2016-09-27 第5-6次课 波像差概述

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生辰八字分析结果生日(公历)2016年7月27日9:53生日(农历)丙申年六月廿四巳时八  字丙申乙未庚copy戌辛巳五  行火金木土金土金火纳  音山下火沙中金钗钏金白腊金总述:八字偏强,八字喜「水」zhidao,起名最好用五行属性为「水」的字。分析如下:用神分析:〖同类得分〗:金3.63,土1.16,共计4.79分;〖异类得分〗:火2.42,木1.25,水0.30,共计3.97分;〖差〗:0.82分;〖综合旺衰得分〗:0.82分,「八字偏强」;〖八字喜用神〗:八字偏强,八字喜「水」,「水」就是此命的「喜神」。追答五行缺水八字喜用神是水请你给个采纳吧www.07swz.com防采集请勿采集本网。

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您好,照这样计算的话,你孩子在2015年的8月27日就已经过了6岁生日了,根据国家教育部规定,满6岁的小朋友到9月1日可以上小学一年级。

南京理工大学 陈磊 2016年09月27日 2016年09月30日参考文献1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 胡玉禧,安连生. 应用光学. 中国科技大学出版社,2000 J.C.Wyant. Basic Wavefront Aberration Theory for Optical Metrology. APPLIED OPTICS AND OPTICAL ENGINEERING, VOL. Xl W.T.威尔福特. 对称光学系统的像差. 科学出版社,1982.7 久保田 广. 波动光学. 科学出版社,1983,§11,§21,§22 张以谟. 应用光学(第3版).电子工业出版社,2008,第9、10章 徐金镛, 孙培家. 光学设计. 北京:国防工业出版社,1989 R. Ditteon. 现代几何光学. 长沙:湖南大学出版社,2004 潘君骅, 陈进榜. 计量测试技术手册 第10卷 光学. 中国计量出版社, 1997,第13章 杨志文. 光学测量. 北京理工大学出版社,1996 [美]W.J.Smith. 周海宪 程云芳译。

下一个数为68

现代光学工程(第四版).化学 工业出版社,2011 林晓阳. Zemax光学设计超级学习手册. 人民邮电出版社,2014 Zemax User’s Manuel J.M.Geary. Introduction to Lens Design with Practical ZEMAX Examples.主要内容? 1 用光线表示的像差—几何像差? 1.1 像差种类 ? 1.2 各种像差简介 ? 1.3 初级像差多项式? 2 用波面表示的像差—波像差? 2.1 赛得多项式 ? 2.2 泽尼克多项式 ? 2.3 泽尼克多项式与赛得多项式的关系? 3 波面拟合1 1.1 几何像差

八字 丙申 乙未 庚戌 辛巳 正印格,六月出生土燥,燥土不生金,印旺无用,喜水滋土生金,土湿也能化杀,乙财也喜水,劫也喜水化。喜水。名字中有水就好。

像差:实际光线产生的像相对于理想像的偏离 像 差 的 种 类 单色像差:球差、彗差、像散、场曲、畸变

7月份结婚吉日 2010年07月09日 星期五 庚寅年 五月28日 2010年07月10日 星期六 庚寅年 五月29日 2010年07月11日 星期日 庚寅年 五月30日 2010年07月15日 星期四 庚寅年 六月初四 2010年07月16日

色差:位置色差、倍率色差

5.95÷27.6≈(保二)列竖式 5.95÷27.6≈0.22

注意:我们在这里讨论初级像差时,不考虑光学加工与装配中产生的 误差,也不考虑材料折射率均匀性的误差。

我们只讨论旋转对称光学 系统的初级像差。

杜甫-佳人

在 山 泉 水 清 , 出 山 泉 水 浊 绝 代 有 佳 人 , 幽 居 在 深 谷……

用几何光线描述点列图入 瞳像 面2 像差的产生原因I A -U O r n -L n' E h I'? ? U ? I ? U '? I '?

C U' A'

sin I ? sin I ' ?

L?r sin U r n sin I n' sin I ' sin U '

L'U '? U ? I ? I'泰勒公式

L' ? r ? ri?近轴光线

l ?r u r

i' ?n i n'

光线追迹 已知:U、L 求:U’、L’ 几何画板演示

u ' ? u ? i ? i'

i' l' ? r ? r u'

近轴光学vs三级像差1.2 各种像差简介初级像差

单色像差:球差、彗差、像散、场曲、畸变

色差:位置色差、倍率色差

5.95÷27.6≈(保二)列竖式 5.95÷27.6≈0.22

3 1.2.1 球差高斯像面U'A-U

L' -l l'

-?L'

轴上点,与孔径有关,弥散圆尺寸表征球差的大小球差

最小弥散圆位于近轴像点距边缘像点3/4处

Zemax示例球差?R1=100,d=10,BK7, ?口径D=50mm,F/#=1.5

-?T'4 非球面消除球差1.2.2 子午面与弧矢面(对于轴外光线)主光线

入瞳 轴上点:子午面与弧矢面光线分布一样 轴外点:弧矢光线对称于子午面,子午面内光线光束的对 称性被破坏。子午彗差?轴外点 ?宽光束 ?辅轴上的球差? 上下光线经球面折射,失去了对主光线的对称性。

? 彗差是与视场、孔径相关的垂轴像差。

? 对于靠近光轴的轴外物点,仅受彗差、球差的影响,如显微物镜成像。

? 阿贝正弦条件5 弧矢彗差

弧矢面内对称于主光线的一对光线经球面折射之后仍 然对称于子午面,且相交于子午面。彗差1.2.3 像散? ? ? ?

缩小光瞳,无限细轴外光束,没有球差、彗差 子午光束经球面折射会聚于主光线上的子午像点 弧矢光束经球面折射会聚于主光线上的弧矢像点 两像点不重合,称为像散6 像散

人眼的散光 简单判断方法

子午像散与弧矢像散

注意:主光线 入瞳Ac1

d1 b1 a1 c0 d0 b0 a0折射面B

轴上点: ? 光线与球面同时接触于a0、b0、c0、d0未失去对称性 轴外点: ? 对于子午光线,到达折射面的先后顺序:a?z? c ? 对于弧矢光线,z线接触球面,b、d同时接触球面 ? 子午面与弧矢面在折射球面上的截线曲率不等,所以子午像点与弧矢 像点不重合。

细光束像散的计算主光线7 像散波面

b1 a1 b2 a2 b3 a3 c3 F'2 F'2 F'1 F'1 F'1 c2 c1

F'2? 像散波面在两个主截面 内有不同的曲率 ? 微分几何理论可以解释? 参见:杜德罗夫斯基,《光学仪 器理论》上

Zemax示例球差

几何像差在像面评价 平凸透镜、凸平透镜的球差有何区别? 球差评价曲线、图像演示:Ray、Opd、Spt、MTF 球差与孔径的关系、球差与像面位置的关系

Zemax示例彗差8 Zemax示例像散1.2.4 场曲-dl

像散与视场有关,B1 B

理想像面 孔径光阑o

子午场曲 弧矢场曲A

c B'1A'B' -dl '匹兹伐面

把无限小的孔径光阑 (针孔 )放在折射球面 的 球心, 则主光线与辅轴 重 合,变 为辅轴上的近轴 光 线,此 时辅轴上不存在 球 差、彗差、像散。

物方蓝色圆弧 B应理想成像于像方蓝色圆弧 B’,当物点 B向 B1移动时, 像点B’向B’1移动,即物方红色直线AB1应理想成像于像方红色弧线A’B’1, 亦即无像差系统将物方平面理想成像为曲面。

根据高斯光学,物方平面在 像方也应成像为理想平面像,由此产生的像差即为场曲。1.2.5 畸变

垂轴放大率与视场有关,不是常数。

枕形畸变,桶形畸变9 畸变产生原因畸变产生原因在于主光线的球差随视场角而改变,Bz为轴上光线,因 为球差存在,近轴像点B’与实际光线B’z并不重合。

由于球差随孔径改变, 相当于在一对共轭的物象平面上,放大率?随视场而变化,不再是常数,从 而造成畸变。

图中,z为轴上点,其近轴像点位于z’,实际像点位于z”。1.2.6 色差B'1 ?1 ?2 ?1 A -U ?2 L'?2 B A'1 A'2 ?L' ?1 ?2 B'2 Y'?2

Y'?1

L'? 11.3 初级像差多项式10 小结几 何 像 差

单色像差:球差、彗差、像散、场曲、畸变

色差:位置色差、倍率色差

5.95÷27.6≈(保二)列竖式 5.95÷27.6≈0.22

关键:几何像差在像面用点、线偏差评价2 波像差? 2.1 波像差 ? 2.2 像差多项式2.1 波像差? ? ? ? 什么是波像差? 像差多项式 Seidel多项式 Zernike多项式11 波像差波像差?W ( x, y) ? WA ( x, y) ? WR ( x, y)

WA = Aberrated wavefront WR = Reference wavefront波像差的意义:沟通几何光学与波动光学的桥梁。

作用:1)像质评价指标,如Strehl值、瑞利判据、分辨率、光学传 递函数等,不能仅由几何像差描述;2)像差容限

理想光学系统轴上点成像

有限远共轭

无限远共轭波像差-坐标系建立

光瞳面 像面

在光瞳面 评价像差

注意坐标轴的选取12 理想球波面表示

球心坐标: 球面方程:

x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? R

x 2 ? y 2 ? ( z ? R) 2 ? R 2z?2 2 参考球面分布: W ( x, y) ? x ? y R 2R

x2 ? y 2 2R

W ( x, y ) ?

x2 ? y 2 2R波像差:?W ? W ( x, y) ? WR ( x, y) ? 0

注意:以光瞳中心为坐标原点,在光瞳面评价波像差,此时为零

为什么测量出瞳面的波像差?

D.Malacara, Ed. Optical shop testing 3rd Edition. John Wiley and sons, New York. 2007

测试出瞳面上的干涉条纹调焦清晰离焦13 参考点轴向离焦

接收面并不总在高斯像面 波前分布:

W ( x, y ) ? ? x2 ? y 2 x2 ? y 2 x2 ? y 2 ? 1 x2 ? y 2 ? ??z ? ?? 2( R ? ? z ) 2 R ?1 ? ? z / R ? 2R 2R2

x2 ? y 2 2R

参考球面方程:

WR ( x, y ) ??W ( x, y ) ? W ( x, y ) ? WR ( x, y )? ?? z x2 ? y 2 2R2

出瞳边缘的波差?Wdefocus ? ? ? z sin 2 U

注意:波像差都是在出瞳面上表示的。

始终以参考球面的曲率半径为 R1 2

Fizeau干涉仪测量

试件轴向离焦齐焦轴向离焦14 理想光学系统轴外点成像

有限远共轭

无限远共轭

被测波面横向离焦

被测球波面方程

y 2 ? ( x ? ? x ) 2 ? ( z ? R) 2 ? R 2

W ( x, y ) ? x2 ? y 2 x ??x 2R R

WR ( x, y ) ? 参考球面方程:

x2 ? y 2 2R

总之,当轴向、横向离焦均存在时, 被测球面波 波像差

W ( x, y) ? x2 ? y 2 x2 ? y 2 x y ??z ??x ?? y 2R 2R2 R R x2 ? y 2 x y ??x ?? y 2R2 R R?W ( x, y) ? ?? z

试件垂轴离焦齐焦垂轴离焦15 理想光学系统的波像差? 波像差为零:探测面与高斯像面重合 ? 波像差的产生:探测面与高斯像面有相对位移? 因为参考面发生了轴向或垂轴移动,对应实际情况,胶 片或CCD靶面产生平移(轴向、垂轴) ? 也可以等效地看成理想像点产生轴向或垂轴移动,对应 于物点产生平移(轴向、垂轴) ? 此时探测面上不再是一个像点,而是一个圆形光斑。? 此时像差波面W与参考波面Wr均为理想球面 ? 波像差?W=W-Wr可用抛物面(轴向离焦)或倾斜 平面(垂轴离焦)表示。?W ( x, y) ? ?? z

x2 ? y 2 x y ??x ?? y 2R2 R R2.2 波像差多项式? ? ? ? 波像差的一般表示 初级像差多项式 Seidel多项式 Zernike多项式光学系统物空间与像空间物空间

物面 入瞳 x x0 (x,y) z (x0,y0) 成像屏 y 出瞳 y0像空间16 将轴外物点刚性旋转至子午面(y0=0)光学系统

W(x,y,x0,y0)

物面 入瞳 x (x,y) z (x0,y0) 成像屏 y 出瞳 y0 x0

W(x,y,x0)

对于一定的光学系统,在其像方,光线完全可由出瞳坐标(x,y)与像 面坐标(x0,y0)所表示。费马原理? 光线从空间任意一点A到另一点B,不论所 经过的介质情况如何,总是沿着光程为稳定 值的一条路径进行。? 迟泽英,陈文建。

《应用光学与光学设计基础(第二版)》, 高等教育出版社,2013,p19波像差一般表达式的导出? 光学系统旋转对称2 W ( x, y, x0 ) ? W (? x,? y,? x0 ) 只存在偶次元 x2 , y 2 , x0 , xy, xx0 , yx03 y ? x 2 (偶次元) ,y?x (奇次元)例如 ?

光束对称于子午面,y改变符号时,波像差不变。

W ( x, y, x0 ) ? W ( x,? y, x0 ) 去掉?2 xy , yx0 留下 x 2 , y 2 , x0 , xx0

对于轴上点,波像差只是孔径的函数

W ( x, y,0) ? f ( x 2 ? y 2 )

x 2,y 2 只能以 x 2 ? y 2 形式存在2 W ( x, y, x0 ) ? W ( x 2 ? y 2 , xx0 , x0 )基元2 x 2 ? y 2 , xx0 , x0?参考,张以谟《应用光学(上)》,机械工业出版社,1982,p287-28917 2.2.1 波差多项式(直角坐标)2 W ( x, y, x0 ) ? W ( x 2 ? y 2 , xx0 , x0 ) 2 ? a1 ( x 2 ? y 2 ) ? a2 xx0 ? a3 x0 2 ?b1 ( x 2 ? y 2 ) 2 ? b2 xx0 ( x 2 ? y 2 ) ? b3 x 2 x0 2 3 4 ?b4 x0 ( x 2 ? y 2 ) ? b5 xx0 ? b6 x0? fifth and higher order term

与孔径相关(x, y)、与视场相关(x0, y0) 波面是由(x, y, x0, y0)的函数 系数 a - 离焦、倾斜、平移 系数 b - 三阶像差 旋转对称项

旋转对称项

x, y – 孔径相关 x0,y0 – 视场相关 y0=0意味着轴外物点旋转到子午面内

思考题:通过推导可以得知,以下基元也是旋转对称项,请问为何不将其列 入构成波像差的基元?

yx0 ? xy0 ? y' x'0 ? x' y'02.2.2 初级像差多项式彗差18 2.2.3 赛得多项式(极坐标)在光瞳上

x ? ? cos? ,

y ? ? sin ?2 W ( x0 , ? ,? ) ? W ( ? 2 , x0 ? cos ? , x0 ) k l ? ? Wklm x0 ? cos m ?波前函数2 ? W200 x0 ? W111 x0 ? cos ? ? W020 ? 2 4 3 2 222 0 2一次项?W040 ? ? W131 x0 ? cos ? ? W x ? cos 2 ?2 2 3 ?W220 x0 ? ? W311 x0 ? cos ?二次项

Wklm是多项式的系数,多项式由基元组合构成。二次项即为初级像差,分别代表球 差、彗差、像散、场曲、畸变。

Seidel像差就是k+l=4的项。波像差 赛得像差1 1 1 2 2 W ( x0 , ? ,? ) ? S I ? 4 ? S II x0 ? 3 cos ? ? S III x0 ? cos 2 ? 8 2 2 1 1 2 2 3 ? ( S III ? S IV ) x0 ? ? SV x0 ? cos ? 4 2

像差系数的含义球差( W040 ),彗差( W131 ),像散( W222 ),匹兹凡 场曲( W220P),畸变( W311),轴向色离焦项( W020), 轴 向 色 倾 斜 ( W111 ) , 弧 矢 场 曲 ( W220S ) , 平 均 场 曲 (W220M),子午场曲(W220T)。赛得像差

a3 a2 a1 b1 b2 b3 b4 b519 讨论? 为什么在波像差表达式中看不到光学系统的结构参数, 如:r,d,n? ? 如何从波像差表达式中分离单项像差?1 1 1 2 2 ?W ( x0 , ? ,? ) ? S I ? 4 ? S II x0 ? 3 cos ? ? S III x0 ? cos 2 ? 8 2 2 1 1 2 2 3 ? ( S III ? S IV ) x0 ? ? SV x0 ? cos ? 4 22 ?W ( x, y, x0 ) ? b1 ( x 2 ? y 2 )2 ? b2 xx0 ( x 2 ? y 2 ) ? b3 x 2 x0 2 3 ?b4 x0 ( x 2 ? y 2 ) ? b5 xx0

R ??W ?? h ?x R ??W ?y ? ? ?? h ?y?x ? ?波像差vs几何像差

推导过程参见 Welford,p.88~92归一化

x ? ? cos ? , y ? ? sin ?? ? [?1,1]横向 轴向??W ( x, y ) ?x R R 2 ??W ( x, y ) ?z ? ?x ? ? x x ?x? x ? R? x ? ? R

R ??W h ?x R 2 ??W ?z ? ? 2 xh ?x?x ? ?球差?W ? W040 ? 4 ? W040 ? x 2 ? y 2 ?

与横向像差的关系2?x ? ?y ? ?轴向离焦4 RW040 3 ? h?W ? ?? z

x2 ? y 2 2R2轴向离焦后,球差的波像差表达式?x ? ? ?z ? ?

R ??W ( x, y ) h ?x R 2 ??W ( x, y ) xh 2 ?x?W ? W040 ? 4 ?? z h22R2?2轴向离焦后,球差的垂轴像差表达式?x ? ?y ? ?4 RW040 3 ? z h ? ? ? h R初级像差称为三级像差的由来。20 最小弥散圆

作业:试证明最小弥散圆位于近轴像点距边缘像点3/4处。

并 证明最小弥散圆直径等于RW040/h.

提示:最小弥散斑处,边缘光线与某孔径光线的垂轴像差大小相等、符号 相反。球差图形球差干涉图21 球差星点像

维修哈勃望远镜

COSTAR安装前后像质的变化22 哈勃维修前后成像的对比彗差?W ? W131 x0 ? 3 cos? ? W131 x0 x( x 2 ? y 2 )彗差图形(波像差)10

-1 40 30 20 10 0 10 20 30 4023 与几何像差的关系

光瞳面上各点与像面上的对应关系 A-B属于子午面,C-D属于弧矢面? x ? ? W131 x0 ? 2 ? 2 ? cos 2? ? ? y ? ? W131 x0 ? 2 sin 2?R hR h

不同区域光束的成像光斑

http://www.photonics.com/edu/Handbook.aspx?SID=27&AID=25443彗差星点像6?2.5?1?24 像散2 2 2 2 ?W ? W222 x0 ? cos2 ? ? W222 x0 x10 -1 40 30 20 10 0 5 10 20 25 30 3515

像散干涉图(波像差)弧矢焦线2 2 ?W ? W222 x0 x

R ??W h ?x R 2 ??W ?z ? ? 2 xh ?x?x ? ?轴向离焦?y ? 02R 2 ? x ? ? W222x0 x h

注意,横向像差 在像面(或探测 面)上评价

对于归一化的出瞳,x?[-1,1],所以弧矢焦线长度为?s ?4R 2 W222x0 h25 子午焦线轴向离焦2 2 ?W ? W222 x0 x ?? z h22R2?x2? y2 ?

观察面上,光线的横向偏移? ?? zh? ?? y ? ?? ? R ? ?y ? ? ? ? ? zh? 2R ?? ? ?? 2 ? ?x W222x0 ? ? ? x R ? ? h ? ?

R ??W h ?x R 2 ??W ?z ? ? 2 xh ?x?x ? ?? ? 2R 2? ?? y ? ?? W222x0 ? y ? h ? ? ?? ? 0 ? x 4R 2 ?y ? W222x0 子午焦线长度 h

像散星点像(横向像差)像散现象26 思考题? 对于球差,试证明最小弥散圆位于近轴像点距边缘像 点3/4处。

并证明最小弥散圆直径等于RW040/h。

? 试证明彗差图像的锥角为60?。

? 计算像散的最小弥散圆直径与位置。

? 推导子午焦线与弧矢焦线的间距公式。

? 像散波面为何可以分别用柱面、椭球面、双曲面表示?场曲2 2 2 ?W ? W220 x0 ? ? W220 x0 ( x2 ? y 2 )

横向像差:?x ? ?2R 2 W220 x0 x h波像差: 当使用干涉仪测量波像差时,因为一次只能测量一个 视场,故此时场曲看起来像是离焦。畸变3 3 ?W ? W311 x0 ? cos? ? W311 x0 ?x3 ? x ? ? W311 x0R h

横向像差: 与视场的3次方有关,即: 随视场变化波像差: 当使用干涉仪测量波像差时,因为一次只能测量一个 视场,故此时畸变看起来像是倾斜。27 波像差的物理意义? 当系统的像差校正到点像是接近完善的Airy 图形时,宜用W(x,y)表示像差的容差,故可 用于高质量系统像差的量度。

? 当像差校正要求不高,如接收器的鉴别极限 远大于Airy斑时,则横向光线像差更适于像 质测量。

? W(x,y)建立了几何光学与物理光学这两个领 域的基本关系。

参3 6-4波面拟合? 前面介绍了波像差,它可以由光学设计计算 得到,但对于实际光学系统,波像差如何得 到呢? ? 实际检测到的波像差是各种初级、高级像差 的组合,如何将这些像差分解出来呢? ? 由波像差如何得到成像质量评价函数? ? 实际检测到的离散波面,如何用三维函数表 示?波像差与像质评价指标? ? ? ? ? 波差分析 Strehl值(中心点亮度) 点列图(Spot Diagram) 点扩散函数(PSF),星点检验 调制传递函数(MTF)28 波差三维分布图

Seidel像差分析

Geometic Encircled Energy29 点列图PSFMTF30 条纹法波差数据的处理

数据插值与拟合(interpolation & fit)? 插值? interp1,Matlab演示? 插值的特点。

? 拟合 ? p = polyfit(x,y,n) ? 参见Matlab Help,Programmatic Fitting? 三维离散点数据的插值? griddata2.2.4 Zernike 多项式? The Zernike polynomials are a complete set of functions that are orthogonal over the interior of the unit circle. ? They were original developed for use in phase contrast microscopy, but have found applications in astronomy, interferometry and ophthalmic optics. ? They are useful for describing the shape of an aberrated wavefront in the pupil of an optical system.31 泽尼克多项式

Zernike多项式

在单位圆上正交??1 2?0 0

l* l Zn Z m ?d?d? ??n ?1? nm

当函数(波面)绕圆心旋转时,多项式的数学形式保持不变

l l Zn ? Rn ( ? )eil?

泽尼克多项式的更多信息参见《光学车间检验》13章

泽尼克多项式的属性? 在光学测试中,用泽尼克多项式表示波面。

? 因为Zernike多项式与许多光学测试中所光测到的像 差具有相同形式,故常用构造波面的数学表达式。

然 而,Zernike并不总是数据拟合的最佳多项式, 有时 甚至给出波面的不正确表示。

例如,当空气扰动存在 时,Zernike多项式的数值很小。

? Zernike polynomials are one of an infinite number of complete sets of polynomials in two real variables, ? and ?, which are orthogonal over a discrete set of data points within a unit circle. These polynomials have three properties that distinguish them from other sets of orthogonal polynomials.32 Zernike Polynomials

http://www.optics.arizona.edu/jcwyant/Zernikes/Animated_Gifs/list_of_animated _gifs.htm

泽 尼 克 多 项 式

泽尼克多项式各项的波面33 波像差与泽尼克系数

Zernike多项式与像差的关系

泽尼克、赛得多项式的关系34 3 波面拟合? 函数的级数表达式 ? 最小二乘法波面拟和 ? 正交化方法3.1 函数的级数表达式? 颜色的例子 ? 级数展开? Maclaurin 级数 ? Fourier级数 ? Kingslake表达式35 颜色的例子? 大千世界,万紫千红,色彩斑斓,但每一种 颜色均可由红、绿、蓝三基色混合表示? c?f(R,G,B) ? C = rR + gG + bB ? 其中r、g、b为权因子,即系数Maclaurin展开式1 2 1 3 1 n x ? x ??? x ?? 2! 3! n! 1 3 1 5 sin x ? x ? x ? x ?? 3! 5! 1 2 1 4 cos x ? 1 ? x ? x ?? 2! 4! ex ? 1? x ?

(n) 一般有 f ( x) ? f (0) ? f ' (0) x ? f " (0) x 2 ? ? ? f (0) x nn!

f ( x ) ? ? Cn x nn ?0?

Fourier级数

f ( x) ? a0? a0 ? ? ( an cos nx ? bn sin nx ) 2 n ?1 1 ? ? ? f ( x) dx? ???

an ? bn ?1 1????

f ( x ) cos nxdx f ( x ) sin nxdx?????? a f ( x ) ? 0 ? ? An cos( nx ? ? n ) 2 n ?1An ?? bn ? 2 2 an ? bn , ? n ? tg ?1 ? ?? a ? ? n ? ?36 Kingslake表达式? 对于波面有类似的表达式

w( x, y ) ? ? ? Cnm x m y n ? mn ?0 m ?0kn

Kingslake 表达式

w( x, y ) ? A( x 2 ? y 2 ) 2 ? By ( x 2 ? y 2 ) ? C ( x 2 ? 3 y 2 ) ? D( x 2 ? y 2 ) ? Ey ? FxA-球差系数、B-彗差系数、C-像散系数 D-离焦系数、E-y方向倾斜、F-x方向倾斜3.2 最小二乘法波面拟和

w( x, y ) ? ? an Z n ( x, y )n ?1 N

由干涉图得到在采样点(xk,yk)上,波差数据为Tk, 其中k=1,2,…,M,M为采样点总数。

根据最小二乘法,由数据集(xk, yk, Tk)求解泽 尼克多项式系数an,n=1,2,…,N。

以欧姆定律为例? U = RI ? R = tg?UI37 Zernike多项式拟和波面

w( xk , yk ) ? ? an Z n ( xk , yk )n ?1 N

其中:W( xk, yk) 是拟和得到的数学波面 k=1,2,…,M 是多项式项数 M - 采样点数 已知:Tk – (xk, yk) 点上的波面值 Zn(xk,yk) – Zernike多项式 求:an – Zernike多项式系数, n=1,2…N

由最小二乘法,须有? ?w( xk ?1 M k

, y k ) ? Tk ? ? min2即?? ?a ?k ?1 n ?1M?Nn? Z n ( xk , y k ) ? Tk ? ?2? min令 有?k ??an ?1Nn

Z n ( xk , y k ) ? Tk??k ?1M2 k? min求导? ?M 2? ?? ? k ? ? 0 ?an ? k ?1 ?即 展开? ?? ?a Z ?n ?1N?? ?Nn ?1nn? ? ( xk , yk )? Z n ( xk , yk ) ? Tk Z n ( xk , yk )? ? 0 ? ??a1 ? Z12 ? a2 ? Z 2 Z1 ? a3 ? Z 3 Z1 ? ? ? a N ? Z N Z1 ? ? Tk Z1 ? k k k k k ? 2 ?a1 ? Z1Z 2 ?a2 ? Z 2 ? a3 ? Z 3 Z 2 ? ? ? a N ? Z N Z 2 ? ? Tk Z 2 ? k k k k k ? ?? ? ? 2 ?a1 ? Z1Z N ? a2 ? Z 2 Z N ? a3 ? Z 3 Z N ? ? ? a N ? Z N ? ? Tk Z N k k k k ? kZa ? c38 Zernike系数方程? ? Z12 ? k ? Z1 Z 2 ?? ? k ? ? ? ? ? Z1Z N ? k?Z Z ?Z2 k 2 2 k k1? ? ??Z ?Zk? Z ? 2Z N? Z1 ? Tk Z1 ? ?? a1 ? ? ? ? ? ? ? k ? Tk Z 2 ? ? N Z 2 ?? a2 ? ? k ? k ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?a ? 2 T Z ? Z ? N ? ? ? k N ? ? N ? ? k ? k ?N3.3 正交化方法? 线性方程组的条件问题 ? 正交化多项式 ? 正交化方法? Gram-Schmidt方法 ? 协方差矩阵法有效数字?x ? y ? 1 ? ? x ? 1.0001y ? 0对应解为? x ? 10001 ? ? y ? 10000?x ? y ? 1 ? ? x ? 0.9999 y ? 0对应解为? x ? ?9999 ? ? y ? ?1000039 线性方程组的条件问题? ? 1 ? ? 1 ? 2 H ?? 1 ? ? 3 ? ? ? 1 ? ? n ?1 1 2 1 3 1 4 ? 1 n?2 1 3 1 4 1 5 ? 1 n?3 1 ? ? n ?1 ? 1 ? ? n?2 ? 1 ? Hilbert 矩阵 ? ? n?3 ? ? ? 1 ? ? ? 2n ? 1 ? ?

例:设方程Ax=C? 1 ? A1 ? ?1 / 2 ?1 / 3 ? ?2/3 ? A2 ? ? 2 / 3 ? 1/ 3 ? 1/ 2 1/ 3? ? 11 / 6 ? ? ? ? 1/ 3 1/ 4? C1 ? ? 13 / 12 ? ? 47 / 60 ? 1/ 4 1/ 5 ? ? ? ? ? 2 / 3 ?1/ 3 ? ? ?1/ 3? ? ? ? 1/ 3 2 / 3 ? C2 ? ? 5 / 3 ? ? 1/ 3 ? 2 / 3 ? 2 / 3? ? ? ?

解方程A1a1 ? C1,A2 a2 ? C2 , 得到精确解 ?1? ?1? ? ? ? ? a1 ? ?1? a2 ? ?1? ?1? ?1? ? ? ? ?

引入舍入误差(4位有效数字)? 1.83 ? ? ? 0.333 ? ? ? ? ? C1 ' ? ? 1.08 ? C2 ' ? ? 1.67 ? ? 0.783 ? ? 0.333 ? ? ? ? ? 解方程A1a1 ' ? C1 ',A2 a2 ' ? C2 ' , 得 ? 1.080 ? ?1.002 ? ? ? ? ? a1 ' ? ? 0.540 ? a2 ' ? ? 1.001 ? ? 1.440 ? ?1.002 ? ? ? ? ?

在上述方程组中,C的扰动不超过30/00,但第一个方程组 解的变化以达50%,而第二个仅达20/0040 正交化多项式i? j ?cons tan t ?? (*) 0 i? j ? 其中M为采样点数,k为采样点序号?P Pk ?1 ikMjk?P1 , P2 , P3 ,?, PN ?为正交多项式,基底函数, N为多项式项数。

(*)式为多项式P在k ? 1, 2, ?,M个采样点上正交。

Zernike多项式在单位圆上正交:1 2???0 0?1 i ? j Z i ( ? , ? ) Z j ( ? , ? )d?d? ? ? ?0 i ? j

典型的正交多项式有: ? Fourier级数:[0,2?]区间内正交 ? 切比雪夫多项式:矩形区域正交 ? 勒让德多项式:矩形区域正交 ? Zernike多项式:单位圆上正交41

05-27 星期五 cctv6节目表00:32 音乐电影欣赏(18)00:37 光影星播客00:44 电影快讯晚间00:49 电影 镖行天下前传之决战天涯02:30 电影 天降横彩03:57 译制片 铁血一千勇士05:42 国歌05:43 电影 铜雀台07:33 光影星播客07:41 电影 少林达摩剑09:22 光影星播客09:34 电影快讯白天09:39 电影 惊心动魄11:17 光影星播客11:24 音乐电影欣赏(18)11:31 电影 武僧传奇之决战程子沟13:16 光影星播客13:32 电影 快活林15:13 光影星播客15:27 电影快讯白天15:32 电影 女神跟我走17:07 光影星播客17:14 电影全解码(22)17:30 中国电影报道(148)17:52 光影星播客18:05 电影 动作90分 刺陵(林志玲)19:58 光影星播客20:10 电影快讯晚间20:15 电影 北京纽约(林志玲)22:07 光影星播客22:16 译制片 环球影院 首播 超人IV23:56 音乐电影欣赏(18)2016年5月29日cctv6节目表00:05 电影快讯晚间00:11 译制片 佳片有约 首播 林肯(下)01:26 电影 肝胆相照03:15 电影 激浪青春04:43 译制片 亚马逊萌猴奇遇记05:58 国歌06:00 电影 华英雄07:54 光影星播客08:02 动画片 少儿影院 少年岳飞传奇09:29 光影星播客09:41 电影快讯白天09:46 电影 太极1从零开始11:31 光影星播客11:38 音乐电影欣赏11:44 译制片 佳片有约 林肯(上)13:08 光影星播客13:23 译制片 佳片有约 林肯(下)14:43 佳片有约15:05 光影星播客15:18 电影快讯白天15:23 电影 四大名捕大结局17:16 光影星播客17:23 世界电影之旅17:39 中国电影报道18:00 光影星播客18:13 电影 周日点播 合约情人(范冰冰)19:58 光影星播客20:10 电影快讯晚间20:15 电影 一夜惊喜(范冰冰)中国22:12 光影星播客22:19 电影 首播 靓足100分内容来自www.07swz.com请勿采集。

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