/2 那么α=π/3 则两角之和为π-π/3=2π/3=120°

成才之路 ·数学

2012年4月16日星期一年月日星期一1一、复习(一)离散型随机变量取值的数学期望离散型随机变量取值的数学期望1、数学期望的定义XPx1x2······xk······p1p2pkE(X)=x1p1+x2p2+L+xkpk+L说明:(1)E(X)它反映了离散型随机变量取值的平均水平。它反映了

人教A版 ·选修2-3

高中数学必修与选修教材目录 1.高中数学必修模块: 必修1第一章集合与函数概念第二章基本初等函数(Ⅰ)第三章函数的应用必修2第一章空间几何体第二章点、直线、平面之间的位置关系第三章直线与方程第四章圆与方程必修3 第一章算法初步第二章统计

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 随机变量及其分布 第二章 2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值 1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案 4 备选练习 自主预习学案 1.通过实例,理解离散型随机变量均值的概念,能计算简 单离散型随机变量的均值,掌握两点分布、二项分布的均值, 并能解决一些实际问题.2.通过本节学习,体会离散型随机变量的均值在实际生 活中的意义和应用,提高数学应用意识,激发学习兴趣. 重点:离散型随机变量的均值概念及计算. 难点:求离散型随机变量的均值. 离散型随机变量的均值

北师大版2017-2018学年高中数学选修2-3全册课时跟踪训练目录课时跟踪训练(一)分类加法计数原理和分步乘法计数原理1课时跟踪训练(二)排列与排列数公式3课时跟踪训练(三)排列的应用6课时跟踪训练(四)组合与组合数公式9课时跟踪训练(五)组合的应用1

温故知新 回顾复习求样本平均数的方法和在频率分布直方图中求平 均数的估计值的方法. 思维导航 1.有一组数据,其中有3个1,2个2,1个3,这组数据的平均 数是多少?从中任取一个数据,用X表示这个数据,X的可能取 值有哪些?X取每个值的概率是多少?将X的每个值与其对应的 概率相乘,求其所有积的和与上面求得的平均数相比较,你发 现了什么? 新知导学1.定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则 称 E(X) = __x_1p_1_+__x_2_p_2+__…__+__x_i_p_i+__x_np_n__ 为 随 机 变 量 X 的 __均__值___或__数__学__期__望__. 2.离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取 值的__平__均___水平. 3.若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X) =___p____. 4.若 X~B(n,p),则 E(X)=___n_p______.

离散型随机变量的方差课题:离散型随机变量的方差三维目标:1.通过实例理解离散型随机变量方差的概念,能计算简单离散型随机变量的方差.2.理解离散型随机变量方差的性质并掌握两点分布、二项分布的方差.3.会利用离散型随机变量的方差,反映离散

设 q=1-p,∵P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k=Cknpkqn-k,∴E(X)=0×C0 np0qn+1×C1 np1qn-1+2×C2 np2qn-2+…+

k×Cknpkqn-k+…+n×Cnnpnq0,

又∵kCkn=k·k!?nn!-k?!=?k-1?!n[?·n?n--11?-?!?k-1?]!=___n_C_kn_--_11 ___,∴E(X)=np(C0n-1p0qn-1+C1n-1p1qn-2+…+Ckn--11pk-1q(n-1)-(k- 1)+…+Cnn- -11pn-1q0)=np·__(p_+__q_)_n_-_1_=__n_p_______. 5.若a、b为常数,X为离散型随机变量,则aX+b也是离 散型随机变量,并且E(aX+b)=__a_E_(X__)+__b__,特别地,E(c)= ___c___ (c是常数). 牛刀小试1.(2013·广东理,4)已知离散型随机变量 X 的分布列为()X123P3 53 101 10 则 X 的数学期望 E(X)=( )A.32B.2C.52D.3[答案] A

[解析] E(X)=1×35+2×130+3×110=32. 2.节日期间,某种鲜花进价是每束 2.5 元,售价是每束 5元;

节后卖不出的鲜花以每束 1.6 元处理.根据前五年销售情

况预测,节日期间这种鲜花的需求量 X(束)的分布列如下表.若

进这种鲜花 500 束,则期望利润是( )X 200 300 400 500P 0.20 0.35 0.30 0.15

A.706 元

B.690 元

C.754 元

D.720 元[答案] A [解析] 节日期间这种鲜花需求量的数学期望E(X)=200 ×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=40+105+120+ 75=340(束),则利润Y=5X+1.6(500-X)-500×2.5=3.4X- 450,所以E(Y)=3.4E(X)-450=3.4×340-450=706(元).故 期望利润为706元.应选A. 3.由于电脑故障,使得随机变量X的概率分布列中部分数 据丢失(以□代替),其表如下表.请你先将丢失的数据补全, 再求随机变量的数学期望,其期望值为________.X123456P 0.20 0.10 0.□5 0.10 0.15 0.20[答案] 3.5 [解析] 本题考查随机变量的概率,数学期望.由分布列

的性质知,它们的概率的和为1,可以得到应填的数为2,然后 根据数学期望 E(X)=1×0.20 +2×0.10 +3×0.25 +4×0.10+5×0.15+6×0.20=3.5. 4.将一颗骰子连掷100次,则点6出现次数X的均值E(X)= ________.[答案]50 3

[解析] 这是 100 次独立重复试验,X~B???100,16???,∴E(X)=100×16=530. 5.(2014·天津理,16)某大学志愿者协会有6名男同学,4 名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名 同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名 同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学 被选到的可能性相同).

(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的 分布列和数学期望. [解析] (1)设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为 事件 A,则P(A)=C13·C27C+130C03C37=4690. 所以,选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为4690. (2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3. P(X=k)=Ck4C·C31036-k(k=0、1、2、3). 所以,随机变量 X 的分布列是X0123P1 61 23 101 30

随机变量 X 的数学期望 E(X)=0×16+1×12+2×130+3×310=65. 典例探究学案 求离散型随机变量的均值

甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲 先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时 投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为13,乙每次投篮投中的概 率为12,且各次投篮互不影响.

(1)求甲获胜的概率;

(2)求投篮结束时甲的投球次数 ξ 的分布列与期望. [分析] (1)“甲获胜”的含义是:第一次甲中,或者第一 次甲、乙都不中、第二次甲中,或者第一、二次甲、乙都不 中,第三次甲中.

(2)“甲投球次数”ξ的取值为1、2、3,ξ=1表示第一次甲 中;ξ=2表示第一次甲、乙都未中,第二次甲中;ξ=3表示第 一、二次甲、乙都不中. [解析] 设 Ak、Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则 P(Ak)=13,P(Bk)=12,(k=1,2,3). (1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率 与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 P(C)=P(A1)+P( A 1 B 1A2)+P( A 1 B 1 A 2 B 2A3) =P(A1)+P( A 1)P( B 1)P(A2)+P( A 1)P( B 1)P( A 2)P( B 2)P(A3) =13+23×12×13+(23)2×(12)2×13 =1237. (2)ξ 的所有可能值为 1、2、3. 由独立性知 P(ξ=1)=P(A1)+P( A 1B1)=13+23×12=23, P(ξ=2)=P( A 1 B 1A2)+P( A 1 B 1 A 2B2) =23×12×13+(23)2(12)2=29, P(ξ=3)=P( A 1 B 1 A 2 B 2) =(23)2×(12)2=19. 综上知,ξ 的分布列为:ξ1 2 3P2 32 91 9

从而,E(ξ)=1×23+2×29+3×19=193(次). [方法规律总结] 求离散型随机变量的期望的一般步骤 是:①明确随机变量的取值,以及取每个值的所有试验结果;

②求出随机变量取各个值的概率;

③列出分布列;

④利用期望 公式进行计算. (2013·福州文博中学高二期末)马老师从课本上抄录一个随 机变量ξ的概率分布列如下表:

t P(ξ=t)123 ?!?

请小牛同学计算ξ的数学期望 ,尽管“!”处完全无法看 清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这两个“?”处的数

值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)=( ) A.1B.4C.3D.2[答案] D

[解析] 设?处为x,!处为y,则由分布列的性质得2x+y=1,∴期望E(ξ)=1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=4x+2y=2. 离散型随机变量的均值的性质

已知随机变量 X 的分布列为 X0 2 4 P 0.4 m 0.3

求:(1)E(X);

(2)若 Y=5X+4,求 E(Y).

[分析] (1)可由离散型随机变量X的分布列的性质求出m. (2)利用期望公式及性质求解 [解析] (1)由离散型随机变量分布列的性质, 得 0.4+m+0.3=1. ∴m=0.3,∴E(X)=0×0.4+2×0.3+4×0.3=1.8. (2)方法一:∵Y=5X+4, ∴随机变量Y的分布列为:

Y 4 14 24 P 0.4 0.3 0.3 ∴E(Y)=4×0.4+14×0.3+24×0.3 =1.6+4.2+7.2=13. 方法二:∵Y=5X+4, ∴E(Y)=E(5X+4)=5E(X)+4=5×1.8+4=13. [方法规律总结] 对于aX+b型的随机变量,利用期望的性 质E(aX+b)=aE(X)+b求解较简捷. (1)设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=16(k=1、2、3、4、 5、6),求 E(2X+3);

(2)设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=1n(k=1、2、…、n), 求 E(X).

[分析] 利用离散型随机变量的均值概念与性质解题. [解析] (1)E(X)=1×16+2×16+…+6×16=3.5, ∴E(2X+3)=2EX+3=2×3.5+3=10. (2)E(X)=1n(1+2+…+n)=1n·n?n2+1?=n+2 1. 两点分布与二项分布的期望

某公司有客户 3000 人,若公司准备了 100 份小 礼品,邀请客户在指定时间来领取,假设收到邀请的任一客户 去领奖的概率为 4%.问:公司能否向每一位顾客都发出领奖邀 请?若向每一位顾客都发出领奖邀请,且能使每一位领奖人都 得到礼品,公司至少应准备多少份礼品?

[分析] 由客户发出邀请后,每一位客户领奖的概率都为 4%,且各客户是否领奖相互独立,向3000个客户发出领奖邀 请,就是做了3000次独立重复试验,故随机变量X服从二项分 布,可直接用二项分布的均值公式求解. [解析] 设公司向每一位顾客发出领奖邀请后来领奖的人 数为 X,则 P(X=k)=Ck3000(0.04)k(1-0.04)3000-k(k=0、1、2、…、 3000) , 可 见 X ~ B(3000,0.04) , 所 以 , EX = 3000×0.04 = 120(人)>100(人).

所以不能向每一位顾客都发出领奖邀请.若向每一位顾客 都发出领奖邀请,且能使每一位领奖人都得到奖品,公司至少 应准备 120 份礼品. [方法规律总结] 1.求期望的实际应用问题一般步骤:首 先判断随机变量X是否服从特殊分布(如两点分布和二项分布), 如果是,代入相应的公式求期望值;

如果不是,则先列出X的 分布列,再代入期望公式求解.2.解答实际应用问题时,先分析实际背景,将所求问题 概率模型化,再利用有关概率知识求解. 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢 购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为 中奖,中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮 料.

(1)求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率;

(2)求中奖人数 ξ 的分布列及数学期望 E(ξ). [分析] ①甲、乙、丙中奖是等可能事件,而甲中奖与 乙,丙未中奖是相互独立的.②中奖人数可为0、1、2、3且相 互独立,由相互独立事件至少有一个发生的概率公式计算即 可. [解析] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A、B、C,那 么P(A)=P(B)=P(C)=16. P(A·B ·C )=P(A)P( B )P( C )=16·(56)2=22156. 答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为22156. (2)ξ 的可能取值为 0、1、2、3.P(ξ=k)=C3k???16???k???56???3-k,k=0、1、2、3. 所以中奖人数 ξ 的分布列为ξ0123P125 21625 725 721 216

E(ξ)=0×122156+1×2752+2×752+3×2116=12. [点评] 本题主要考查相互独立事件,随机变量的分布 列、数学期望等概念及相关计算,考查了运用所学知识解决问 题的能力. 综合应用

(2014·郑州市质检)某市教育局为了了解高三学 生体育达标情况,在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽 取 100 个进行调研,按成绩分组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85), 第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组[95,100]得到的频率分布 直方图如图所示, 若要在成绩较高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生 进行复查.

(1)已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组,求学生甲和学 生乙至少有一人被选中复查的概率;

(2)在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目 的考核,设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核,求ξ的分 布列和数学期望. [解题思路探究] 第一步,审题,审条件挖解题信息:由 频率分布直方图可得各组人数,按分层抽样可得第三、四、五 组抽取人数.

审结论,明确探究方向:“学生甲和乙至少有一人被选中 复查”这一事件是在第四组抽取的学生m个人中,从甲、乙两 人中选1人,在其余(m-2)人中选1人,或者甲、乙两人都进入 复查;

“求ξ的分布列和数学期望”需弄清ξ服从何种分布,在 进入复查的6人中第三组有3人,从中抽取的3人中包含第三组 人数ξ服从超几何分布. 第二步,确定解题流程.

由频率分布直方图求

各组抽查人数→

由分层抽样求三、四、五组 各复查多少人→

求甲、乙至少一人 进入复查的概率→

求ξ的所有可能 取值及其概率→

得ξ的分布列 和E?ξ?

第三步,规范解答. [解析] (1)设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为 事件 A,

第三组人数为 100×0.06×5=30, 第四组人数为 100×0.04×5=20, 第五组人数为 100×0.02×5=10, 根据分层抽样知, 第三组应抽取 3 人,第四组应抽取 2 人,第五组应抽取 1 人,第四组的学生甲和学生乙至少有 1 人进入复查, 则 P(A)=C12·CC11822+0 C22=13970. (2)第三组应有 3 人进入复查,则随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,3.且 P(ξ=i)=Ci3CC6333-i(i=0,1,2,3),

则随机变量 ξ 的分布列为ξ0123P1 209 209 201 20

Eξ=0×210+1×290+2×290+3×210=32. 某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规 定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分.假设这名 同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之 间没有影响.

(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和均 值;

(2)求这名同学总得分不为负分(即X≥0)的概率. [分析] (1)求X的可能取值,即是求得分,答对0道题得- 300 分 , 答 对 1 道 题 得 100 - 200 = - 100 分 , 答 对 两 道 题 得 2×100-100=100分,答对3道题得300分;

(2)总分不为负分包括:总分为100分和总分为300分两种情 况. [解析] (1)X的可能取值为-300、-100、100、300. P(X=-300)=0.23=0.008, P(X=-100)=3×0.22×0.8=0.096, P(X=100)=3×0.2×0.82=0.384, P(X=300)=0.83=0.512. 所以X的概率分布列为X -300 -100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512 E(X) = ( - 300)×0.008 + ( - 100)×0.096 + 100×0.384 + 300×0.512=180.

(2) 这名同 学总得 分 不为负 分 的概率 为 P(X≥0) = 0.384 + 0.512=0.896. 巩固提高学案

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1.离散型随机变量的方2113差(Dξ)的概念,标5261准差(σξ)的概念.2.离散型随机变量η4102=aξ+b(其中ξ为随机变量)的方差D(aξ+b)=a2·Dξ的推导1653.3.服从二项分布的离散型随机变量ξ(即ξ~B(n,p))的方差Dξ=npq.(二)能力训练要求1.会根据离散型随机变量的分布列求出方差值、标准差(σξ)的值.2.会求随机变量η=aξ+b的方差值(D(aξ+b)=a2Dξ),ση的值和服从二项分布的随机变量ξ~B(n,p)的方差值、标准差σξ的值的计算.3.能根据随机变量的方差值、期望值等求出某个变量值时的概率,也就是逆向思维的运用.4.会运用期望和方差的计算公式、方法解决生产生活中实际问题.(三)德育渗透目标1.通过实例和对初中知识的回顾培养学生的直觉思维中的类比能力,培养学生的辩证思维能力.2.培养学生要学会观察问题、分析问题和解决问题的能力,学会用数学眼光分析自己周边的事物,抽象概括为数学模型,要体现生活与数学的关系.3.培养学生的坚强意志、勤于思考、动手动脑等非智力因素.培养学生的健全的人格,让更多的学生有更好的发展.●教学重点离散型随机变量的方差是随机变量的另一个重要特征数(或数字特征),也是对随机变量的一种简明扼要的描写.随机变量的方差表现了随机变量所取的值相对于它的期望的集中与离散的程度.随机变量ξ的方差就是另一个与ξ密切相关的随机变量(ξ-Eξ)2的均值.两个计算方差的简单公式:(1)D(aξ+b)=a2Dξ;(2)如果ξ~B(n,p),则Dξ=npq(这里q=1-p).●教学难点离散型随机变量的方差Dξ的定义引入是教学的难点,两个方差的计算公式D(aξ+b)=a2Dξ,若ξ~B(n,p)则Dξ=npq的证明是另一个难点.第一个难点的原因是:由于教科书没有引入随机变量函数的一般定义,故只有从初中代数的回顾中提出问题,给出方差定义.●教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践法.在学生已经掌握离散型随机变量分布列及数学期望的认知水平上,利用直觉类比的方法对离散型随机变量的期望及初中代数中的一组数据的方差概念进行同化或顺应,然后再进行整合,得到离散型随机变量的方差的概念.●教具准备投影仪或实物投影仪内容来自www.07swz.com请勿采集。

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